{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (10 pkt)\nW trójkącie jeden z kątów ma miarę\n°\n120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi\nwyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości\npromienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten\ntrójkąt.\n10\nArkusz II\n\n11\nArkusz II\n\n12\nArkusz II\nW trójkącie jeden z kątów ma miarę 120 stopni. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.","answer":null,"answer_text":"19.1\nWyrażenie długości boków\nc\nb,\ntrójkąta\nza pomocą a i r , gdzie a to długość\nnajkrótszego boku i\n0\n>\nr\n1 p\nr\na\nc\nr\na\nb\n2\n,\n19.2\nWykorzystanie informacji, że suma\ndługości boków trójkąta wynosi 30 do\nwyznaczenia związku pomiędzy ai r\n1 p\n10\n+ r\na\n19.3\nZastosowanie twierdzenia cosinusów do\nwyznaczenia drugiego związku\npomiędzy a i r\n1 p (\n)\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n\n\n-\n⋅\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\nr\na\na\nr\na\na\nr\na\n19.4\nZapisanie układu równań (1) z\nniewiadomymi a i r\n1 p (1)\n2\n2\n10\n2\n3\n0\na\nr\na\nar\nr\n\n\n\n19.5\nRozwiązanie układu równań(1)\n1 p\n6\n,4\na\nr\n19.6\nPodanie długości boków trójkąta\n1 p\n14\n,\n10\n,6\nc\nb\na\n19.7\nObliczenie pola trójkąta\n1 p\n19.8\nObliczenie długości R promienia okręgu\nopisanego na trójkącie\n1 p\n3\n3\n14\nR\n19.9\nObliczenie długości s promienia okręgu\nwpisanego w trójkąt\n1 p\n3\ns","solution":"$\\dfrac{14}{3}$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (10 pkt)
W trójkącie jeden z kątów ma miarę
°
120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten
trójkąt.
10
Arkusz II

\n

11
Arkusz II

\n

12
Arkusz II
W trójkącie jeden z kątów ma miarę 120 stopni. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

","answer_text_html":"

19.1
Wyrażenie długości boków
c
b,
trójkąta
za pomocą a i r , gdzie a to długość
najkrótszego boku i
0

\n
\n

r
1 p
r
a
c
r
a
b
2
,
19.2
Wykorzystanie informacji, że suma
długości boków trójkąta wynosi 30 do
wyznaczenia związku pomiędzy ai r
1 p
10

\n\n

a
19.3
Zastosowanie twierdzenia cosinusów do
wyznaczenia drugiego związku
pomiędzy a i r
1 p (
)
(
)
(
)





-
⋅
2
1
2
2
2
2
2
r
a
a
r
a
a
r
a
19.4
Zapisanie układu równań (1) z
niewiadomymi a i r
1 p (1)
2
2
10
2
3
0
a
r
a
ar
r



19.5
Rozwiązanie układu równań(1)
1 p
6
,4
a
r
19.6
Podanie długości boków trójkąta
1 p
14
,
10
,6
c
b
a
19.7
Obliczenie pola trójkąta
1 p
19.8
Obliczenie długości R promienia okręgu
opisanego na trójkącie
1 p
3
3
14
R
19.9
Obliczenie długości s promienia okręgu
wpisanego w trójkąt
1 p
3
s

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-19.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

143

"}]}