{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nDane są wielomiany OQ(x)=x* - x? +2 i S(x)=-2x7 -2x+4.\na. Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x).\nb. Wielomian P(x) jest sumą wielomianów O(x) i S(x). Rozłóż wielomian P(x) na\nczynniki liniowe.\ni\no\n3\n5\nGd\nE\ne)\nn\n3\na\nN\nn\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I\nA Brudnopis\na\nG\nN\n3\n3\no\nĘ\na\n[oj\n=)\nN\nn\n„2\nN\ng\nKcy\nN\nJ\n3\nA\nGd\ne\n3)\n&","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nObliczenie wartości wielomianu Q dla o() =6\nx=2\nSformutowanie odpowiedzi 1 Liczba 2 nie jest pierwiastkiem\np wielomianu O\nWykonanie dodawania wielomianów P(x) = x 3x2 -2x+6\nZapisanie wielomianu P w postaci iloczynu P(x) - (x _ 3) 22\ndwumianu liniowego i dwumianu lp\nkwadratowego\nZapisanie wielomianu P w postaci P(x) - (x _ 3) a 42 + Na)\niloczynowej\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\beta = 30°\\)\n\n## Sposób 1 - Apotema podstawy i apotema boczna\n\n**Krok 1 - Wyznaczamy bok podstawy \\(a\\)**\n\nPole prawidłowego sześciokąta o boku \\(a\\):\n\\[P_\\text{podstawy} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2\\]\n\nZ warunków zadania:\n\\[\\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2 = 6\\sqrt{3}\\]\n\\[a^2 = 6\\sqrt{3} \\cdot \\frac{2}{3\\sqrt{3}} = 4\\]\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n**Krok 2 - Wyznaczamy apotemę boczną \\(l\\) (wysokość ściany bocznej)**\n\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego to \\(6\\) przystających trójkątów, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\):\n\\[P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = 3al\\]\n\nZ warunków zadania:\n\\[3 \\cdot 2 \\cdot l = 12 \\implies \\boxed{l = 2}\\]\n\n**Krok 3 - Wyznaczamy apotemę \\(m\\) sześciokąta (odl. środka do środka boku)**\n\nApotema prawidłowego sześciokąta o boku \\(a\\):\n\\[m = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczamy wysokość ostrosłupa \\(h\\)**\n\nW prawokątnym trójkącie \\(OMA\\) (gdzie \\(O\\) - środek podstawy, \\(M\\) - środek boku sześciokąta, \\(A\\) - wierzchołek):\n- \\(OA = h\\) (wysokość ostrosłupa)\n- \\(OM = m = \\sqrt{3}\\) (apotema podstawy)\n- \\(MA = l = 2\\) (apotema boczna - przyprostokątna prostopadła do krawędzi)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h^2 = l^2 - m^2 = 4 - 3 = 1 \\implies \\boxed{h = 1}\\]\n\n**Krok 5 - Szukany kąt \\(\\beta\\)**\n\nKąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą mierzymy wzdłuż krawędzi bocznej. Do jego wyznaczenia służy odcinek prostopadły do tej krawędzi - **apotema**. Szukany kąt \\(\\beta\\) to \\(\\angle OMA\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{OA}{OM} = \\frac{h}{m} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\beta = 30°}\\]\n\n**Rysunek:**\n\nA (wierzchołek)\n/ |h \\\n/ O------M\n/ / m=√3 \\\npodstawa (sześciokąt)\n\nKąt β = ∠(OMA) = 30°\nO - środek podstawy\nM - środek boku podstawy\nA - wierzchołek ostrosłupa\nβ zaznaczone w punkcie M\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z cosinusa kąta\n\nMając \\(m = \\sqrt{3}\\) i \\(l = 2\\) (bez wyznaczania \\(h\\)), możemy użyć cosinusa wprost:\n\nW trójkącie \\(OMA\\) kąt \\(\\beta\\) jest przy \\(M\\), przyległa przyprostokątna to \\(OM = m = \\sqrt{3}\\), przeciwprostokątna to \\(MA = l = 2\\):\n\n\\[\\cos\\beta = \\frac{OM}{MA} = \\frac{m}{l} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWartość \\(\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to wartość tablicowa dla:\n\\[\\boxed{\\beta = 30°}\\]\n\n**Weryfikacja przez sinus:**\n\\[\\sin\\beta = \\frac{h}{l} = \\frac{1}{2} \\implies \\beta = 30° \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Kroku 4: \\(h^2 + m^2 = l^2\\), stąd \\(h = 1\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyte w wyznaczeniu \\(P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - Objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\n(tu nie użyta bezpośrednio, ale wzór na \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód} \\cdot l\\) jest konsekwencją tej sekcji).