{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Pożyczkę w wysokości \\(8700\\) zł zaciągniętą w banku należy spłacić w \\(12\\) ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o \\(50\\) zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPierwsza rata \\(a_1 = 1000\\) zł, ostatnia rata \\(a_{12} = 450\\) zł.\n\n## Sposób 1 - Układ równań (suma ciągu + wzór na wyraz ogólny)\n\n**Co zauważamy:** Raty tworzą ciąg arytmetyczny - każda następna jest mniejsza o \\(50\\) zł, czyli różnica \\(r = -50\\).\n\n**Dane:**\n- liczba rat: \\(n = 12\\)\n- suma wszystkich rat = kwota pożyczki: \\(S_{12} = 8700\\) zł\n- różnica ciągu: \\(r = -50\\)\n\n**Krok 1 - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:**\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(S_{12} = 8700\\), \\(n = 12\\):\n\n\\[8700 = \\frac{a_1 + a_{12}}{2} \\cdot 12\\]\n\n\\[8700 = 6(a_1 + a_{12})\\]\n\n\\[a_1 + a_{12} = 1450\\]\n\n**Krok 2 - wzór na wyraz ogólny:**\n\n\\[a_{12} = a_1 + (12 - 1) \\cdot r = a_1 + 11 \\cdot (-50) = a_1 - 550\\]\n\n**Krok 3 - układ dwóch równań:**\n\n\\[\\begin{cases} a_1 + a_{12} = 1450 \\\\ a_{12} = a_1 - 550 \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy drugie do pierwszego:\n\n\\[a_1 + (a_1 - 550) = 1450\\]\n\n\\[2a_1 = 2000\\]\n\n\\[\\mathbf{a_1 = 1000 \\text{ zł}}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\mathbf{a_{12} = 1000 - 550 = 450 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę przez \\(a_1\\) i \\(r\\) od razu\n\nZamiast rozkładać na układ, używamy drugiej postaci wzoru na sumę, która od razu zawiera \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(S_{12} = 8700\\), \\(n = 12\\), \\(r = -50\\):\n\n\\[8700 = \\frac{2a_1 + 11 \\cdot (-50)}{2} \\cdot 12\\]\n\n\\[8700 = 6 \\cdot (2a_1 - 550)\\]\n\n\\[1450 = 2a_1 - 550\\]\n\n\\[2a_1 = 2000\\]\n\n\\[\\mathbf{a_1 = 1000 \\text{ zł}}\\]\n\nOstatnia rata:\n\n\\[a_{12} = 1000 + 11 \\cdot (-50) = 1000 - 550 = \\mathbf{450 \\text{ zł}}\\]\n\n**Weryfikacja:** Sprawdzamy czy suma się zgadza:\n\n\\[S_{12} = \\frac{1000 + 450}{2} \\cdot 12 = \\frac{1450}{2} \\cdot 12 = 725 \\cdot 12 = 8700 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy do wyrażenia \\(a_{12}\\) przez \\(a_1\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nSuma rat = kwota pożyczki - to jest serce całego zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r\\) jest **ujemna** (\\(r = -50\\)), bo każda następna rata jest **mniejsza**. Pomylenie znaku prowadzi do \\(a_{12} = 1000 + 550 = 1550\\) zł - wynik absurdalny (ostatnia rata większa od pierwszej!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostatnia rata to \\(a_{12}\\), czyli wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) z \\(n = 12\\) daje \\(a_1 + 11r\\), **nie** \\(a_1 + 12r\\). Błąd o jeden wyraz (\\(12\\) zamiast \\(11\\)) to częsta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma rat równa się kwocie pożyczki - to fizyczny sens zadania. Jeśli o tym zapomnisz i nie wykorzystasz warunku \\(S_{12} = 8700\\), masz za mało równań i nie da się wyznaczyć \\(a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** pierwsza rata \\(1000\\) zł, ostatnia rata \\(450\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny, wzór na sumę\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{12}\\) o różnicy \\(r = -50\\) (każda następna mniejsza o \\(50\\) zł).\n\nOznaczmy \\(a_1 = x\\). Wtedy:\n\\[a_{12} = a_1 + 11r = x + 11\\cdot(-50) = x - 550.\\]\n\nSuma wszystkich rat:\n\\[S_{12} = \\dfrac{a_1 + a_{12}}{2}\\cdot 12 = 8700.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{x + (x-550)}{2}\\cdot 12 = 8700\\]\n\\[(2x - 550)\\cdot 6 = 8700\\]\n\\[2x - 550 = 1450\\]\n\\[2x = 2000\\]\n\\[x = 1000.\\]\n\n**Pierwsza rata:** \\(a_1 = 1000\\) zł.\n**Ostatnia rata:** \\(a_{12} = 1000 - 550 = 450\\) zł.\n\n**Sprawdzenie:** \\(S = \\dfrac{1000 + 450}{2}\\cdot 12 = 725\\cdot 12 = 8700\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n\\)\n\\[8700 = \\dfrac{2a_1 + 11\\cdot(-50)}{2}\\cdot 12 = (2a_1 - 550)\\cdot 6.\\]\n\\[2a_1 - 550 = 1450 \\Rightarrow a_1 = 1000.\\]\n\nDalej \\(a_{12} = 1000 - 11\\cdot 50 = 450\\).\n\n### Sposób 3 - Rachunek średniej raty\nŚrednia rata: \\(\\dfrac{8700}{12} = 725\\) zł. W ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna wszystkich wyrazów jest równa średniej pierwszego i ostatniego:\n\\[\\dfrac{a_1 + a_{12}}{2} = 725 \\Rightarrow a_1 + a_{12} = 1450.\\]\n\nJednocześnie \\(a_1 - a_{12} = 11\\cdot 50 = 550\\) (różnica między pierwszą a ostatnią ratą).\n\nZ układu:\n\\[\\begin{cases} a_1 + a_{12} = 1450 \\\\ a_1 - a_{12} = 550 \\end{cases} \\Rightarrow a_1 = 1000, \\quad a_{12} = 450.\\]\n\n### Komentarz\nWszystkie raty są dodatnie (\\(450 > 0\\) ✓), więc harmonogram spłat jest realizowalny.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Pożyczkę w wysokości \\(8700\\) zł zaciągniętą w banku należy spłacić w \\(12\\) ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o \\(50\\) zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Pierwsza rata \\(a_1 = 1000\\) zł, ostatnia rata \\(a_{12} = 450\\) zł.

