{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\n. 3-2. 3+2\nDane są liczby a -N3-2 i pa iB?\n5 5\na-b\na. Sprawdź, czy -- =20\na-b\n. a\nb. Oblicz | -\nb\ni\no\n3\n5\nE\nE\nE\na\n3\na\n>\n2\nZ\nGd\nE\nN\nR\n3\ncz)\nĘ\noc\noO\nZJ\nz\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(n = 15\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie z prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Liczymy, ile jest wszystkich żetonów i ile jest sposobów losowania.**\n\nW pudełku mamy:\n- \\(6\\) żetonów o nominale \\(5\\) zł\n- \\(n\\) żetonów o nominale \\(10\\) zł\n- łącznie: \\(6 + n\\) żetonów\n\nLosujemy **2 żetony bez kolejności** (losowanie bez zwracania).\n\nLiczba wszystkich sposobów wyboru 2 żetonów z \\(6 + n\\):\n\\[\\binom{6+n}{2} = \\frac{(6+n)(5+n)}{2}\\]\n\nLiczba sposobów wylosowania **obu żetonów o nominale 10 zł** (wybieramy 2 spośród \\(n\\)):\n\\[\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\]\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P = \\frac{\\binom{n}{2}}{\\binom{6+n}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{\\dfrac{n(n-1)}{2}}{\\dfrac{(6+n)(5+n)}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nUpraszczamy (dwójki w mianowniku i liczniku się skracają):\n\\[\\frac{n(n-1)}{(6+n)(5+n)} = \\frac{1}{2}\\]\n\nMnożymy krzyżowo:\n\\[2n(n-1) = (6+n)(5+n)\\]\n\nRozwijamy obie strony:\n\\[2n^2 - 2n = 30 + 6n + 5n + n^2\\]\n\\[2n^2 - 2n = n^2 + 11n + 30\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[n^2 - 13n - 30 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 13^2 + 4 \\cdot 30 = 169 + 120 = 289 = 17^2\\]\n\nPierwiastki:\n\\[n = \\frac{13 \\pm 17}{2}\\]\n\\[n_1 = \\frac{13 + 17}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]\n\\[n_2 = \\frac{13 - 17}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\nPonieważ \\(n\\) oznacza liczbę żetonów, musi być liczbą całkowitą dodatnią, więc \\(n_2 = -2\\) odrzucamy.\n\n**Odpowiedź: \\(n = 15\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(n = 15\\) prawdopodobieństwo rzeczywiście wynosi \\(\\frac{1}{2}\\).\n\nŁącznie żetonów: \\(6 + 15 = 21\\)\n\nWszystkie sposoby wylosowania 2 żetonów:\n\\[\\binom{21}{2} = \\frac{21 \\cdot 20}{2} = 210\\]\n\nSposoby wylosowania 2 żetonów \\(10\\)-złotowych (z 15):\n\\[\\binom{15}{2} = \\frac{15 \\cdot 14}{2} = 105\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P = \\frac{105}{210} = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]\n\n**Wynik się zgadza - \\(n = 15\\) jest poprawne.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru, gdzie \\(|\\Omega| = \\binom{6+n}{2}\\) to liczba wszystkich równie możliwych wyników, a \\(|A| = \\binom{n}{2}\\) to liczba wyników sprzyjających (oba żetony po 10 zł).\n\n**Dział 4 (Silnia i współczynnik dwumianowy, s. 6)** - symbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy w postaci \\(\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\) do zliczenia liczby par żetonów.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego \\(n^2 - 13n - 30 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić losowania **bez kolejności** z losowaniem z kolejnością. Tu losujemy 2 żetony naraz (lub po kolei bez zwracania i nie patrzymy na kolejność) - stosujemy kombinacje \\(\\binom{n}{2}\\), nie wariacje \\(n(n-1)\\). Gdybyś użył wariacji w liczniku i mianowniku, wynik byłby taki sam - ale na maturze warto wiedzieć, co i dlaczego stosujesz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje **dwa rozwiązania** - \\(n = 15\\) i \\(n = -2\\). Zawsze sprawdź, które rozwiązanie ma sens w kontekście zadania. Liczba żetonów nie może być ujemna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy mnożeniu krzyżowym i rozwijaniu \\((6+n)(5+n)\\). Dokładnie: \\(6 \\cdot 5 + 6n + 5n + n^2 = 30 + 11n + n^2\\) - nie zapomnij o wyrazie wolnym \\(30\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(n = 15\\).\n\n### Sposób 1 - Kombinacje (losowanie bez zwracania, bez kolejności)\nPudełko zawiera \\(6 + n\\) żetonów. Losujemy 2, stąd:\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\\[|\\Omega| = \\binom{n+6}{2} = \\dfrac{(n+6)(n+5)}{2}.\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\):** „oba żetony o nominale \\(10\\) zł\":\n\\[|A| = \\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}.\\]\n\n**Założenie dziedziny:** \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) oraz \\(n \\ge 2\\) (aby można było wylosować 2 żetony \\(10\\) zł); inaczej mówiąc \\(n \\in \\mathbb{N}_{+} \\setminus \\{1\\}\\).\n\n**Równanie z prawdopodobieństwa:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{n(n-1)}{(n+6)(n+5)} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[2n(n-1) = (n+6)(n+5)\\]\n\\[2n^{2} - 2n = n^{2} + 11n + 30\\]\n\\[n^{2} - 13n - 30 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 169 + 120 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\):\n\\[n = \\dfrac{13 \\pm 17}{2} \\Rightarrow n_{1} = 15, \\quad n_{2} = -2.\\]\n\n**Odrzucenie \\(n = -2\\):** niemożliwe fizycznie (ujemna liczba żetonów). Zatem:\n\\[n = 15.\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\(|\\Omega| = \\binom{21}{2} = \\dfrac{21\\cdot 20}{2} = 210\\).\n- \\(|A| = \\binom{15}{2} = \\dfrac{15\\cdot 14}{2} = 105\\).\n- \\(P(A) = \\dfrac{105}{210} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Kolejne losowania (z pamięcią)\nAlternatywnie traktujemy losowanie jako dwa kolejne (bez zwracania):\n\\[P(A) = \\dfrac{n}{n+6}\\cdot\\dfrac{n-1}{n+5} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\nOtrzymujemy to samo równanie i ten sam wynik.\n\n### Sposób 3 - Podstawienie i analiza\nOznaczmy \\(m = n+6\\) (liczba wszystkich żetonów). Wtedy \\(n = m-6\\), \\(n-1 = m-7\\), \\(n+5 = m-1\\):\n\\[\\dfrac{(m-6)(m-7)}{m(m-1)} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n\\[2(m-6)(m-7) = m(m-1)\\]\n\\[2(m^{2} - 13m + 42) = m^{2} - m\\]\n\\[m^{2} - 25m + 84 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 625 - 336 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\):\n\\[m = \\dfrac{25\\pm 17}{2} \\Rightarrow m = 21 \\text{ lub } m = 4.\\]\n\nDla \\(m = 21\\): \\(n = 15\\) ✓.\nDla \\(m = 4\\): \\(n = -2\\) - odrzucone.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nZakładając \\(n \\ge 2\\), zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \\(n = 15\\). W pudełku jest wtedy \\(15\\) żetonów po \\(10\\) zł i \\(6\\) żetonów po \\(5\\) zł (razem \\(21\\)), a prawdopodobieństwo wylosowania dwóch „dziesiątek\" wynosi dokładnie \\(\\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (6 pkt)
. 3-2. 3+2
Dane są liczby a -N3-2 i pa iB?
5 5
a-b
a. Sprawdź, czy -- =20
a-b
. a
b. Oblicz | -
b
i
o
3
5
E
E
E
a
3
a