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Definicja cosinus/tangens w trójkącie prostokątnym oraz tabela wartości kątów:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\nUżyte do odczytania miary kąta z wartości \\(\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema sześciokąta to **NIE** jest promień okręgu opisanego! Promień opisany = \\(a\\), ale apotema (do środka boku) = \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Mylenie tych dwóch długości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między ścianą boczną a podstawą **mierzymy przez apotemę** (odcinek prostopadły do krawędzi podstawy). Nie mierzymy go przez krawędź boczną ostrosłupa (ta łączy środek podstawy z wierzchołkiem sześciokąta - to by dał inny kąt).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że ściana boczna ostrosłupa prawidłowego to trójkąt **równoramienny**, a jego wysokość (apotema boczna \\(l\\)) opada na **środek** krawędzi podstawy - stąd właśnie leży w płaszczyźnie symetrii i wyznacza szukany kąt dwuścienny.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\beta = 30^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nOstrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. Niech \\(a\\) - długość boku podstawy, \\(h_{p}\\) - apotema podstawy (odległość środka \\(O\\) od boku), \\(h_{b}\\) - apotema ściany bocznej (wysokość ściany bocznej z wierzchołka \\(W\\) do środka krawędzi podstawy).\n\n**Krok 1 - pole podstawy i wyznaczenie \\(a\\):**\nPole sześciokąta foremnego: \\(P_{\\text{pod}} = 6\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nZ warunku:\n\\[\\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]\n\\[3a^{2} = 12 \\Rightarrow a^{2} = 4 \\Rightarrow a = 2.\\]\n\n**Krok 2 - apotema podstawy \\(h_{p}\\):**\nW sześciokącie foremnym \\(O C\\) (od środka do środka boku) wynosi:\n\\[h_{p} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 3 - pole powierzchni bocznej i wyznaczenie \\(h_{b}\\):**\nPowierzchnia boczna to \\(6\\) trójkątów równoramiennych, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h_{b}\\):\n\\[P_{\\text{bocz}} = 6\\cdot\\dfrac{a\\cdot h_{b}}{2} = 3a\\cdot h_{b} = 12.\\]\n\\[3\\cdot 2\\cdot h_{b} = 12 \\Rightarrow h_{b} = 2.\\]\n\n**Krok 4 - obliczenie kąta nachylenia \\(\\beta\\):**\nTrójkąt \\(WOC\\), gdzie \\(C\\) - środek krawędzi podstawy, \\(O\\) - środek podstawy, \\(W\\) - wierzchołek ostrosłupa. Kąt \\(\\beta = \\angle WCO\\) to kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.\n\nW trójkącie prostokątnym \\(WOC\\) (prostokąt w \\(O\\)):\n- przeciwprostokątna \\(|WC| = h_{b} = 2\\),\n- przyprostokątna \\(|OC| = h_{p} = \\sqrt{3}\\) przylega do kąta \\(\\beta\\).\n\nStąd:\n\\[\\cos\\beta = \\dfrac{h_{p}}{h_{b}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow \\beta = 30^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wykorzystanie funkcji sinus\nW tym samym trójkącie prostokątnym: wysokość ostrosłupa \\(H = |WO|\\) jest przyprostokątną naprzeciw kąta \\(\\beta\\):\n\\[H = \\sqrt{h_{b}^{2} - h_{p}^{2}} = \\sqrt{4 - 3} = 1.\\]\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{H}{h_{b}} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\beta = 30^{\\circ}.\\]\n\n### Rysunek (szkic)\nOstrosłup prawidłowy sześciokątny \\(ABCDEF\\) z wierzchołkiem \\(W\\). Niech \\(C\\) - środek krawędzi boku podstawy (np. środek \\(AB\\)) - punkt gdzie apotema spotyka bok. Wówczas kąt \\(\\beta\\) zaznaczamy w płaszczyźnie ściany bocznej \\(W\\)-\\(AB\\), między odcinkiem \\(WC\\) (w ścianie bocznej) a odcinkiem \\(OC\\) (w podstawie). Kąt \\(\\beta = 30^{\\circ}\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) ✓\n- \\(\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓\n- \\(\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{H}{h_{p}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓\n\nWszystkie trzy warunki zgodne ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa różnica: **apotema podstawy** \\(h_{p}\\) (w podstawie, od środka do boku) kontra **apotema ściany bocznej** \\(h_{b}\\) (w ścianie, od wierzchołka do środka krawędzi podstawy). Różnią się one o wysokość ostrosłupa \\(H\\): \\(h_{b}^{2} = h_{p}^{2} + H^{2}\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (5 pkt)
Dane są wielomiany OQ(x)=x* - x? +2 i S(x)=-2x7 -2x+4.
a. Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x).
b. Wielomian P(x) jest sumą wielomianów O(x) i S(x). Rozłóż wielomian P(x) na
czynniki liniowe.
i
o
3
5
Gd
E
e)
n
3
a
N
n
o
R
KZ.
Kcy
E
N
J
3
A
3
oC
oO
2
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I
A Brudnopis
a
G
N
3
3
o
Ę
a
[oj
=)
N
n
„2
N
g
Kcy
N
J
3
A
Gd
e
3)
&

