Zadanie 5. (4 pkt)
W architekturze islamu często stosowanym elementem był „łuk podkowiasty”. Schemat okna
w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej. Korzystając
z danych na rysunku oblicz wysokość okna h i największy prześwit d.
d
h I
Se ee
Ś 30° l T
a ej -
-\n
E P Oj R
~ 3m
2
E
5
n
3
a
2
Z
G
E
N
J
3
&
Ę
e
oO
o
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I
Zadanie 5
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie długości r promienia okręgu. 15
1p r=--= NEJ
sin 60°
i i ści x = 1,5
Obliczenie długości x |SO| . lp yee 0,543
tg 60°
Obliczenie długości d . d=23
Obliczenie długości h . h=15V3
Kluczowa obserwacja: Zachowanie stosunku boków oznacza, że oba ekrany są podobnymi prostokątami. Przekątna jest odpowiednim odcinkiem w obu figurach, więc współczynnik skali liniowej to:
\n\\[k = \\frac{d_2}{d_1} = \\frac{32}{21}\\]
\nDla figur podobnych pola rosną jak kwadrat współczynnika skali. Jeśli boki skalujemy razy \\(k\\), to pole rośnie razy \\(k^2\\):
\n\\[k^2 = \\left(\\frac{32}{21}\\right)^2 = \\frac{1024}{441}\\]
\nWzrost powierzchni (ile razy większe jest nowe pole od starego):
\n\\[\\frac{S_2}{S_1} = k^2 = \\frac{1024}{441} \\approx 2{,}3220\\]
\nProcentowy wzrost:
\n\\[\\frac{S_2 - S_1}{S_1} \\cdot 100\\% = (k^2 - 1) \\cdot 100\\% = \\left(\\frac{1024}{441} - 1\\right) \\cdot 100\\%\\]
\n\\[= \\frac{1024 - 441}{441} \\cdot 100\\% = \\frac{583}{441} \\cdot 100\\% \\approx 132{,}199\\ldots\\%\\]
\n\\[\\boxed{\\approx 132{,}2\\%}\\]
\nOznaczmy boki mniejszego ekranu jako \\(a\\) i \\(b\\) (stosunek \\(a : b\\) jest stały).
\nMniejszy ekran (przekątna 21 cali):
\n\\[a^2 + b^2 = 21^2 = 441\\]
\\[S_1 = a \\cdot b\\]
Większy ekran (przekątna 32 cale, ten sam stosunek boków):
\nSkoro stosunek boków zachowany, boki są \\(ka\\) i \\(kb\\) dla pewnego \\(k > 0\\). Z twierdzenia Pitagorasa:
\n\\[(ka)^2 + (kb)^2 = 32^2 = 1024\\]
\n\\[k^2(a^2 + b^2) = 1024\\]
\n\\[k^2 \\cdot 441 = 1024 \\implies k^2 = \\frac{1024}{441}\\]
\nPole większego ekranu:
\n\\[S_2 = (ka)(kb) = k^2 \\cdot ab = \\frac{1024}{441} \\cdot S_1\\]
\nProcentowy wzrost:
\n\\[\\frac{S_2 - S_1}{S_1} \\cdot 100\\% = \\left(\\frac{1024}{441} - 1\\right) \\cdot 100\\% = \\frac{583}{441} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{132{,}2\\%}\\]
\nUwaga: w tym rozwiązaniu nie musieliśmy znać ani stosunku boków, ani wartości \\(a\\), \\(b\\) - wynik zależy wyłącznie od stosunku przekątnych!
\nDział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 2 do zapisania zależności między bokami a przekątną.
Dział 10 (Planimetria, s. 21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
To jest serce Sposobu 1 - gdy wszystkie długości skalujemy przez \\(k\\), pole rośnie \\(k^2\\) razy. Ekrany o tym samym stosunku boków są podobnymi prostokątami.