\n

Sposób 1 - Układ równań (suma ciągu + wzór na wyraz ogólny)

\n

Co zauważamy: Raty tworzą ciąg arytmetyczny - każda następna jest mniejsza o \\(50\\) zł, czyli różnica \\(r = -50\\).

\n

Dane:

\n\n

Krok 1 - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:

\n

\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

Podstawiamy \\(S_{12} = 8700\\), \\(n = 12\\):

\n

\\[8700 = \\frac{a_1 + a_{12}}{2} \\cdot 12\\]

\n

\\[8700 = 6(a_1 + a_{12})\\]

\n

\\[a_1 + a_{12} = 1450\\]

\n

Krok 2 - wzór na wyraz ogólny:

\n

\\[a_{12} = a_1 + (12 - 1) \\cdot r = a_1 + 11 \\cdot (-50) = a_1 - 550\\]

\n

Krok 3 - układ dwóch równań:

\n

\\[\\begin{cases} a_1 + a_{12} = 1450 \\\\ a_{12} = a_1 - 550 \\end{cases}\\]

\n

Podstawiamy drugie do pierwszego:

\n

\\[a_1 + (a_1 - 550) = 1450\\]

\n

\\[2a_1 = 2000\\]

\n

\\[\\mathbf{a_1 = 1000 \\text{ zł}}\\]

\n

Stąd:

\n

\\[\\mathbf{a_{12} = 1000 - 550 = 450 \\text{ zł}}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór na sumę przez \\(a_1\\) i \\(r\\) od razu

\n

Zamiast rozkładać na układ, używamy drugiej postaci wzoru na sumę, która od razu zawiera \\(a_1\\) i \\(r\\):

\n

\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Podstawiamy \\(S_{12} = 8700\\), \\(n = 12\\), \\(r = -50\\):

\n

\\[8700 = \\frac{2a_1 + 11 \\cdot (-50)}{2} \\cdot 12\\]

\n

\\[8700 = 6 \\cdot (2a_1 - 550)\\]