","answer_text_html":"

Zadanie 11
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie wartości wielomianu Q dla o() =6
x=2
Sformutowanie odpowiedzi 1 Liczba 2 nie jest pierwiastkiem
p wielomianu O
Wykonanie dodawania wielomianów P(x) = x 3x2 -2x+6
Zapisanie wielomianu P w postaci iloczynu P(x) - (x _ 3) 22
dwumianu liniowego i dwumianu lp
kwadratowego
Zapisanie wielomianu P w postaci P(x) - (x _ 3) a 42 + Na)
iloczynowej
3

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\beta = 30°\\)

\n

Sposób 1 - Apotema podstawy i apotema boczna

\n

Krok 1 - Wyznaczamy bok podstawy \\(a\\)

\n

Pole prawidłowego sześciokąta o boku \\(a\\):
\\[P_\\text{podstawy} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2\\]

\n

Z warunków zadania:
\\[\\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2 = 6\\sqrt{3}\\]
\\[a^2 = 6\\sqrt{3} \\cdot \\frac{2}{3\\sqrt{3}} = 4\\]
\\[\\boxed{a = 2}\\]

\n

Krok 2 - Wyznaczamy apotemę boczną \\(l\\) (wysokość ściany bocznej)

\n

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego to \\(6\\) przystających trójkątów, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\):
\\[P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = 3al\\]

\n

Z warunków zadania:
\\[3 \\cdot 2 \\cdot l = 12 \\implies \\boxed{l = 2}\\]

\n

Krok 3 - Wyznaczamy apotemę \\(m\\) sześciokąta (odl. środka do środka boku)

\n

Apotema prawidłowego sześciokąta o boku \\(a\\):
\\[m = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}\\]

\n

Krok 4 - Wyznaczamy wysokość ostrosłupa \\(h\\)

\n

W prawokątnym trójkącie \\(OMA\\) (gdzie \\(O\\) - środek podstawy, \\(M\\) - środek boku sześciokąta, \\(A\\) - wierzchołek):

\n\n

Z twierdzenia Pitagorasa:
\\[h^2 = l^2 - m^2 = 4 - 3 = 1 \\implies \\boxed{h = 1}\\]

\n

Krok 5 - Szukany kąt \\(\\beta\\)

\n

Kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą mierzymy wzdłuż krawędzi bocznej. Do jego wyznaczenia służy odcinek prostopadły do tej krawędzi - apotema. Szukany kąt \\(\\beta\\) to \\(\\angle OMA\\):

\n

\\[\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{OA}{OM} = \\frac{h}{m} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]

\n

\\[\\boxed{\\beta = 30°}\\]

\n

Rysunek:

\n

A (wierzchołek)
/ |h \\
/ O------M
/ / m=√3 \\
podstawa (sześciokąt)

\n

Kąt β = ∠(OMA) = 30°
O - środek podstawy
M - środek boku podstawy
A - wierzchołek ostrosłupa
β zaznaczone w punkcie M

\n

Sposób 2 - Bezpośrednio z cosinusa kąta

\n

Mając \\(m = \\sqrt{3}\\) i \\(l = 2\\) (bez wyznaczania \\(h\\)), możemy użyć cosinusa wprost:

\n

W trójkącie \\(OMA\\) kąt \\(\\beta\\) jest przy \\(M\\), przyległa przyprostokątna to \\(OM = m = \\sqrt{3}\\), przeciwprostokątna to \\(MA = l = 2\\):

\n

\\[\\cos\\beta = \\frac{OM}{MA} = \\frac{m}{l} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Wartość \\(\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to wartość tablicowa dla:
\\[\\boxed{\\beta = 30°}\\]

