{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nNa poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC (o podstawie AC ) oraz\nprostokątny równoramienny trójkąt BDC (o podstawie BC ). Uzasadnij, że cos(ZACD) < 2\nA)\nA B D\nE\nvo\n3\n5\nE\nE\n5\nn\n3\na\n>\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x - 4y + 3 = 0\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoodległości (definicja symetralnej)\n\n**Cel:** symetralna odcinka \\(CD\\) to zbiór punktów równoodległych od \\(C\\) i \\(D\\).\n\n**Krok 1.** Bierzemy dowolny punkt \\(P(x; y)\\) leżący na symetralnej i zapisujemy warunek:\n\\[|CP| = |DP| \\iff |CP|^2 = |DP|^2\\]\n\n**Krok 2.** Liczymy kwadrat odległości od \\(C(4; 6)\\):\n\\[|CP|^2 = (x - 4)^2 + (y - 6)^2\\]\n\ni od \\(D(6; -2)\\):\n\\[|DP|^2 = (x - 6)^2 + (y + 2)^2\\]\n\n**Krok 3.** Przyrównujemy i rozwijamy:\n\\[(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-6)^2 + (y+2)^2\\]\n\\[x^2 - 8x + 16 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 4y + 4\\]\n\n**Krok 4.** Odejmujemy \\(x^2\\) i \\(y^2\\) z obu stron (znikają!):\n\\[-8x + 16 - 12y + 36 = -12x + 36 + 4y + 4\\]\n\\[-8x - 12y + 52 = -12x + 4y + 40\\]\n\n**Krok 5.** Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[-8x - 12y + 52 + 12x - 4y - 40 = 0\\]\n\\[4x - 16y + 12 = 0\\]\n\n**Krok 6.** Dzielimy przez 4:\n\\[\\boxed{x - 4y + 3 = 0}\\]\n\n## Sposób 2 - Środek i kierunek prostopadły (metoda geometryczna)\n\nSymetralna odcinka \\(CD\\) to prosta, która:\n1. Przechodzi przez **środek** odcinka \\(CD\\)\n2. Jest **prostopadła** do odcinka \\(CD\\)\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy środek \\(S\\) odcinka \\(CD\\):\n\\[S = \\left(\\frac{4+6}{2},\\; \\frac{6+(-2)}{2}\\right) = \\left(5,\\; 2\\right)\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\):\n\\[a_{CD} = \\frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \\frac{-2 - 6}{6 - 4} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\n\n**Krok 3.** Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy odwrotny i ze zmienionym znakiem:\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a_{CD}} = -\\frac{1}{-4} = \\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 4.** Szukamy równania prostej przechodzącej przez \\(S(5; 2)\\) z kierunkiem \\(a_{\\perp} = \\frac{1}{4}\\):\n\\[y - 2 = \\frac{1}{4}(x - 5)\\]\n\\[4y - 8 = x - 5\\]\n\\[x - 4y + 3 = 0\\]\n\nWynik zgodny - symetralna to \\(\\boxed{x - 4y + 3 = 0}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWzór na odległość między dwoma punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego (w wersji na \\(|AP|^2\\) i \\(|DP|^2\\)) w Sposobie 1.\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia środka \\(S\\).\n\nWarunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego symetralnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((x-4)^2\\) uważaj na znaki - częsty błąd to \\((x-4)^2 = x^2 - 4x + 16\\) zamiast \\(x^2 - 8x + 16\\). Zawsze sprawdź, czy środkowy wyraz to \\(2 \\cdot x \\cdot 4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc \\(a_\\perp = -\\frac{1}{a}\\). Jeśli \\(a_{CD} = -4\\), to \\(a_\\perp = +\\frac{1}{4}\\) - nie odwrotność bez zmiany znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij uprościć wyniku - podziel przez NWD współczynników. Tu \\(4x - 16y + 12 = 0\\) trzeba skrócić przez 4, żeby dostać postać \\(x - 4y + 3 = 0\\). Obie postacie są poprawne matematycznie, ale ta skrócona jest standardowa.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x - 4y + 3 = 0\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda z definicji symetralnej (analogicznie do wzoru)\nNiech \\(P(x, y)\\) - dowolny punkt symetralnej odcinka \\(CD\\). Z definicji:\n\\[|CP| = |DP| \\Leftrightarrow |CP|^{2} = |DP|^{2}.\\]\n\nObliczamy:\n\\[|CP|^{2} = (x-4)^{2} + (y-6)^{2},\\]\n\\[|DP|^{2} = (x-6)^{2} + (y+2)^{2}.\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[(x-4)^{2} + (y-6)^{2} = (x-6)^{2} + (y+2)^{2}.\\]\n\nRozwijamy kwadraty:\n\\[(x^{2} - 8x + 16) + (y^{2} - 12y + 36) = (x^{2} - 12x + 36) + (y^{2} + 4y + 4).\\]\n\nSkracamy \\(x^{2}, y^{2}\\):\n\\[-8x + 16 - 12y + 36 = -12x + 36 + 4y + 4\\]\n\\[-8x - 12y + 52 = -12x + 4y + 40\\]\n\\[4x - 16y + 12 = 0 \\quad|\\div 4\\]\n\\[x - 4y + 3 = 0.\\]\n\n**Sprawdzenie:** środek \\(CD\\): \\(M = \\left(\\dfrac{4+6}{2}, \\dfrac{6+(-2)}{2}\\right) = (5, 2)\\). Podstawiamy: \\(5 - 8 + 3 = 0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Przez środek i wektor kierunkowy\nSymetralna odcinka \\(CD\\) przechodzi przez środek \\(M\\) i jest prostopadła do \\(CD\\).\n\n**Środek:** \\(M = \\left(\\dfrac{4+6}{2}, \\dfrac{6-2}{2}\\right) = (5, 2)\\).\n\n**Wektor \\(\\vec{CD}\\):** \\((6-4,\\ -2-6) = (2, -8)\\). Współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\): \\(m_{CD} = \\dfrac{-8}{2} = -4\\).\n\n**Prostopadła ma współczynnik:** \\(m_{sym} = \\dfrac{-1}{-4} = \\dfrac{1}{4}\\).\n\nRównanie symetralnej przez punkt \\(M(5, 2)\\):\n\\[y - 2 = \\dfrac{1}{4}(x - 5)\\]\n\\[4y - 8 = x - 5\\]\n\\[x - 4y + 3 = 0.\\]\n\n### Kontrola końcowa\nKażdy punkt symetralnej ma tę samą odległość od \\(C\\) i \\(D\\). Sprawdzenie dla punktu \\(M(5, 2)\\):\n\\[|CM| = \\sqrt{(5-4)^{2}+(2-6)^{2}} = \\sqrt{1+16} = \\sqrt{17},\\]\n\\[|DM| = \\sqrt{(5-6)^{2}+(2+2)^{2}} = \\sqrt{1+16} = \\sqrt{17}.\\]\n\nObie odległości równe ✓.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (5 pkt)
Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC (o podstawie AC ) oraz
prostokątny równoramienny trójkąt BDC (o podstawie BC ). Uzasadnij, że cos(ZACD) < 2
A)
A B D
E
vo
3
5
E
E
5
n
3
a