\n

\\[1450 = 2a_1 - 550\\]

\n

\\[2a_1 = 2000\\]

\n

\\[\\mathbf{a_1 = 1000 \\text{ zł}}\\]

\n

Ostatnia rata:

\n

\\[a_{12} = 1000 + 11 \\cdot (-50) = 1000 - 550 = \\mathbf{450 \\text{ zł}}\\]

\n

Weryfikacja: Sprawdzamy czy suma się zgadza:

\n

\\[S_{12} = \\frac{1000 + 450}{2} \\cdot 12 = \\frac{1450}{2} \\cdot 12 = 725 \\cdot 12 = 8700 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy do wyrażenia \\(a_{12}\\) przez \\(a_1\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Suma rat = kwota pożyczki - to jest serce całego zadania.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Różnica \\(r\\) jest ujemna (\\(r = -50\\)), bo każda następna rata jest mniejsza. Pomylenie znaku prowadzi do \\(a_{12} = 1000 + 550 = 1550\\) zł - wynik absurdalny (ostatnia rata większa od pierwszej!).
\n
⚠️ Uwaga: Ostatnia rata to \\(a_{12}\\), czyli wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) z \\(n = 12\\) daje \\(a_1 + 11r\\), nie \\(a_1 + 12r\\). Błąd o jeden wyraz (\\(12\\) zamiast \\(11\\)) to częsta pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Suma rat równa się kwocie pożyczki - to fizyczny sens zadania. Jeśli o tym zapomnisz i nie wykorzystasz warunku \\(S_{12} = 8700\\), masz za mało równań i nie da się wyznaczyć \\(a_1\\).
\n

Poprawna odpowiedź: pierwsza rata \\(1000\\) zł, ostatnia rata \\(450\\) zł.

\n
Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny, wzór na sumę
\n

Raty tworzą ciąg arytmetyczny \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{12}\\) o różnicy \\(r = -50\\) (każda następna mniejsza o \\(50\\) zł).

\n

Oznaczmy \\(a_1 = x\\). Wtedy:
\\[a_{12} = a_1 + 11r = x + 11\\cdot(-50) = x - 550.\\]

\n

Suma wszystkich rat:
\\[S_{12} = \\dfrac{a_1 + a_{12}}{2}\\cdot 12 = 8700.\\]

\n

Podstawiamy:
\\[\\dfrac{x + (x-550)}{2}\\cdot 12 = 8700\\]
\\[(2x - 550)\\cdot 6 = 8700\\]
\\[2x - 550 = 1450\\]
\\[2x = 2000\\]
\\[x = 1000.\\]

\n

Pierwsza rata: \\(a_1 = 1000\\) zł.
Ostatnia rata: \\(a_{12} = 1000 - 550 = 450\\) zł.

\n

Sprawdzenie: \\(S = \\dfrac{1000 + 450}{2}\\cdot 12 = 725\\cdot 12 = 8700\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Wzór \\(S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n\\)
\n

\\[8700 = \\dfrac{2a_1 + 11\\cdot(-50)}{2}\\cdot 12 = (2a_1 - 550)\\cdot 6.\\]
\\[2a_1 - 550 = 1450 \\Rightarrow a_1 = 1000.\\]

\n

Dalej \\(a_{12} = 1000 - 11\\cdot 50 = 450\\).

\n
Sposób 3 - Rachunek średniej raty
\n

Średnia rata: \\(\\dfrac{8700}{12} = 725\\) zł. W ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna wszystkich wyrazów jest równa średniej pierwszego i ostatniego:
\\[\\dfrac{a_1 + a_{12}}{2} = 725 \\Rightarrow a_1 + a_{12} = 1450.\\]

\n

Jednocześnie \\(a_1 - a_{12} = 11\\cdot 50 = 550\\) (różnica między pierwszą a ostatnią ratą).

\n

Z układu:
\\[\\begin{cases} a_1 + a_{12} = 1450 \\\\ a_1 - a_{12} = 550 \\end{cases} \\Rightarrow a_1 = 1000, \\quad a_{12} = 450.\\]

\n
Komentarz
\n

Wszystkie raty są dodatnie (\\(450 > 0\\) ✓), więc harmonogram spłat jest realizowalny.

"}]}