{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nWidownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym\nrzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym następnym rzędzie o 2 miejsca więcej niż\nw rzędzie poprzednim. W każdym sektorze są 22 rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc na\nwidowni.\ni\no\n3\n5\nE\nE\n5\nn\n3\na\n>\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nZapisanie, że liczba miejsc w kolejnych np. (a ) - ciąg arytmetyczny,\nrzędach sektora to wyrazy ciągu 1p \"\narytmetycznego. a, =8, r=2\na ; i =\na Obliczenie S,,. Sy, = 638\nĘ Obliczenie liczby wszystkich miejsc na 2552\n3 widowni.\nE Zadanie 4\n= Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nz Obliczenie miary kąta DBC . |ZDBC| = 45°\n8 Obliczenie miary kąta ABC . |ZABC| = 135°\nZ Obliczenie miary kąta BCA . |ZBCA| =22,5°\n> Obliczenie miary kąta ACD . |£ACD| = 67,59\n4 1 np. powołując się na monotoniczność\n“ Uzasadnienie , ze cos(ZACD) < 3 funkcji cosinus\na lp 1 1\no (cos 60° =- > cos67,5° < -).\n2 2 2\n1\nSchemat punktowania arkusza I z matematyki","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a = -2\\), \\(b = 3\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 + 3x + 1\\)\n\n**b)** Rozwiązanie nierówności: \\(x \\in \\left(0,\\, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań (podstawienie warunków do wzoru)\n\n### Część a) - wyznaczanie a i b\n\nPodstawiamy warunki do wzoru \\(f(x) = ax^2 + bx + 1\\):\n\n**Warunek \\(f(1) = 2\\):**\n\\[a \\cdot 1^2 + b \\cdot 1 + 1 = 2\\]\n\\[a + b + 1 = 2\\]\n\\[a + b = 1 \\quad (I)\\]\n\n**Warunek \\(f(2) = -1\\):**\n\\[a \\cdot 2^2 + b \\cdot 2 + 1 = -1\\]\n\\[4a + 2b + 1 = -1\\]\n\\[4a + 2b = -2\\]\n\\[2a + b = -1 \\quad (II)\\]\n\nOdejmujemy równanie \\((I)\\) od \\((II)\\):\n\\[(2a + b) - (a + b) = -1 - 1\\]\n\\[a = -2\\]\n\nPodstawiamy do \\((I)\\):\n\\[-2 + b = 1\\]\n\\[b = 3\\]\n\n**Wzór funkcji:**\n\\[\\boxed{f(x) = -2x^2 + 3x + 1}\\]\n\n### Część b) - rozwiązanie nierówności \\(f(x) > 1\\)\n\nPodstawiamy wyznaczony wzór:\n\\[-2x^2 + 3x + 1 > 1\\]\n\nPrzenosimy \\(1\\) na lewą stronę:\n\\[-2x^2 + 3x > 0\\]\n\nWyłączamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(-2x + 3) > 0\\]\n\nIloczyn jest **dodatni**, gdy oba czynniki mają ten sam znak.\n\nWyznaczamy miejsca zerowe: \\(x = 0\\) oraz \\(-2x + 3 = 0 \\Rightarrow x = \\dfrac{3}{2}\\)\n\nAnalizujemy znaki na przedziałach:\n\n| Przedział | \\(x\\) | \\(-2x+3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n| \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n\nNierówność spełniona dla:\n\\[\\boxed{x \\in \\left(0,\\, \\frac{3}{2}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - nierówność kwadratowa przez deltę (część b)\n\nZaczynamy od tej samej nierówności:\n\\[-2x^2 + 3x > 0\\]\n\nTraktujemy to jako nierówność kwadratową \\(-2x^2 + 3x + 0 > 0\\) (tu \\(c = 0\\)).\n\nObliczamy deltę:\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot (-2) \\cdot 0 = 9\\]\n\nMiejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-3 - 3}{-4} = \\frac{-6}{-4} = \\frac{3}{2}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-3 + 3}{-4} = 0\\]\n\nParabola skierowana **ramionami w dół** (\\(a = -2 < 0\\)), więc trójmian jest **dodatni między pierwiastkami**:\n\\[x \\in \\left(0,\\, \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\n## Weryfikacja (dla pewności)\n\nSprawdzamy punkt \\(x = 1\\) (leży w przedziale \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)):\n\\[f(1) = -2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1 + 1 = 2 > 1 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy punkt \\(x = 2\\) (poza przedziałem):\n\\[f(2) = -2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 2 + 1 = -1 \\not> 1 \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nW części b) użyliśmy wzoru na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\noraz wniosku o znaku funkcji kwadratowej:\n- gdy \\(a < 0\\) i \\(\\Delta > 0\\): trójmian jest **dodatni między pierwiastkami**, ujemny poza nimi.