\n
\n

o
R
KZ.
Kcy
E
N
J
3
A
3
oC
oO
2
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x - 4y + 3 = 0\\)

\n

Sposób 1 - Warunek równoodległości (definicja symetralnej)

\n

Cel: symetralna odcinka \\(CD\\) to zbiór punktów równoodległych od \\(C\\) i \\(D\\).

\n

Krok 1. Bierzemy dowolny punkt \\(P(x; y)\\) leżący na symetralnej i zapisujemy warunek:
\\[|CP| = |DP| \\iff |CP|^2 = |DP|^2\\]

\n

Krok 2. Liczymy kwadrat odległości od \\(C(4; 6)\\):
\\[|CP|^2 = (x - 4)^2 + (y - 6)^2\\]

\n

i od \\(D(6; -2)\\):
\\[|DP|^2 = (x - 6)^2 + (y + 2)^2\\]

\n

Krok 3. Przyrównujemy i rozwijamy:
\\[(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-6)^2 + (y+2)^2\\]
\\[x^2 - 8x + 16 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 4y + 4\\]

\n

Krok 4. Odejmujemy \\(x^2\\) i \\(y^2\\) z obu stron (znikają!):
\\[-8x + 16 - 12y + 36 = -12x + 36 + 4y + 4\\]
\\[-8x - 12y + 52 = -12x + 4y + 40\\]

\n

Krok 5. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[-8x - 12y + 52 + 12x - 4y - 40 = 0\\]
\\[4x - 16y + 12 = 0\\]

\n

Krok 6. Dzielimy przez 4:
\\[\\boxed{x - 4y + 3 = 0}\\]

\n

Sposób 2 - Środek i kierunek prostopadły (metoda geometryczna)

\n

Symetralna odcinka \\(CD\\) to prosta, która:

\n
  1. Przechodzi przez środek odcinka \\(CD\\)
  2. Jest prostopadła do odcinka \\(CD\\)
\n

Krok 1. Wyznaczamy środek \\(S\\) odcinka \\(CD\\):
\\[S = \\left(\\frac{4+6}{2},\\; \\frac{6+(-2)}{2}\\right) = \\left(5,\\; 2\\right)\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\):
\\[a_{CD} = \\frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \\frac{-2 - 6}{6 - 4} = \\frac{-8}{2} = -4\\]

