{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nFunkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę\no 3 od niej mniejszą.\na. Podaj wzór funkcji f\nb. Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie /(x)+3=0.\ni\no\n3\n5\nE\nE\n5\nn\n3\na\n>\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nPodanie wzoru funkcji f . /(x)=x-(x-3)\nZapisanie odpowiedniego równania x? -3x+3=0\nObliczenie wyróżnika i sformułowanie 1 A =-3 brak rozwiązań\nodpowiedzi. p","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_3 = 0\\) i \\(a_5 = 0\\)\n\nPoza podanym \\(a_2 = 0\\), pozostałe wyrazy ciągu równe zero to wyrazy trzeci i piąty.\n\n## Sposób 1 - Rozkład wielomianu przez dzielenie przez \\((n-2)\\)\n\n**Skoro wiemy, że \\(a_2 = 0\\), to \\(n = 2\\) jest pierwiastkiem wielomianu** \\(W(n) = n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\). Możemy więc wyłączyć czynnik \\((n-2)\\).\n\n**Krok 1 - Dzielenie wielomianu przez \\((n-2)\\).**\n\nDzielimy \\(n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\) przez \\((n-2)\\) metodą (np. Hornera lub pisemnie):\n\n\\[\nn^3 - 10n^2 + 31n - 30 = (n-2) \\cdot (n^2 - 8n + 15)\n\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[\n(n-2)(n^2 - 8n + 15) = n^3 - 8n^2 + 15n - 2n^2 + 16n - 30 = n^3 - 10n^2 + 31n - 30 \\checkmark\n\\]\n\n**Krok 2 - Rozkład trójmianu kwadratowego \\(n^2 - 8n + 15\\).**\n\nWyróżnik:\n\\[\n\\Delta = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 15 = 64 - 60 = 4\n\\]\n\nPierwiastki:\n\\[\nn_1 = \\frac{8 - \\sqrt{4}}{2} = \\frac{8-2}{2} = 3, \\qquad n_2 = \\frac{8 + \\sqrt{4}}{2} = \\frac{8+2}{2} = 5\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nn^2 - 8n + 15 = (n-3)(n-5)\n\\]\n\n**Krok 3 - Pełny rozkład.**\n\n\\[\na_n = n^3 - 10n^2 + 31n - 30 = (n-2)(n-3)(n-5)\n\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczenie zer.**\n\nWyraz ciągu \\(a_n = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[\n(n-2)(n-3)(n-5) = 0 \\implies n = 2 \\text{ lub } n = 3 \\text{ lub } n = 5\n\\]\n\nPonieważ \\(a_2 = 0\\) było dane, **pozostałe wyrazy równe zero to \\(a_3\\) i \\(a_5\\)**.\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera + weryfikacja podstawieniem\n\n**Schemat Hornera** to szybki algorytm dzielenia wielomianu przez \\((n-c)\\):\n\nDla \\(W(n) = n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\) i \\(c = 2\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(-10\\) | \\(31\\) | \\(-30\\) |\n| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(-16\\) | \\(30\\) |\n| | \\(1\\) | \\(-8\\) | \\(15\\) | \\(\\mathbf{0}\\) |\n\nWynik: \\(n^2 - 8n + 15\\) - reszta \\(= 0\\), co potwierdza, że \\(n=2\\) jest pierwiastkiem.\n\n**Weryfikacja końcowych wyników:**\n\n\\[\na_3 = 3^3 - 10 \\cdot 3^2 + 31 \\cdot 3 - 30 = 27 - 90 + 93 - 30 = \\mathbf{0} \\checkmark\n\\]\n\\[\na_5 = 5^3 - 10 \\cdot 5^2 + 31 \\cdot 5 - 30 = 125 - 250 + 155 - 30 = \\mathbf{0} \\checkmark\n\\]\n\\[\na_4 = 4^3 - 10 \\cdot 4^2 + 31 \\cdot 4 - 30 = 64 - 160 + 124 - 30 = \\mathbf{-2} \\neq 0\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\nx_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\n\\]\nUżyliśmy w Kroku 2 do rozłożenia \\(n^2 - 8n + 15\\) na czynniki liniowe.\n\nW tym zadaniu nie używamy wzorów z działu ciągów (Dział 8) - mimo że zadanie dotyczy ciągu, wzór \\(a_n\\) jest dany wprost jako wielomian, więc pracujemy narzędziami algebry.