{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"20","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (6 pkt )\nUdowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego,\ndodatniego n zachodzi równość:\nn\nn\nn\n2\n1\n2\n3\n)1\n3\n(\n8\n5\n2 +\n2\n\nArkusz II\n7\nUdowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego n zachodzi równość: 2+5+8+..+(3n-1)={3/2}n^2+{1/2}n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 20.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nSprawdzenie, czy dla\nzachodzi dana równość.\nn\nOdp. Lewa strona równości jest równa 2. Prawa\nstrona jest równa\n2\n1\n2\n3 +\n1\n2.\nZapisanie założenia indukcyjnego.\nOdp.\nk\nk\n2\n1\n3\n(\n8\n5\n2 +\n2\n, gdzie k\njest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub\nrówną 1.\n1\n3.\nZapisanie tezy indukcyjnej.\nOdp.\n)1\n(\n2\n1\n)1\n(\n2\n3\n)1\n3\n(\n8\n5\n2\n2\nk\nk\nk\n1\n4.\nPrzeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.\nOdp.\n)1\n(\n2\n1\n)1\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n3\n2\n3\n)\n2\n3\n(\n2\n1\n2\n3\n)1\n3\n(\n8\n5\n2\n2\n2\n2\nk\nk\nk\nk\nk\nk\nk\nk\n2\n5.\nSformułowanie odpowiedzi.\nOdp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana\nrówność jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej,\ndodatniej n.\n1","solution":"Dowód indukcyjny.","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-20.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (6 pkt )
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego,
dodatniego n zachodzi równość:
n
n
n
2
1
2
3
)1
3
(
8
5
2 +
2

\n

Arkusz II
7
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego n zachodzi równość: 2+5+8+..+(3n-1)={3/2}n^2+{1/2}n

","answer_text_html":"

Zadanie 20.
L. p.
Wykonana czynność
L. punktów
1.
Sprawdzenie, czy dla
zachodzi dana równość.
n
Odp. Lewa strona równości jest równa 2. Prawa
strona jest równa
2
1
2
3 +
1
2.
Zapisanie założenia indukcyjnego.
Odp.
k
k
2
1
3
(
8
5
2 +
2
, gdzie k
jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub
równą 1.
1
3.
Zapisanie tezy indukcyjnej.
Odp.
)1
(
2
1
)1
(
2
3
)1
3
(
8
5
2
2
k
k
k
1
4.
Przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.
Odp.
)1
(
2
1
)1
2
1
2
1
2
3
3
2
3
)
2
3
(
2
1
2
3
)1
3
(
8
5
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
2
5.
Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana
równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej,
dodatniej n.
1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-20.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód indukcyjny.

"}]}