\n
\n

2
Z
Gd
E
N
R
3
cz)
Ę
oc
oO
ZJ
z
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(n = 15\\)

\n

Sposób 1 - Równanie z prawdopodobieństwa klasycznego

\n

Liczymy, ile jest wszystkich żetonów i ile jest sposobów losowania.

\n

W pudełku mamy:

\n\n

Losujemy 2 żetony bez kolejności (losowanie bez zwracania).

\n

Liczba wszystkich sposobów wyboru 2 żetonów z \\(6 + n\\):
\\[\\binom{6+n}{2} = \\frac{(6+n)(5+n)}{2}\\]

\n

Liczba sposobów wylosowania obu żetonów o nominale 10 zł (wybieramy 2 spośród \\(n\\)):
\\[\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\]

\n

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P = \\frac{\\binom{n}{2}}{\\binom{6+n}{2}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[\\frac{\\dfrac{n(n-1)}{2}}{\\dfrac{(6+n)(5+n)}{2}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Upraszczamy (dwójki w mianowniku i liczniku się skracają):
\\[\\frac{n(n-1)}{(6+n)(5+n)} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Mnożymy krzyżowo:
\\[2n(n-1) = (6+n)(5+n)\\]

\n

Rozwijamy obie strony:
\\[2n^2 - 2n = 30 + 6n + 5n + n^2\\]
\\[2n^2 - 2n = n^2 + 11n + 30\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[n^2 - 13n - 30 = 0\\]

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = 13^2 + 4 \\cdot 30 = 169 + 120 = 289 = 17^2\\]

\n

Pierwiastki:
\\[n = \\frac{13 \\pm 17}{2}\\]
\\[n_1 = \\frac{13 + 17}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]
\\[n_2 = \\frac{13 - 17}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]

\n

Ponieważ \\(n\\) oznacza liczbę żetonów, musi być liczbą całkowitą dodatnią, więc \\(n_2 = -2\\) odrzucamy.

\n

Odpowiedź: \\(n = 15\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(n = 15\\) prawdopodobieństwo rzeczywiście wynosi \\(\\frac{1}{2}\\).