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zapominają, że \\(n\\) musi być liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)). Gdyby równanie dawało ujemny lub ułamkowy pierwiastek, nie odpowiadałby on żadnemu wyrazowi ciągu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu wielomianu przez \\((n-2)\\) łatwo o błąd znaku. Pamiętaj: jeśli pierwiastek to \\(n = 2\\), to czynnik to \\((n - 2)\\), a nie \\((n + 2)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno sprawdzać tylko kilku wartości \"na oko\" i zakładać, że to wszystkie zera. Jedyną pewną metodą jest pełny rozkład na czynniki - wielomian stopnia 3 ma **co najwyżej 3 pierwiastki**, więc po znalezieniu trzech mamy pewność, że to już wszystkie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** pozostałe wyrazy równe zero to \\(a_3 = 0\\) oraz \\(a_5 = 0\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta i rozkład wielomianu\n**Krok 1 - równanie zerowych wyrazów.**\nSzukamy \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) spełniających:\n\\[n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30 = 0.\\]\n\n**Krok 2 - wykorzystanie znanej zerowości \\(a_{2} = 0\\).**\nSprawdzamy: \\(2^{3} - 10\\cdot 4 + 31\\cdot 2 - 30 = 8 - 40 + 62 - 30 = 0\\) ✓.\n\nZgodnie z **twierdzeniem Bézouta**, \\(W(n) = n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30\\) jest podzielny przez \\((n-2)\\).\n\n**Krok 3 - dzielenie wielomianu.**\nDzielimy \\(W(n)\\) przez \\((n-2)\\), np. schematem Hornera:\n\n| | 1 | -10 | 31 | -30 |\n| 2 | 1 | -8 | 15 | 0 |\n\nCzyli \\(W(n) = (n-2)(n^{2} - 8n + 15)\\).\n\n**Krok 4 - pierwiastki trójmianu \\(n^{2} - 8n + 15\\).**\n\\[\\Delta = 64 - 60 = 4, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 2.\\]\n\\[n = \\dfrac{8 \\pm 2}{2} \\Rightarrow n_{1} = 3, \\quad n_{2} = 5.\\]\n\n**Krok 5 - wniosek.**\nWszystkie zera ciągu: \\(n = 2, 3, 5\\) (wszystkie są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc należą do dziedziny ciągu).\n\nZatem **pozostałe** wyrazy równe zero (oprócz \\(a_2\\)):\n\\[\\boxed{a_3 = 0 \\quad \\text{oraz} \\quad a_5 = 0.}\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n\\[a_3 = 27 - 90 + 93 - 30 = 0 \\checkmark\\]\n\\[a_5 = 125 - 250 + 155 - 30 = 0 \\checkmark\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia\nDla \\(W(n) = n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30\\) z pierwiastkami \\(n_{1}, n_{2}, n_{3}\\):\n\\[n_{1}+n_{2}+n_{3} = 10, \\quad n_{1}n_{2}n_{3} = 30.\\]\n\nZnamy \\(n_{1} = 2\\), więc:\n\\[n_{2}+n_{3} = 8, \\quad n_{2}n_{3} = 15.\\]\n\n\\(n_{2}, n_{3}\\) są pierwiastkami \\(t^{2} - 8t + 15 = 0\\), czyli \\(t = 3\\) lub \\(t = 5\\) (jak wyżej).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzanie liczb naturalnych\nPierwiastki wymierne \\(W(n)\\) są dzielnikami \\(-30\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 6, \\ldots\\).\n\nDla \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) testujemy kandydatów:\n- \\(W(1) = 1 - 10 + 31 - 30 = -8\\) ✗\n- \\(W(2) = 0\\) ✓ (dane)\n- \\(W(3) = 27 - 90 + 93 - 30 = 0\\) ✓\n- \\(W(4) = 64 - 160 + 124 - 30 = -2\\) ✗\n- \\(W(5) = 125 - 250 + 155 - 30 = 0\\) ✓\n- Dla \\(n \\ge 6\\): \\(W(6) = 216 - 360 + 186 - 30 = 12\\) ✗, \\(W\\) rośnie → brak zer.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWielomian stopnia 3 ma **co najwyżej 3 pierwiastki rzeczywiste** - skoro znaleźliśmy trzy (\\(2, 3, 5\\)), to wyczerpaliśmy wszystkie możliwości. Dla \\(n > 5\\) (oraz \\(n < 2\\) w dziedzinie \\(\\mathbb{N}_{+}\\)) wyrazy ciągu są różne od zera.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (3 pkt)
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę
o 3 od niej mniejszą.
a. Podaj wzór funkcji f
b. Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie /(x)+3=0.
i
o
3
5
E
E
5
n
3
a