\n

Krok 3. Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy odwrotny i ze zmienionym znakiem:
\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a_{CD}} = -\\frac{1}{-4} = \\frac{1}{4}\\]

\n

Krok 4. Szukamy równania prostej przechodzącej przez \\(S(5; 2)\\) z kierunkiem \\(a_{\\perp} = \\frac{1}{4}\\):
\\[y - 2 = \\frac{1}{4}(x - 5)\\]
\\[4y - 8 = x - 5\\]
\\[x - 4y + 3 = 0\\]

\n

Wynik zgodny - symetralna to \\(\\boxed{x - 4y + 3 = 0}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Wzór na odległość między dwoma punktami:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy tego (w wersji na \\(|AP|^2\\) i \\(|DP|^2\\)) w Sposobie 1.

\n

Środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia środka \\(S\\).

\n

Warunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe):
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego symetralnej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((x-4)^2\\) uważaj na znaki - częsty błąd to \\((x-4)^2 = x^2 - 4x + 16\\) zamiast \\(x^2 - 8x + 16\\). Zawsze sprawdź, czy środkowy wyraz to \\(2 \\cdot x \\cdot 4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc \\(a_\\perp = -\\frac{1}{a}\\). Jeśli \\(a_{CD} = -4\\), to \\(a_\\perp = +\\frac{1}{4}\\) - nie odwrotność bez zmiany znaku!
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij uprościć wyniku - podziel przez NWD współczynników. Tu \\(4x - 16y + 12 = 0\\) trzeba skrócić przez 4, żeby dostać postać \\(x - 4y + 3 = 0\\). Obie postacie są poprawne matematycznie, ale ta skrócona jest standardowa.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x - 4y + 3 = 0\\).

\n
Sposób 1 - Metoda z definicji symetralnej (analogicznie do wzoru)
\n

Niech \\(P(x, y)\\) - dowolny punkt symetralnej odcinka \\(CD\\). Z definicji:
\\[|CP| = |DP| \\Leftrightarrow |CP|^{2} = |DP|^{2}.\\]

\n

Obliczamy:
\\[|CP|^{2} = (x-4)^{2} + (y-6)^{2},\\]
\\[|DP|^{2} = (x-6)^{2} + (y+2)^{2}.\\]

\n

Przyrównujemy:
\\[(x-4)^{2} + (y-6)^{2} = (x-6)^{2} + (y+2)^{2}.\\]

\n

Rozwijamy kwadraty:
\\[(x^{2} - 8x + 16) + (y^{2} - 12y + 36) = (x^{2} - 12x + 36) + (y^{2} + 4y + 4).\\]

\n

Skracamy \\(x^{2}, y^{2}\\):
\\[-8x + 16 - 12y + 36 = -12x + 36 + 4y + 4\\]
\\[-8x - 12y + 52 = -12x + 4y + 40\\]
\\[4x - 16y + 12 = 0 \\quad|\\div 4\\]
\\[x - 4y + 3 = 0.\\]

\n

Sprawdzenie: środek \\(CD\\): \\(M = \\left(\\dfrac{4+6}{2}, \\dfrac{6+(-2)}{2}\\right) = (5, 2)\\). Podstawiamy: \\(5 - 8 + 3 = 0\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Przez środek i wektor kierunkowy
\n

Symetralna odcinka \\(CD\\) przechodzi przez środek \\(M\\) i jest prostopadła do \\(CD\\).

\n

Środek: \\(M = \\left(\\dfrac{4+6}{2}, \\dfrac{6-2}{2}\\right) = (5, 2)\\).

\n

Wektor \\(\\vec{CD}\\): \\((6-4,\\ -2-6) = (2, -8)\\). Współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\): \\(m_{CD} = \\dfrac{-8}{2} = -4\\).

\n

Prostopadła ma współczynnik: \\(m_{sym} = \\dfrac{-1}{-4} = \\dfrac{1}{4}\\).

\n

Równanie symetralnej przez punkt \\(M(5, 2)\\):
\\[y - 2 = \\dfrac{1}{4}(x - 5)\\]
\\[4y - 8 = x - 5\\]
\\[x - 4y + 3 = 0.\\]

\n
Kontrola końcowa
\n

Każdy punkt symetralnej ma tę samą odległość od \\(C\\) i \\(D\\). Sprawdzenie dla punktu \\(M(5, 2)\\):
\\[|CM| = \\sqrt{(5-4)^{2}+(2-6)^{2}} = \\sqrt{1+16} = \\sqrt{17},\\]
\\[|DM| = \\sqrt{(5-6)^{2}+(2+2)^{2}} = \\sqrt{1+16} = \\sqrt{17}.\\]

\n

Obie odległości równe ✓.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|\\angle ACD| = 67,5^{\\circ}$, $\\cos(\\angle ACD) < \\dfrac{1}{2}$

"}]}