{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (2 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji f(x)=-3x +b jest „2. Oblicz b.\ni\no\n3\n5\nE\nco)\nE Zadanie 2. (3 pkt)\nĘ\na Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=(1- x)(x +1)+2x . Wyznacz zbiór wartości\n> funkcji f.\nR\nG\nE\nN\n$\nŹ\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(\\bar{x} \\approx 3{,}86\\), wariancja \\(\\sigma^2 \\approx 0{,}69\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\)\n\n## Sposób 1 - wzory z definicji (krok po kroku)\n\n**Dane:** oceny \\(5, 5, 3, 4, 3, 3, 4\\), liczba ocen \\(n = 7\\).\n\n### a) Średnia arytmetyczna\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nSumujemy oceny:\n\\[5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4 = 27\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{27}{7} \\approx 3{,}857\\ldots \\approx \\mathbf{3{,}86}\\]\n\n### b) Wariancja\n\nWzór:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{x})^2 + (a_2 - \\bar{x})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{x})^2}{n}\\]\n\nObliczamy odchylenia od średniej \\(\\bar{x} = \\frac{27}{7}\\) dla każdej oceny:\n\n| ocena \\(a_i\\) | \\(a_i - \\bar{x}\\) | \\((a_i - \\bar{x})^2\\) |\n| 5 | \\(5 - \\frac{27}{7} = \\frac{8}{7}\\) | \\(\\frac{64}{49}\\) |\n| 5 | \\(\\frac{8}{7}\\) | \\(\\frac{64}{49}\\) |\n| 3 | \\(3 - \\frac{27}{7} = -\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(4 - \\frac{27}{7} = \\frac{1}{7}\\) | \\(\\frac{1}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(\\frac{1}{7}\\) | \\(\\frac{1}{49}\\) |\n\nSuma kwadratów odchyleń:\n\\[\\frac{64 + 64 + 36 + 1 + 36 + 36 + 1}{49} = \\frac{238}{49}\\]\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{1}{7} \\cdot \\frac{238}{49} = \\frac{238}{343} \\approx 0{,}6937\\ldots \\approx \\mathbf{0{,}69}\\]\n\n### Odchylenie standardowe\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{\\frac{238}{343}} \\approx \\sqrt{0{,}6937} \\approx \\mathbf{0{,}83}\\]\n\n## Sposób 2 - wariancja wzorem skróconym\n\nIstnieje praktyczny wzór obliczeniowy, który pozwala uniknąć liczenia odchyleń dla każdej wartości:\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{a_1^2 + a_2^2 + \\ldots + a_n^2}{n} - \\bar{x}^2\\]\n\n(jest to przekształcenie algebraiczne definicji wariancji - wynik jest identyczny)\n\nSumujemy **kwadraty** ocen:\n\\[5^2 + 5^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 3^2 + 4^2 = 25 + 25 + 9 + 16 + 9 + 9 + 16 = 109\\]\n\nŚrednia kwadratów:\n\\[\\frac{109}{7} \\approx 15{,}5714\\]\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{109}{7} - \\left(\\frac{27}{7}\\right)^2 = \\frac{109}{7} - \\frac{729}{49} = \\frac{763}{49} - \\frac{729}{49} = \\frac{34}{49}\\]\n\nChwila - sprawdźmy zgodność z wynikiem z Metody 1:\n\\[\\frac{34}{49} = \\frac{34 \\cdot 7}{49 \\cdot 7} = \\frac{238}{343} \\checkmark\\]\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{34}{49} \\approx 0{,}6939 \\approx \\mathbf{0{,}69}\\]\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{34}{49}} = \\frac{\\sqrt{34}}{7} \\approx \\frac{5{,}831}{7} \\approx \\mathbf{0{,}83}\\]\n\nWyniki zgodne - obliczenia poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\nWszystkie trzy wzory są wprost na karcie - to zadanie wymaga po prostu ich zastosowania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu wariancji używamy **dokładnej** wartości średniej \\(\\bar{x} = \\frac{27}{7}\\), a nie przybliżonej \\(3{,}86\\). Jeśli podstawimy \\(3{,}86\\) zamiast \\(\\frac{27}{7}\\), błąd zaokrąglenia \"mnoży się\" przez 7 i wynik wariancji będzie niepoprawny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenie standardowe to **pierwiastek** z wariancji, nie wariancja sama w sobie. To częsty błąd - odpowiedzią na pytanie o wariancję jest \\(\\approx 0{,}69\\), a na odchylenie standardowe \\(\\approx 0{,}83\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wariancja statystyczna to dzielenie przez \\(n\\) (liczba danych), nie przez \\(n-1\\). Na maturze zawsze używamy dzielenia przez \\(n\\) (wariancja populacyjna zgodna z kartą wzorów CKE).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(\\bar{x} \\approx 3{,}86\\); \\(\\sigma^{2} \\approx 0{,}69\\); \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\).\n\n### Sposób 1 - Wzory klasyczne ze średnią arytmetyczną\n**a) Średnia ocen:**\nDane: \\(5, 5, 3, 4, 3, 3, 4\\); liczba ocen \\(n = 7\\).\n\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4}{7} = \\dfrac{27}{7} \\approx 3{,}857 \\approx 3{,}86.\\]\n\n**b) Wariancja** (wzór klasyczny \\(\\sigma^{2} = \\dfrac{1}{n}\\sum(x_i - \\bar{x})^{2}\\)):\n\nObliczamy odchylenia od średniej \\(\\bar{x} = \\dfrac{27}{7}\\):\n\n| \\(x_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^{2}\\) |\n| 5 | \\(5 - \\tfrac{27}{7} = \\tfrac{8}{7}\\) | \\(\\tfrac{64}{49}\\) |\n| 5 | \\(\\tfrac{8}{7}\\) | \\(\\tfrac{64}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(\\tfrac{1}{7}\\) | \\(\\tfrac{1}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(\\tfrac{1}{7}\\) | \\(\\tfrac{1}{49}\\) |\n\nSuma: \\(\\tfrac{64+64+36+1+36+36+1}{49} = \\tfrac{238}{49} = \\tfrac{34}{7}\\).\n\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{34}{7} = \\dfrac{34}{49} \\approx 0{,}6939 \\approx 0{,}69.\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\dfrac{34}{49}} = \\dfrac{\\sqrt{34}}{7} \\approx \\dfrac{5{,}831}{7} \\approx 0{,}833 \\approx 0{,}83.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skrócony dla wariancji\n\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2}.\\]\n\nLiczymy średnią kwadratów:\n\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{5^{2} + 5^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{7} = \\dfrac{25+25+9+16+9+9+16}{7} = \\dfrac{109}{7}.\\]\n\n\\[\\bar{x}^{2} = \\left(\\dfrac{27}{7}\\right)^{2} = \\dfrac{729}{49}.\\]\n\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{109}{7} - \\dfrac{729}{49} = \\dfrac{763 - 729}{49} = \\dfrac{34}{49} \\approx 0{,}69.\\]\n\n\\[\\sigma \\approx 0{,}83.\\]\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWariancja mierzy przeciętne kwadratowe odchylenie od średniej. Odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\) oznacza, że oceny Janka „typowo\" odchylają się o około \\(0{,}83\\) od średniej \\(3{,}86\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (2 pkt)
Miejscem zerowym funkcji f(x)=-3x +b jest „2. Oblicz b.
i
o
3
5
E
co)
E Zadanie 2. (3 pkt)
Ę
a Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=(1- x)(x +1)+2x . Wyznacz zbiór wartości