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie wzrostu liniowego ze wzrostem pola. Przekątna wzrosła o \\(\\frac{32}{21} - 1 \\approx 52{,}4\\%\\), ale pole rośnie o znacznie więcej - bo zależy od kwadratu skali. Odpowiedź \\(52\\%\\) to typowy błąd tego rodzaju.\n
⚠️ Uwaga: Nie można obliczyć osobno wartości \\(a\\) i \\(b\\) bez znajomości stosunku boków - ale nie trzeba tego robić. Wzrost pola zależy tylko od stosunku przekątnych, niezależnie od proporcji ekranu (16:9, 4:3 czy jakakolwiek inna).\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\frac{1024}{441} \\cdot 100\\% \\approx 232{,}2\\%\\) oznaczałby, że nowe pole to \\(232{,}2\\%\\) starego - czyli ekran jest ponad dwa razy większy. Wzrost to tylko \\(132{,}2\\%\\). Nie mylić "nowe pole stanowi X% starego" z "pole wzrosło o X%"!\n
Poprawna odpowiedź: powierzchnia wzrośnie o ok. \\(132{,}2\\%\\).
\nDwa prostokąty mają ten sam stosunek boków, więc są podobne. Skala podobieństwa \\(k\\) równa jest stosunkowi odpowiadających sobie odcinków (w tym przekątnych):
\\[k = \\dfrac{32}{21}.\\]
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali:
\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2} = \\left(\\dfrac{32}{21}\\right)^{2} = \\dfrac{1024}{441} \\approx 2{,}3220.\\]
Przyrost:
\\[\\dfrac{P_{2} - P_{1}}{P_{1}}\\cdot 100\\% = (k^{2} - 1)\\cdot 100\\% = (2{,}3220 - 1)\\cdot 100\\% \\approx 132{,}2\\%.\\]
Niech boki prostokąta mają stosunek \\(a : b\\) (niech \\(a = rb\\) z ustalonym \\(r\\)). Dla przekątnej \\(d\\):
\\[d^{2} = a^{2} + b^{2} = b^{2}(r^{2} + 1).\\]
\\[b = \\dfrac{d}{\\sqrt{r^{2}+1}}, \\quad a = \\dfrac{rd}{\\sqrt{r^{2}+1}}.\\]
Pole:
\\[P = ab = \\dfrac{r}{r^{2}+1}\\cdot d^{2}.\\]
Zauważamy, że dla ustalonego stosunku boków czynnik \\(\\dfrac{r}{r^{2}+1}\\) jest stały, więc:
\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \\dfrac{d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}} = \\dfrac{32^{2}}{21^{2}} = \\dfrac{1024}{441}.\\]
Przyrost: \\((\\tfrac{1024}{441} - 1)\\cdot 100\\% = \\dfrac{583}{441}\\cdot 100\\% \\approx 132{,}2\\%\\).
\nPrzyjmijmy stosunek 4:3 (telewizor tradycyjny). Dla \\(d_{1} = 21\\): \\(a = \\dfrac{4\\cdot 21}{5} = 16{,}8\\), \\(b = \\dfrac{3\\cdot 21}{5} = 12{,}6\\); pole \\(P_{1} = 16{,}8\\cdot 12{,}6 = 211{,}68\\).
\nDla \\(d_{2} = 32\\): \\(a = \\dfrac{4\\cdot 32}{5} = 25{,}6\\), \\(b = \\dfrac{3\\cdot 32}{5} = 19{,}2\\); pole \\(P_{2} = 25{,}6\\cdot 19{,}2 = 491{,}52\\).
\nPrzyrost: \\(\\dfrac{491{,}52}{211{,}68}\\approx 2{,}3220\\), czyli wzrost o \\(\\approx 132{,}2\\%\\) ✓.
\nKluczowa obserwacja: w figurach podobnych pole skaluje się z kwadratem skali liniowej. Sam stosunek boków nie ma znaczenia dla stosunku pól - znaczenie ma tylko stosunek przekątnych (czy jakiejkolwiek innej pary odpowiadających sobie odcinków).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$d = 2\\sqrt{3}$, $h = 1,5\\sqrt{3}$
"}]}