{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nZaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość\nnajdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z kątów ma miarę\n°\n120 .W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości\n40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.\nZaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równy 12 cm i jeden z kątów ma miarę 120 stopni. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów. Oblicz, czy zamówiono ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.","answer":null,"answer_text":"9.1\nWyznaczenie długości odcinków\npotrzebnych do obliczenia pola działki na\nplanie.\n1 p\n9.2\nObliczenie pola działki na planie\n1 p\n3\n12\nP\nP\ncm2\n9.3\nObliczenie pola działki w rzeczywistości\n1 p\n6\n27 10\n3\nP =\n⋅\ncm2\n9.4\nZamiana jednostek\n1 p np.\n3\n27\nP\na\n9.5\nPorównanie 40 arów z polem działki\ni stwierdzenie, że ilość sadzonek jest\nniewystarczająca.\n1 p\n40\n3\n27\n>","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P = 124 \\text{ m}^2\\)\n\n## Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat\n\n**Dane z rysunku:**\n- \\(AB = 16\\) m, \\(BC = 8\\) m - kat \\(ABC\\) jest prosty\n- \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m - kat \\(ECD\\) jest prosty\n- punkt \\(E\\) lezy na odcinku \\(AD\\)\n\n**Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.**\n\nFigura \\(ABCDE\\) rozpada sie na:\n- **trapez prostokatny \\(ABCE\\)** o podstawach \\(AB = 16\\) m i \\(CE = 10\\) m oraz wysokosci \\(BC = 8\\) m (kat prosty przy \\(B\\)),\n- **trojkat prostokatny \\(CDE\\)** o przyprostokatnych \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)).\n\n**Krok 2 - pole trapezu \\(ABCE\\).**\n\\[P_{ABCE} = \\frac{(AB + CE) \\cdot BC}{2} = \\frac{(16 + 10) \\cdot 8}{2} = \\frac{26 \\cdot 8}{2} = \\frac{208}{2} = 104 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 3 - pole trojkata prostokatnego \\(CDE\\).**\n\\[P_{CDE} = \\frac{1}{2} \\cdot CE \\cdot CD = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 4 - pole calej dzialki.**\n\\[P = P_{ABCE} + P_{CDE} = 104 + 20 = \\boxed{124 \\text{ m}^2}\\]\n\n## Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)\n\nDolozmy do trapezu prostokat \\(ABCF\\) o bokach \\(AB = 16\\) m i \\(BC = 8\\) m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.\n\n**Prostokat \\(ABCF\\):**\n\\[P_{prost} = 16 \\cdot 8 = 128 \\text{ m}^2\\]\n\nGorny bok \\(CE = 10\\) m jest krotszy od \\(AB = 16\\) m o \\(16 - 10 = 6\\) m, wiec nad odcinkiem \\(CE\\) brakuje trojkata o podstawie \\(6\\) m i wysokosci \\(8\\) m:\n\\[P_{ubytek} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ m}^2\\]\n\nZatem trapez ma pole \\(128 - 24 = 104\\) m\\(^2\\), a po dodaniu trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)):\n\\[P = 104 + 20 = 124 \\text{ m}^2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzial 11 (Planimetria)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\]\ngdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Uzyte do trapezu \\(ABCE\\).\n\n**Pole trojkata prostokatnego** - polowa iloczynu przyprostokatnych:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\nUzyte do trojkata \\(CDE\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi \\(124\\) m\\(^2\\). Punktowane: obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) (\\(104\\) m\\(^2\\)), obliczenie pola trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)) oraz zsumowanie na pole calej dzialki (\\(124\\) m\\(^2\\)).\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu (\\(AB\\) i \\(CE\\)), a ktory wysokoscia (\\(BC\\)), wyjdzie zly wynik.\n\n> Uwaga: w trojkacie \\(CDE\\) przyprostokatnymi sa \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)) - odcinek \\(DE\\) to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P = 124 \\text{ m}^{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez\nDzielimy figurę na dwie części:\n- **trójkąt prostokątny \\(CED\\)** (kąt prosty w \\(C\\)): \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m;\n- **trapez prostokątny \\(ABCE\\)** (kąty proste przy \\(A\\) i \\(B\\)): podstawy \\(AB = 16\\) m oraz \\(CE = 10\\) m, wysokość \\(BC = 8\\) m.\n\n**Pole trójkąta \\(CED\\):**\n\\[P_{\\triangle CED} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole trapezu \\(ABCE\\):**\n\\[P_{ABCE} = \\dfrac{(AB + CE)\\cdot BC}{2} = \\dfrac{(16 + 10)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{208}{2} = 104 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole działki:**\n\\[P = P_{\\triangle CED} + P_{ABCE} = 20 + 104 = 124 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty\nMożna też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie pola trójkąta \\(CED\\) \\((20\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) \\((104\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za podanie pola całej działki \\((124\\) m\\(^{2}\\)).\n\n**Trik:** przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)\\cdot h}{2}\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (5 pkt)
Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość
najdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z kątów ma miarę
°
120 .W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości
40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.
Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równy 12 cm i jeden z kątów ma miarę 120 stopni. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów. Oblicz, czy zamówiono ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.