\n\nW części a) nie używamy wzorów z karty - wystarczy podstawianie i rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(f(1)\\) bardzo łatwo zapomnieć o wyrazie wolnym \\(+1\\) - wzór to \\(ax^2 + bx + \\mathbf{1}\\), nie \\(ax^2 + bx\\). Wtedy dostaniesz błędny układ i złe \\(a, b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W nierówności \\(x(-2x+3) > 0\\) nie dziel przez \\(x\\)! Nie wiesz, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności mógłby się zmienić. Zawsze analizuj znaki czynników w tabeli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końcowa odpowiedź to przedział **otwarty** \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\) - nie domknięty! W punktach \\(x = 0\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) mamy \\(f(x) = 1\\), a nierówność jest **ostra** (\\(f(x) > 1\\), nie \\(\\geq 1\\)).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(f(x) = -2x^{2} + 3x + 1\\); \\(x \\in \\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Układ równań, potem klasyczna nierówność kwadratowa\n**a) Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\):**\nZ warunków:\n\\[f(1) = a + b + 1 = 2 \\Rightarrow a + b = 1.\\]\n\\[f(2) = 4a + 2b + 1 = -1 \\Rightarrow 4a + 2b = -2 \\Rightarrow 2a + b = -1.\\]\n\n**Układ:**\n\\[\\begin{cases} a + b = 1 \\\\ 2a + b = -1 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze od drugiego: \\(a = -2\\). Wtedy \\(b = 1 - a = 3\\).\n\n\\[\\boxed{f(x) = -2x^{2} + 3x + 1.}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(1) = -2+3+1 = 2\\) ✓; \\(f(2) = -8+6+1 = -1\\) ✓.\n\n**b) Nierówność \\(f(x) > 1\\):**\n\\[-2x^{2} + 3x + 1 > 1\\]\n\\[-2x^{2} + 3x > 0\\]\n\\[x(-2x + 3) > 0 \\quad|\\cdot(-1)\\]\n\\[x(2x - 3) < 0.\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(x = 0\\) oraz \\(x = \\dfrac{3}{2}\\).\n\nRamiona paraboli \\(y = x(2x-3) = 2x^{2}-3x\\) w górę, więc nierówność \\(< 0\\) spełniona między miejscami zerowymi:\n\\[x \\in \\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Nierówność przez wzór Viète'a\n\\(-2x^{2} + 3x > 0\\). Wyciągamy czynnik: \\(x(3 - 2x) > 0\\). Znak iloczynu:\n- \\(x > 0\\) i \\(3 - 2x > 0 \\Rightarrow x < \\tfrac{3}{2}\\): przedział \\(\\left(0, \\tfrac{3}{2}\\right)\\) ✓\n- \\(x < 0\\) i \\(3 - 2x < 0 \\Rightarrow x > \\tfrac{3}{2}\\): sprzeczność.\n\nOstatecznie: \\(x \\in \\left(0, \\tfrac{3}{2}\\right)\\).\n\n### Sposób 3 - Graficznie\nFunkcja \\(f\\) ma ramiona w dół (\\(a = -2 < 0\\)). Poziom \\(y = 1\\) przecina wykres \\(f\\) dla \\(x\\) spełniających \\(-2x^{2} + 3x + 1 = 1\\), czyli \\(x = 0\\) lub \\(x = \\tfrac{3}{2}\\). Między tymi punktami funkcja leży powyżej \\(y = 1\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWarunek \\(f(x) > 1\\) - nierówność ostra, więc końce \\(0\\) i \\(\\tfrac{3}{2}\\) wyłączamy z przedziału.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (4 pkt)
Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym
rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym następnym rzędzie o 2 miejsca więcej niż
w rzędzie poprzednim. W każdym sektorze są 22 rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc na
widowni.
i
o
3
5
E
E
5
n
3
a