\n
funkcji f.
\n

R
G
E
N
$
Ź
3
oC
oO
2
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\(\\bar{x} \\approx 3{,}86\\), wariancja \\(\\sigma^2 \\approx 0{,}69\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\)

\n

Sposób 1 - wzory z definicji (krok po kroku)

\n

Dane: oceny \\(5, 5, 3, 4, 3, 3, 4\\), liczba ocen \\(n = 7\\).

\n
a) Średnia arytmetyczna
\n

\\[\\bar{x} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]

\n

Sumujemy oceny:
\\[5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4 = 27\\]

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{27}{7} \\approx 3{,}857\\ldots \\approx \\mathbf{3{,}86}\\]

\n
b) Wariancja
\n

Wzór:
\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{x})^2 + (a_2 - \\bar{x})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{x})^2}{n}\\]

\n

Obliczamy odchylenia od średniej \\(\\bar{x} = \\frac{27}{7}\\) dla każdej oceny:

\n

| ocena \\(a_i\\) | \\(a_i - \\bar{x}\\) | \\((a_i - \\bar{x})^2\\) |
| 5 | \\(5 - \\frac{27}{7} = \\frac{8}{7}\\) | \\(\\frac{64}{49}\\) |
| 5 | \\(\\frac{8}{7}\\) | \\(\\frac{64}{49}\\) |
| 3 | \\(3 - \\frac{27}{7} = -\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |
| 4 | \\(4 - \\frac{27}{7} = \\frac{1}{7}\\) | \\(\\frac{1}{49}\\) |
| 3 | \\(-\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |
| 3 | \\(-\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |
| 4 | \\(\\frac{1}{7}\\) | \\(\\frac{1}{49}\\) |

\n

Suma kwadratów odchyleń:
\\[\\frac{64 + 64 + 36 + 1 + 36 + 36 + 1}{49} = \\frac{238}{49}\\]

\n

Wariancja:
\\[\\sigma^2 = \\frac{1}{7} \\cdot \\frac{238}{49} = \\frac{238}{343} \\approx 0{,}6937\\ldots \\approx \\mathbf{0{,}69}\\]

\n
Odchylenie standardowe
\n

\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{\\frac{238}{343}} \\approx \\sqrt{0{,}6937} \\approx \\mathbf{0{,}83}\\]

\n

Sposób 2 - wariancja wzorem skróconym

\n

Istnieje praktyczny wzór obliczeniowy, który pozwala uniknąć liczenia odchyleń dla każdej wartości:

\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{a_1^2 + a_2^2 + \\ldots + a_n^2}{n} - \\bar{x}^2\\]