\n

Weryfikacja przez sinus:
\\[\\sin\\beta = \\frac{h}{l} = \\frac{1}{2} \\implies \\beta = 30° \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Kroku 4: \\(h^2 + m^2 = l^2\\), stąd \\(h = 1\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyte w wyznaczeniu \\(P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 27) - Objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
(tu nie użyta bezpośrednio, ale wzór na \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód} \\cdot l\\) jest konsekwencją tej sekcji).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - Definicja cosinus/tangens w trójkącie prostokątnym oraz tabela wartości kątów:
\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]
Użyte do odczytania miary kąta z wartości \\(\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Apotema sześciokąta to NIE jest promień okręgu opisanego! Promień opisany = \\(a\\), ale apotema (do środka boku) = \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Mylenie tych dwóch długości to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt między ścianą boczną a podstawą mierzymy przez apotemę (odcinek prostopadły do krawędzi podstawy). Nie mierzymy go przez krawędź boczną ostrosłupa (ta łączy środek podstawy z wierzchołkiem sześciokąta - to by dał inny kąt).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że ściana boczna ostrosłupa prawidłowego to trójkąt równoramienny, a jego wysokość (apotema boczna \\(l\\)) opada na środek krawędzi podstawy - stąd właśnie leży w płaszczyźnie symetrii i wyznacza szukany kąt dwuścienny.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(\\beta = 30^{\\circ}\\).

\n
Sposób 1 - Krok po kroku
\n

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. Niech \\(a\\) - długość boku podstawy, \\(h_{p}\\) - apotema podstawy (odległość środka \\(O\\) od boku), \\(h_{b}\\) - apotema ściany bocznej (wysokość ściany bocznej z wierzchołka \\(W\\) do środka krawędzi podstawy).

\n

Krok 1 - pole podstawy i wyznaczenie \\(a\\):
Pole sześciokąta foremnego: \\(P_{\\text{pod}} = 6\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Z warunku:
\\[\\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]
\\[3a^{2} = 12 \\Rightarrow a^{2} = 4 \\Rightarrow a = 2.\\]

\n

Krok 2 - apotema podstawy \\(h_{p}\\):
W sześciokącie foremnym \\(O C\\) (od środka do środka boku) wynosi:
\\[h_{p} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}.\\]

\n

Krok 3 - pole powierzchni bocznej i wyznaczenie \\(h_{b}\\):
Powierzchnia boczna to \\(6\\) trójkątów równoramiennych, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h_{b}\\):
\\[P_{\\text{bocz}} = 6\\cdot\\dfrac{a\\cdot h_{b}}{2} = 3a\\cdot h_{b} = 12.\\]
\\[3\\cdot 2\\cdot h_{b} = 12 \\Rightarrow h_{b} = 2.\\]

\n

Krok 4 - obliczenie kąta nachylenia \\(\\beta\\):
Trójkąt \\(WOC\\), gdzie \\(C\\) - środek krawędzi podstawy, \\(O\\) - środek podstawy, \\(W\\) - wierzchołek ostrosłupa. Kąt \\(\\beta = \\angle WCO\\) to kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

\n

W trójkącie prostokątnym \\(WOC\\) (prostokąt w \\(O\\)):

\n\n

Stąd:
\\[\\cos\\beta = \\dfrac{h_{p}}{h_{b}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow \\beta = 30^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 2 - Wykorzystanie funkcji sinus
\n

W tym samym trójkącie prostokątnym: wysokość ostrosłupa \\(H = |WO|\\) jest przyprostokątną naprzeciw kąta \\(\\beta\\):
\\[H = \\sqrt{h_{b}^{2} - h_{p}^{2}} = \\sqrt{4 - 3} = 1.\\]
\\[\\sin\\beta = \\dfrac{H}{h_{b}} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\beta = 30^{\\circ}.\\]

\n
Rysunek (szkic)
\n

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny \\(ABCDEF\\) z wierzchołkiem \\(W\\). Niech \\(C\\) - środek krawędzi boku podstawy (np. środek \\(AB\\)) - punkt gdzie apotema spotyka bok. Wówczas kąt \\(\\beta\\) zaznaczamy w płaszczyźnie ściany bocznej \\(W\\)-\\(AB\\), między odcinkiem \\(WC\\) (w ścianie bocznej) a odcinkiem \\(OC\\) (w podstawie). Kąt \\(\\beta = 30^{\\circ}\\).

\n
Weryfikacja
\n\n

Wszystkie trzy warunki zgodne ✓.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Kluczowa różnica: apotema podstawy \\(h_{p}\\) (w podstawie, od środka do boku) kontra apotema ściany bocznej \\(h_{b}\\) (w ścianie, od wierzchołka do środka krawędzi podstawy). Różnią się one o wysokość ostrosłupa \\(H\\): \\(h_{b}^{2} = h_{p}^{2} + H^{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Liczba 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu $Q$, $P(x) = (x - 3)(x - \\sqrt{2})(x + \\sqrt{2})$

"}]}