\n
\n

o
R
KZ.
Kcy
E
N
J
3
A
3
oC
oO
2
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I

","answer_text_html":"

Zadanie 3
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Zapisanie, że liczba miejsc w kolejnych np. (a ) - ciąg arytmetyczny,
rzędach sektora to wyrazy ciągu 1p "
arytmetycznego. a, =8, r=2
a ; i =
a Obliczenie S,,. Sy, = 638
Ę Obliczenie liczby wszystkich miejsc na 2552
3 widowni.
E Zadanie 4
= Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
z Obliczenie miary kąta DBC . |ZDBC| = 45°
8 Obliczenie miary kąta ABC . |ZABC| = 135°
Z Obliczenie miary kąta BCA . |ZBCA| =22,5°

\n
Obliczenie miary kąta ACD . |£ACD| = 67,59
\n

4 1 np. powołując się na monotoniczność
“ Uzasadnienie , ze cos(ZACD) < 3 funkcji cosinus
a lp 1 1
o (cos 60° =- > cos67,5° < -).
2 2 2
1
Schemat punktowania arkusza I z matematyki

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(a = -2\\), \\(b = 3\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 + 3x + 1\\)

\n

b) Rozwiązanie nierówności: \\(x \\in \\left(0,\\, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - układ równań (podstawienie warunków do wzoru)

\n
Część a) - wyznaczanie a i b
\n

Podstawiamy warunki do wzoru \\(f(x) = ax^2 + bx + 1\\):

\n

Warunek \\(f(1) = 2\\):
\\[a \\cdot 1^2 + b \\cdot 1 + 1 = 2\\]
\\[a + b + 1 = 2\\]
\\[a + b = 1 \\quad (I)\\]

\n

Warunek \\(f(2) = -1\\):
\\[a \\cdot 2^2 + b \\cdot 2 + 1 = -1\\]
\\[4a + 2b + 1 = -1\\]
\\[4a + 2b = -2\\]
\\[2a + b = -1 \\quad (II)\\]

\n

Odejmujemy równanie \\((I)\\) od \\((II)\\):
\\[(2a + b) - (a + b) = -1 - 1\\]
\\[a = -2\\]

\n

Podstawiamy do \\((I)\\):
\\[-2 + b = 1\\]
\\[b = 3\\]

\n

Wzór funkcji:
\\[\\boxed{f(x) = -2x^2 + 3x + 1}\\]

\n
Część b) - rozwiązanie nierówności \\(f(x) > 1\\)
\n

Podstawiamy wyznaczony wzór:
\\[-2x^2 + 3x + 1 > 1\\]

\n

Przenosimy \\(1\\) na lewą stronę:
\\[-2x^2 + 3x > 0\\]

\n

Wyłączamy \\(x\\) przed nawias:
\\[x(-2x + 3) > 0\\]

\n

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe: \\(x = 0\\) oraz \\(-2x + 3 = 0 \\Rightarrow x = \\dfrac{3}{2}\\)

\n

Analizujemy znaki na przedziałach:

\n

| Przedział | \\(x\\) | \\(-2x+3\\) | Iloczyn |
| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |
| \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |

\n

Nierówność spełniona dla:
\\[\\boxed{x \\in \\left(0,\\, \\frac{3}{2}\\right)}\\]

\n

Sposób 2 - nierówność kwadratowa przez deltę (część b)

\n

Zaczynamy od tej samej nierówności:
\\[-2x^2 + 3x > 0\\]

\n

Traktujemy to jako nierówność kwadratową \\(-2x^2 + 3x + 0 > 0\\) (tu \\(c = 0\\)).

