{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"20","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (10 pkt)\nFunkcja h jest określona wzorem\n. Wyznacz wszystkie\nwartości parametru\ndla których równanie\nma dwa różne pierwiastki.\n)\n5\n(\nlog\n)\n4\n(\nlog\n)\n(\n2\n2\n2\nx\nx\nx\nh\n0\nlog\n)\n(\n2\nk\nx\nh\n,k\n\n8\nArkusz II\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"20.\n(10 pkt)\n39. Przekształcenie równania do postaci:\n0\n4\n5\n2\nk\nkx\nx\n1p.\n40. Zapisanie układu warunków \n, gdzie\noznacza odciętą\nwierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji\n, przy\npewnej wartości\n\n\n>\n>\n>\n∆\n0\n)\n5\n(\n5\n0\nf\nxw\nw\nx\nf\nx2\n5\nkx\nk\n-4\nk\n1p.\n41. Obliczenie wyróżnika trójmianu:\n16\n20\n2\n∆\nk\nk\n1p.\n42. Rozwiązanie nierówności\n:\n0\n>\n∆\n(\n) (\n)\n∞\n∞\n∈\n⇔\n>\n∆\n;\n21\n2\n21\n2\n10\n;\n0\nk\n∪10\n1p.\n43. Rozwiązanie nierówności\n: k\n5\n>\nw\nx\n(\n)\n∞\n∈\n;\n10\n1p.\n44. Sprawdzenie, że warunek\nzachodzi dla każdej rzeczywistej\nwartości parametru\n0\n)\n5\n(\n>\nf\nk\n1p.\n44. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu\nnierówności z p.40 oraz warunku\n: Dla wszystkich\n0\nk >\n(\n)\n∞\n∈\n;\n21\n2\n10\nk\nrównanie\nma dwa różne pierwiastki.\n0\nlog\n)\n(\n2\nk\nx\nh\n1p.\n45. Zapisanie zależności między zmiennymi:\n2\n2\nr\nH\nr\nR\nH\nR\n1p.\n46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np.\n8\n16\n2\n= H\nH\nr\n1p.\n47. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:\n8\n16\n3\n)\n(\n2\n⋅\nH\nH\nH\nV\nπ\n1p.\n48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V\n:\n)\n(H\n(\n)\n∞\n;\n8\nV\nD\n1p.\n49. Obliczenie pochodnej funkcji objętości:\n(\n)\n2\n8\n)\n16\n(\n3\n16\n)\n('\n⋅\nH\nH\nH\nH\nπ\nV\n,\nV\nV\nD\nD\n1p.\n50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości:\n16\nH\n1p.\n51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości: V\noraz V\n)\n;\n16\n(\n0\n)\n('\n∞\n∈\n⇔\n>\nH\nH\n)\n16\n;8\n(\n0\n)\n('\n∈\n⇔\n<\nH\nH\n1p.\n52. Stwierdzenie i zapisanie, że dla\nfunkcja V osiąga lokalne\nminimum równe\n16\nH\n3\n512\n)\n16\n(\nπ\nV\n1p.\n53. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest\nwartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:\noraz\n+∞\n→\n)\n(\nlim\n8\nH\nV\nH\n+∞\n∞\n→\n)\n(\nlim\nH\nV\nH\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 20. (10 pkt)
Funkcja h jest określona wzorem
. Wyznacz wszystkie
wartości parametru
dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki.
)
5
(
log
)
4
(
log
)
(
2
2
2
x
x
x
h
0
log
)
(
2
k
x
h
,k

\n

8
Arkusz II
Odpowiedź:

","answer_text_html":"

20.
(10 pkt)

\n
  1. Przekształcenie równania do postaci:
\n

0
4
5
2
k
kx
x
1p.

\n
  1. Zapisanie układu warunków 
\n

, gdzie
oznacza odciętą
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji
, przy
pewnej wartości


\n


\n

∆
0
)
5
(
5
0
f
xw
w
x
f
x2
5
kx
k
-4
k
1p.

\n
  1. Obliczenie wyróżnika trójmianu:
\n

16
20
2
∆
k
k
1p.

\n
  1. Rozwiązanie nierówności
\n

:
0

\n
\n

∆
(
) (
)
∞
∞
∈
⇔

\n
\n

∆
;
21
2
21
2
10
;
0
k
∪10
1p.

\n
  1. Rozwiązanie nierówności
\n

: k
5

\n
\n

w
x
(
)
∞
∈
;
10
1p.

\n
  1. Sprawdzenie, że warunek
\n

zachodzi dla każdej rzeczywistej
wartości parametru
0
)
5
(

\n
\n

f
k
1p.

\n
  1. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu
\n

nierówności z p.40 oraz warunku
: Dla wszystkich
0
k >
(
)
∞
∈
;
21
2
10
k
równanie
ma dwa różne pierwiastki.
0
log
)
(
2
k
x
h
1p.

\n
  1. Zapisanie zależności między zmiennymi:
\n

2
2
r
H
r
R
H
R
1p.

\n
  1. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np.
\n

8
16
2
= H
H
r
1p.

\n
  1. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:
\n

8
16
3
)
(
2
⋅
H
H
H
V
π
1p.

\n
  1. Wyznaczenie dziedziny funkcji V
\n

:
)
(H
(
)
∞
;
8
V
D
1p.

\n
  1. Obliczenie pochodnej funkcji objętości:
\n

(
)
2
8
)
16
(
3
16
)
('
⋅
H
H
H
H
π
V
,
V
V
D
D
1p.

\n
  1. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości:
\n

16
H
1p.

\n
  1. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości: V
\n

oraz V
)
;
16
(
0
)
('
∞
∈
⇔

\n
\n

H
H
)
16
;8
(
0
)
('
∈
⇔
<
H
H
1p.

\n
  1. Stwierdzenie i zapisanie, że dla
\n

funkcja V osiąga lokalne
minimum równe
16
H
3
512
)
16
(
π
V
1p.

\n
  1. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest
\n

wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:
oraz
+∞
→
)
(
lim
8
H
V
H
+∞
∞
→
)
(
lim
H
V
H
1p.

","solutions":[]}