\n

(jest to przekształcenie algebraiczne definicji wariancji - wynik jest identyczny)

\n

Sumujemy kwadraty ocen:
\\[5^2 + 5^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 3^2 + 4^2 = 25 + 25 + 9 + 16 + 9 + 9 + 16 = 109\\]

\n

Średnia kwadratów:
\\[\\frac{109}{7} \\approx 15{,}5714\\]

\n

Wariancja:
\\[\\sigma^2 = \\frac{109}{7} - \\left(\\frac{27}{7}\\right)^2 = \\frac{109}{7} - \\frac{729}{49} = \\frac{763}{49} - \\frac{729}{49} = \\frac{34}{49}\\]

\n

Chwila - sprawdźmy zgodność z wynikiem z Metody 1:
\\[\\frac{34}{49} = \\frac{34 \\cdot 7}{49 \\cdot 7} = \\frac{238}{343} \\checkmark\\]

\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{34}{49} \\approx 0{,}6939 \\approx \\mathbf{0{,}69}\\]

\n

\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{34}{49}} = \\frac{\\sqrt{34}}{7} \\approx \\frac{5{,}831}{7} \\approx \\mathbf{0{,}83}\\]

\n

Wyniki zgodne - obliczenia poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n

Średnia arytmetyczna:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]

\n

Wariancja:
\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]

\n

Wszystkie trzy wzory są wprost na karcie - to zadanie wymaga po prostu ich zastosowania.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu wariancji używamy dokładnej wartości średniej \\(\\bar{x} = \\frac{27}{7}\\), a nie przybliżonej \\(3{,}86\\). Jeśli podstawimy \\(3{,}86\\) zamiast \\(\\frac{27}{7}\\), błąd zaokrąglenia "mnoży się" przez 7 i wynik wariancji będzie niepoprawny.
\n
⚠️ Uwaga: Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji, nie wariancja sama w sobie. To częsty błąd - odpowiedzią na pytanie o wariancję jest \\(\\approx 0{,}69\\), a na odchylenie standardowe \\(\\approx 0{,}83\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wariancja statystyczna to dzielenie przez \\(n\\) (liczba danych), nie przez \\(n-1\\). Na maturze zawsze używamy dzielenia przez \\(n\\) (wariancja populacyjna zgodna z kartą wzorów CKE).
\n

Poprawne odpowiedzi: \\(\\bar{x} \\approx 3{,}86\\); \\(\\sigma^{2} \\approx 0{,}69\\); \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\).

\n
Sposób 1 - Wzory klasyczne ze średnią arytmetyczną
\n

a) Średnia ocen:
Dane: \\(5, 5, 3, 4, 3, 3, 4\\); liczba ocen \\(n = 7\\).

\n

\\[\\bar{x} = \\dfrac{5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4}{7} = \\dfrac{27}{7} \\approx 3{,}857 \\approx 3{,}86.\\]

\n

b) Wariancja (wzór klasyczny \\(\\sigma^{2} = \\dfrac{1}{n}\\sum(x_i - \\bar{x})^{2}\\)):

\n

Obliczamy odchylenia od średniej \\(\\bar{x} = \\dfrac{27}{7}\\):

\n

| \\(x_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^{2}\\) |
| 5 | \\(5 - \\tfrac{27}{7} = \\tfrac{8}{7}\\) | \\(\\tfrac{64}{49}\\) |
| 5 | \\(\\tfrac{8}{7}\\) | \\(\\tfrac{64}{49}\\) |
| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |
| 4 | \\(\\tfrac{1}{7}\\) | \\(\\tfrac{1}{49}\\) |
| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |
| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |
| 4 | \\(\\tfrac{1}{7}\\) | \\(\\tfrac{1}{49}\\) |

\n

Suma: \\(\\tfrac{64+64+36+1+36+36+1}{49} = \\tfrac{238}{49} = \\tfrac{34}{7}\\).

\n

\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{34}{7} = \\dfrac{34}{49} \\approx 0{,}6939 \\approx 0{,}69.\\]

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{\\dfrac{34}{49}} = \\dfrac{\\sqrt{34}}{7} \\approx \\dfrac{5{,}831}{7} \\approx 0{,}833 \\approx 0{,}83.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór skrócony dla wariancji
\n

\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2}.\\]

\n

Liczymy średnią kwadratów:
\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{5^{2} + 5^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{7} = \\dfrac{25+25+9+16+9+9+16}{7} = \\dfrac{109}{7}.\\]

\n

\\[\\bar{x}^{2} = \\left(\\dfrac{27}{7}\\right)^{2} = \\dfrac{729}{49}.\\]

\n

\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{109}{7} - \\dfrac{729}{49} = \\dfrac{763 - 729}{49} = \\dfrac{34}{49} \\approx 0{,}69.\\]

\n

\\[\\sigma \\approx 0{,}83.\\]

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Wariancja mierzy przeciętne kwadratowe odchylenie od średniej. Odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\) oznacza, że oceny Janka „typowo" odchylają się o około \\(0{,}83\\) od średniej \\(3{,}86\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$b = 3\\sqrt{2}$

"}]}