\n

Obliczamy deltę:
\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot (-2) \\cdot 0 = 9\\]

\n

Miejsca zerowe trójmianu:
\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-3 - 3}{-4} = \\frac{-6}{-4} = \\frac{3}{2}\\]
\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-3 + 3}{-4} = 0\\]

\n

Parabola skierowana ramionami w dół (\\(a = -2 < 0\\)), więc trójmian jest dodatni między pierwiastkami:
\\[x \\in \\left(0,\\, \\frac{3}{2}\\right)\\]

\n

Weryfikacja (dla pewności)

\n

Sprawdzamy punkt \\(x = 1\\) (leży w przedziale \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)):
\\[f(1) = -2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1 + 1 = 2 > 1 \\quad \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy punkt \\(x = 2\\) (poza przedziałem):
\\[f(2) = -2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 2 + 1 = -1 \\not> 1 \\quad \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

W części b) użyliśmy wzoru na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

oraz wniosku o znaku funkcji kwadratowej:

\n\n

W części a) nie używamy wzorów z karty - wystarczy podstawianie i rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy podstawianiu \\(f(1)\\) bardzo łatwo zapomnieć o wyrazie wolnym \\(+1\\) - wzór to \\(ax^2 + bx + \\mathbf{1}\\), nie \\(ax^2 + bx\\). Wtedy dostaniesz błędny układ i złe \\(a, b\\).
\n
⚠️ Uwaga: W nierówności \\(x(-2x+3) > 0\\) nie dziel przez \\(x\\)! Nie wiesz, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności mógłby się zmienić. Zawsze analizuj znaki czynników w tabeli.
\n
⚠️ Uwaga: Końcowa odpowiedź to przedział otwarty \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\) - nie domknięty! W punktach \\(x = 0\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) mamy \\(f(x) = 1\\), a nierówność jest ostra (\\(f(x) > 1\\), nie \\(\\geq 1\\)).
\n

Poprawne odpowiedzi: \\(f(x) = -2x^{2} + 3x + 1\\); \\(x \\in \\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right)\\).

\n
Sposób 1 - Układ równań, potem klasyczna nierówność kwadratowa
\n

a) Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\):
Z warunków:
\\[f(1) = a + b + 1 = 2 \\Rightarrow a + b = 1.\\]
\\[f(2) = 4a + 2b + 1 = -1 \\Rightarrow 4a + 2b = -2 \\Rightarrow 2a + b = -1.\\]

\n

Układ:
\\[\\begin{cases} a + b = 1 \\\\ 2a + b = -1 \\end{cases}\\]

\n

Odejmujemy pierwsze od drugiego: \\(a = -2\\). Wtedy \\(b = 1 - a = 3\\).

\n

\\[\\boxed{f(x) = -2x^{2} + 3x + 1.}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(f(1) = -2+3+1 = 2\\) ✓; \\(f(2) = -8+6+1 = -1\\) ✓.

\n

b) Nierówność \\(f(x) > 1\\):
\\[-2x^{2} + 3x + 1 > 1\\]
\\[-2x^{2} + 3x > 0\\]
\\[x(-2x + 3) > 0 \\quad|\\cdot(-1)\\]
\\[x(2x - 3) < 0.\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(x = 0\\) oraz \\(x = \\dfrac{3}{2}\\).

\n

Ramiona paraboli \\(y = x(2x-3) = 2x^{2}-3x\\) w górę, więc nierówność \\(< 0\\) spełniona między miejscami zerowymi:
\\[x \\in \\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right).\\]

\n
Sposób 2 - Nierówność przez wzór Viète'a
\n

\\(-2x^{2} + 3x > 0\\). Wyciągamy czynnik: \\(x(3 - 2x) > 0\\). Znak iloczynu:

\n\n

Ostatecznie: \\(x \\in \\left(0, \\tfrac{3}{2}\\right)\\).

\n
Sposób 3 - Graficznie
\n

Funkcja \\(f\\) ma ramiona w dół (\\(a = -2 < 0\\)). Poziom \\(y = 1\\) przecina wykres \\(f\\) dla \\(x\\) spełniających \\(-2x^{2} + 3x + 1 = 1\\), czyli \\(x = 0\\) lub \\(x = \\tfrac{3}{2}\\). Między tymi punktami funkcja leży powyżej \\(y = 1\\).

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Warunek \\(f(x) > 1\\) - nierówność ostra, więc końce \\(0\\) i \\(\\tfrac{3}{2}\\) wyłączamy z przedziału.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$2552$

"}]}