{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (6 pkt)\nObjętość walca jest równa\nπ\n250 cmł. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako\nfunkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość\npromienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.\n6\nArkusz II\nZadanie optymalizacyjne: Objętość walca jest równa $250\\pi$ cm${}^3$. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.","answer":null,"answer_text":"15.1\nWyznaczenie długości h wysokości walca\nw zależności od długości r promienia\npodstawy\n1 p\n2\n250\nr\nh =\n15.2\nWyznaczenie pola powierzchni całkowitej\nwalca jako funkcji zmiennej r\n1 p\n( )\nr\nr\nr\nP\nπ\nπ\n500\n2\n3 +\n15.3\nOkreślenie dziedziny funkcji ( )\nr\nP\n1 p\n(\n)\n+∞\n∈\n,0\nr\n15.4\nWyznaczenie\n( )\nr\nP'\n1 p\n( )\n2\n3\n500\n4\nr\nr\nr\nP\nπ\nπ\n1\n15.5\nRozwiązanie równania\n( )\n0\nr\nP\n1 p\n5\nr\n15.6\nUzasadnienie, że dla\n5\nr\nfunkcja\nprzyjmuje wartość najmniejszą\n1 p","solution":"$r = 5$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (6 pkt)
Objętość walca jest równa
π
250 cmł. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako
funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość
promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
6
Arkusz II
Zadanie optymalizacyjne: Objętość walca jest równa 250π cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

","answer_text_html":"

15.1
Wyznaczenie długości h wysokości walca
w zależności od długości r promienia
podstawy
1 p
2
250
r
h =
15.2
Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej
walca jako funkcji zmiennej r
1 p
( )
r
r
r
P
π
π
500
2
3 +
15.3
Określenie dziedziny funkcji ( )
r
P
1 p
(
)
+∞
∈
,0
r
15.4
Wyznaczenie
( )
r
P'
1 p
( )
2
3
500
4
r
r
r
P
π
π
1
15.5
Rozwiązanie równania
( )
0
r
P
1 p
5
r
15.6
Uzasadnienie, że dla
5
r
funkcja
przyjmuje wartość najmniejszą
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

r=5

"}]}