{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (10 pkt)\nRozwiąż nierówność\n( )\n9\n,0\n2\n8\n1\n4\n1\n2\n1\n>\nx\nx\nx\nx\n, gdzie lewa strona tej nierówności jest\nsumą nieskończonego ciągu geometrycznego.\n9\nArkusz II\nRozwiąż nierówność {1\\o2^x}+{1\\o4^x}+{1\\o8^x}+\\dots > 2^x - 0\\.(9) gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.","answer":null,"answer_text":"18.1\nZauważenie, że w ciągu, który jest lewą\nstroną danej nierówności\nx\nq\na\n2\n1\n1\n1 p\n18.2\nPodanie warunku zbieżności i\nwyznaczenie tych wartości x , dla\nktórych ciąg, który jest lewą stroną danej\nnierówności jest zbieżny\n1 p\n0\n>\nx\n2\n3\n18.3\nWyznaczenie sumy S ciągu, który jest\nlewą stroną danej nierówności\n1 p\nx\nx\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n1\n1\n2\n1\n18.4\nZamiana ułamka okresowego\n( )\n9\n,0\nna\nzwykły\n1 p\n( )\n1\n9\n,0\n18.5\nWykonanie podstawienia pomocniczej\nniewiadomej\nx\nt\n\n\n\n\n\n\n2\n1\ni zapisanie danej\nnierówności za pomocą zmiennej t (1)\n1 p (1)\n1\n1\n1\n>\nt\nt\nt\n18.6\nPrzekształcenie nierówności (1) do\npostaci (2)\n1 p (2)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\n>\n\n\n\n\n\n-\nt\nt\nt\n18.7\nRozwiązanie nierówności (2)\n1 p\n(\n)\n\n\n\n\n\n\n∪\n∞\n∈\n1,\n2\n1\n0,\nt\n18.8\nZapisanie warunku (3)\n1 p (3)\n\n\n\n\n\n\n\n\n<\n\n\n\n\n\n\n∧\n>\n\n\n\n\n\n\n∨\n<\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx\n18.9\nWyznaczenie x z warunku (3)\n1 p\n(\n)\n1,0\n∈\nx\n18.10\nSprawdzenie czy otrzymane wartości x\nnależą do dziedziny nierówności\ni odpowiedź.\n1 p","solution":"$x \\in (0, 1)$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-18.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (10 pkt)
Rozwiąż nierówność
( )
9
,0
2
8
1
4
1
2
1

\n
\n

x
x
x
x
, gdzie lewa strona tej nierówności jest
sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
9
Arkusz II
Rozwiąż nierówność {1\\o2^x}+{1\\o4^x}+{1\\o8^x}+\\dots > 2^x - 0\\.(9) gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

","answer_text_html":"

18.1
Zauważenie, że w ciągu, który jest lewą
stroną danej nierówności
x
q
a
2
1
1
1 p
18.2
Podanie warunku zbieżności i
wyznaczenie tych wartości x , dla
których ciąg, który jest lewą stroną danej
nierówności jest zbieżny
1 p
0

\n
\n

x
2
3
18.3
Wyznaczenie sumy S ciągu, który jest
lewą stroną danej nierówności
1 p
x
x
S












2
1
1
2
1
18.4
Zamiana ułamka okresowego
( )
9
,0
na
zwykły
1 p
( )
1
9
,0
18.5
Wykonanie podstawienia pomocniczej
niewiadomej
x
t






2
1
i zapisanie danej
nierówności za pomocą zmiennej t (1)
1 p (1)
1
1
1

\n
\n

t
t
t
18.6
Przekształcenie nierówności (1) do
postaci (2)
1 p (2)
(
)
0
1
2
1
2

\n
\n






-
t
t
t
18.7
Rozwiązanie nierówności (2)
1 p
(
)






∪
∞
∈
1,
2
1
0,
t
18.8
Zapisanie warunku (3)
1 p (3)








<






∧

\n
\n







∨
<






1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
x
x
x
18.9
Wyznaczenie x z warunku (3)
1 p
(
)
1,0
∈
x
18.10
Sprawdzenie czy otrzymane wartości x
należą do dziedziny nierówności
i odpowiedź.
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-18.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x∈(0,1)

"}]}