\n

Łącznie żetonów: \\(6 + 15 = 21\\)

\n

Wszystkie sposoby wylosowania 2 żetonów:
\\[\\binom{21}{2} = \\frac{21 \\cdot 20}{2} = 210\\]

\n

Sposoby wylosowania 2 żetonów \\(10\\)-złotowych (z 15):
\\[\\binom{15}{2} = \\frac{15 \\cdot 14}{2} = 105\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[P = \\frac{105}{210} = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - \\(n = 15\\) jest poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru, gdzie \\(|\\Omega| = \\binom{6+n}{2}\\) to liczba wszystkich równie możliwych wyników, a \\(|A| = \\binom{n}{2}\\) to liczba wyników sprzyjających (oba żetony po 10 zł).

\n

Dział 4 (Silnia i współczynnik dwumianowy, s. 6) - symbol Newtona:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy w postaci \\(\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\) do zliczenia liczby par żetonów.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na pierwiastki trójmianu:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego \\(n^2 - 13n - 30 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić losowania bez kolejności z losowaniem z kolejnością. Tu losujemy 2 żetony naraz (lub po kolei bez zwracania i nie patrzymy na kolejność) - stosujemy kombinacje \\(\\binom{n}{2}\\), nie wariacje \\(n(n-1)\\). Gdybyś użył wariacji w liczniku i mianowniku, wynik byłby taki sam - ale na maturze warto wiedzieć, co i dlaczego stosujesz.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - \\(n = 15\\) i \\(n = -2\\). Zawsze sprawdź, które rozwiązanie ma sens w kontekście zadania. Liczba żetonów nie może być ujemna!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić się przy mnożeniu krzyżowym i rozwijaniu \\((6+n)(5+n)\\). Dokładnie: \\(6 \\cdot 5 + 6n + 5n + n^2 = 30 + 11n + n^2\\) - nie zapomnij o wyrazie wolnym \\(30\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(n = 15\\).

\n
Sposób 1 - Kombinacje (losowanie bez zwracania, bez kolejności)
\n

Pudełko zawiera \\(6 + n\\) żetonów. Losujemy 2, stąd:

\n

Przestrzeń zdarzeń elementarnych:
\\[|\\Omega| = \\binom{n+6}{2} = \\dfrac{(n+6)(n+5)}{2}.\\]

\n

Zdarzenie \\(A\\): „oba żetony o nominale \\(10\\) zł":
\\[|A| = \\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}.\\]

\n

Założenie dziedziny: \\(n \\in \\mathbb{N}{+}\\) oraz \\(n \\ge 2\\) (aby można było wylosować 2 żetony \\(10\\) zł); inaczej mówiąc \\(n \\in \\mathbb{N}{+} \\setminus \\{1\\}\\).

\n

Równanie z prawdopodobieństwa:
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{n(n-1)}{(n+6)(n+5)} = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n

Rozwiązanie:
\\[2n(n-1) = (n+6)(n+5)\\]
\\[2n^{2} - 2n = n^{2} + 11n + 30\\]
\\[n^{2} - 13n - 30 = 0.\\]

\n

\\(\\Delta = 169 + 120 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\):
\\[n = \\dfrac{13 \\pm 17}{2} \\Rightarrow n_{1} = 15, \\quad n_{2} = -2.\\]

\n

Odrzucenie \\(n = -2\\): niemożliwe fizycznie (ujemna liczba żetonów). Zatem:
\\[n = 15.\\]

\n

Sprawdzenie:

\n\n
Sposób 2 - Kolejne losowania (z pamięcią)
\n

Alternatywnie traktujemy losowanie jako dwa kolejne (bez zwracania):
\\[P(A) = \\dfrac{n}{n+6}\\cdot\\dfrac{n-1}{n+5} = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n

Otrzymujemy to samo równanie i ten sam wynik.

\n
Sposób 3 - Podstawienie i analiza
\n

Oznaczmy \\(m = n+6\\) (liczba wszystkich żetonów). Wtedy \\(n = m-6\\), \\(n-1 = m-7\\), \\(n+5 = m-1\\):
\\[\\dfrac{(m-6)(m-7)}{m(m-1)} = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n

\\[2(m-6)(m-7) = m(m-1)\\]
\\[2(m^{2} - 13m + 42) = m^{2} - m\\]
\\[m^{2} - 25m + 84 = 0.\\]

\n

\\(\\Delta = 625 - 336 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\):
\\[m = \\dfrac{25\\pm 17}{2} \\Rightarrow m = 21 \\text{ lub } m = 4.\\]

\n

Dla \\(m = 21\\): \\(n = 15\\) ✓.
Dla \\(m = 4\\): \\(n = -2\\) - odrzucone.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Zakładając \\(n \\ge 2\\), zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \\(n = 15\\). W pudełku jest wtedy \\(15\\) żetonów po \\(10\\) zł i \\(6\\) żetonów po \\(5\\) zł (razem \\(21\\)), a prawdopodobieństwo wylosowania dwóch „dziesiątek" wynosi dokładnie \\(\\tfrac{1}{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

tak, $\\left| \\dfrac{a}{b} \\right| = 7 - 4\\sqrt{3}$

"}]}