","answer_text_html":"

9.1
Wyznaczenie długości odcinków
potrzebnych do obliczenia pola działki na
planie.
1 p
9.2
Obliczenie pola działki na planie
1 p
3
12
P
P
cm2
9.3
Obliczenie pola działki w rzeczywistości
1 p
6
27 10
3
P =
⋅
cm2
9.4
Zamiana jednostek
1 p np.
3
27
P
a
9.5
Porównanie 40 arów z polem działki
i stwierdzenie, że ilość sadzonek jest
niewystarczająca.
1 p
40
3
27

\n
","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P = 124 \\text{ m}^2\\)

\n

Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat

\n

Dane z rysunku:

\n\n

Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.

\n

Figura \\(ABCDE\\) rozpada sie na:

\n\n

Krok 2 - pole trapezu \\(ABCE\\).
\\[P_{ABCE} = \\frac{(AB + CE) \\cdot BC}{2} = \\frac{(16 + 10) \\cdot 8}{2} = \\frac{26 \\cdot 8}{2} = \\frac{208}{2} = 104 \\text{ m}^2\\]

\n

Krok 3 - pole trojkata prostokatnego \\(CDE\\).
\\[P_{CDE} = \\frac{1}{2} \\cdot CE \\cdot CD = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^2\\]

\n

Krok 4 - pole calej dzialki.
\\[P = P_{ABCE} + P_{CDE} = 104 + 20 = \\boxed{124 \\text{ m}^2}\\]

\n

Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)

\n

Dolozmy do trapezu prostokat \\(ABCF\\) o bokach \\(AB = 16\\) m i \\(BC = 8\\) m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.

\n

Prostokat \\(ABCF\\):
\\[P_{prost} = 16 \\cdot 8 = 128 \\text{ m}^2\\]

\n

Gorny bok \\(CE = 10\\) m jest krotszy od \\(AB = 16\\) m o \\(16 - 10 = 6\\) m, wiec nad odcinkiem \\(CE\\) brakuje trojkata o podstawie \\(6\\) m i wysokosci \\(8\\) m:
\\[P_{ubytek} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ m}^2\\]

\n

Zatem trapez ma pole \\(128 - 24 = 104\\) m\\(^2\\), a po dodaniu trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)):
\\[P = 104 + 20 = 124 \\text{ m}^2 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dzial 11 (Planimetria) - pole trapezu:
\\[P = \\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\]
gdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Uzyte do trapezu \\(ABCE\\).

\n

Pole trojkata prostokatnego - polowa iloczynu przyprostokatnych:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]
Uzyte do trojkata \\(CDE\\).

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi \\(124\\) m\\(^2\\). Punktowane: obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) (\\(104\\) m\\(^2\\)), obliczenie pola trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)) oraz zsumowanie na pole calej dzialki (\\(124\\) m\\(^2\\)).
\n

Typowe pulapki

\n
Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu (\\(AB\\) i \\(CE\\)), a ktory wysokoscia (\\(BC\\)), wyjdzie zly wynik.
\n
Uwaga: w trojkacie \\(CDE\\) przyprostokatnymi sa \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)) - odcinek \\(DE\\) to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P = 124 \\text{ m}^{2}\\)

\n
Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez
\n

Dzielimy figurę na dwie części:

\n\n

Pole trójkąta \\(CED\\):
\\[P_{\\triangle CED} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^{2}.\\]

\n

Pole trapezu \\(ABCE\\):
\\[P_{ABCE} = \\dfrac{(AB + CE)\\cdot BC}{2} = \\dfrac{(16 + 10)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{208}{2} = 104 \\text{ m}^{2}.\\]

\n

Pole działki:
\\[P = P_{\\triangle CED} + P_{ABCE} = 20 + 104 = 124 \\text{ m}^{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty
\n

Można też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)\\cdot h}{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$27\\sqrt{3} > 40$, ilość sadzonek jest niewystarczająca

"}]}