\n
\n

o
R
KZ.
Kcy
E
N
J
3
A
3
oC
oO
2
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004
Matematyka - Arkusz I

","answer_text_html":"

Zadanie 6
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Podanie wzoru funkcji f . /(x)=x-(x-3)
Zapisanie odpowiedniego równania x? -3x+3=0
Obliczenie wyróżnika i sformułowanie 1 A =-3 brak rozwiązań
odpowiedzi. p

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_3 = 0\\) i \\(a_5 = 0\\)

\n

Poza podanym \\(a_2 = 0\\), pozostałe wyrazy ciągu równe zero to wyrazy trzeci i piąty.

\n

Sposób 1 - Rozkład wielomianu przez dzielenie przez \\((n-2)\\)

\n

Skoro wiemy, że \\(a_2 = 0\\), to \\(n = 2\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W(n) = n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\). Możemy więc wyłączyć czynnik \\((n-2)\\).

\n

Krok 1 - Dzielenie wielomianu przez \\((n-2)\\).

\n

Dzielimy \\(n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\) przez \\((n-2)\\) metodą (np. Hornera lub pisemnie):

\n

\\[
n^3 - 10n^2 + 31n - 30 = (n-2) \\cdot (n^2 - 8n + 15)
\\]

\n

Sprawdzenie:
\\[
(n-2)(n^2 - 8n + 15) = n^3 - 8n^2 + 15n - 2n^2 + 16n - 30 = n^3 - 10n^2 + 31n - 30 \\checkmark
\\]

\n

Krok 2 - Rozkład trójmianu kwadratowego \\(n^2 - 8n + 15\\).

\n

Wyróżnik:
\\[
\\Delta = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 15 = 64 - 60 = 4
\\]

\n

Pierwiastki:
\\[
n_1 = \\frac{8 - \\sqrt{4}}{2} = \\frac{8-2}{2} = 3, \\qquad n_2 = \\frac{8 + \\sqrt{4}}{2} = \\frac{8+2}{2} = 5
\\]

\n

Zatem:
\\[
n^2 - 8n + 15 = (n-3)(n-5)
\\]

\n

Krok 3 - Pełny rozkład.

\n

\\[
a_n = n^3 - 10n^2 + 31n - 30 = (n-2)(n-3)(n-5)
\\]

\n

Krok 4 - Wyznaczenie zer.

\n

Wyraz ciągu \\(a_n = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\\[
(n-2)(n-3)(n-5) = 0 \\implies n = 2 \\text{ lub } n = 3 \\text{ lub } n = 5
\\]

\n

Ponieważ \\(a_2 = 0\\) było dane, pozostałe wyrazy równe zero to \\(a_3\\) i \\(a_5\\).

\n

Sposób 2 - Schemat Hornera + weryfikacja podstawieniem

\n

Schemat Hornera to szybki algorytm dzielenia wielomianu przez \\((n-c)\\):

\n

Dla \\(W(n) = n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\) i \\(c = 2\\):

\n

| | \\(1\\) | \\(-10\\) | \\(31\\) | \\(-30\\) |
| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(-16\\) | \\(30\\) |
| | \\(1\\) | \\(-8\\) | \\(15\\) | \\(\\mathbf{0}\\) |

\n

Wynik: \\(n^2 - 8n + 15\\) - reszta \\(= 0\\), co potwierdza, że \\(n=2\\) jest pierwiastkiem.

\n

Weryfikacja końcowych wyników:

\n

\\[
a_3 = 3^3 - 10 \\cdot 3^2 + 31 \\cdot 3 - 30 = 27 - 90 + 93 - 30 = \\mathbf{0} \\checkmark
\\]
\\[
a_5 = 5^3 - 10 \\cdot 5^2 + 31 \\cdot 5 - 30 = 125 - 250 + 155 - 30 = \\mathbf{0} \\checkmark
\\]
\\[
a_4 = 4^3 - 10 \\cdot 4^2 + 31 \\cdot 4 - 30 = 64 - 160 + 124 - 30 = \\mathbf{-2} \\neq 0
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[
x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac
\\]
Użyliśmy w Kroku 2 do rozłożenia \\(n^2 - 8n + 15\\) na czynniki liniowe.

\n

W tym zadaniu nie używamy wzorów z działu ciągów (Dział 8) - mimo że zadanie dotyczy ciągu, wzór \\(a_n\\) jest dany wprost jako wielomian, więc pracujemy narzędziami algebry.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Uczniowie często zapominają, że \\(n\\) musi być liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)). Gdyby równanie dawało ujemny lub ułamkowy pierwiastek, nie odpowiadałby on żadnemu wyrazowi ciągu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu wielomianu przez \\((n-2)\\) łatwo o błąd znaku. Pamiętaj: jeśli pierwiastek to \\(n = 2\\), to czynnik to \\((n - 2)\\), a nie \\((n + 2)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno sprawdzać tylko kilku wartości "na oko" i zakładać, że to wszystkie zera. Jedyną pewną metodą jest pełny rozkład na czynniki - wielomian stopnia 3 ma co najwyżej 3 pierwiastki, więc po znalezieniu trzech mamy pewność, że to już wszystkie.
\n

Poprawna odpowiedź: pozostałe wyrazy równe zero to \\(a_3 = 0\\) oraz \\(a_5 = 0\\).

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta i rozkład wielomianu
\n

Krok 1 - równanie zerowych wyrazów.
Szukamy \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) spełniających:
\\[n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30 = 0.\\]

\n

Krok 2 - wykorzystanie znanej zerowości \\(a_{2} = 0\\).
Sprawdzamy: \\(2^{3} - 10\\cdot 4 + 31\\cdot 2 - 30 = 8 - 40 + 62 - 30 = 0\\) ✓.

\n

Zgodnie z twierdzeniem Bézouta, \\(W(n) = n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30\\) jest podzielny przez \\((n-2)\\).

\n

Krok 3 - dzielenie wielomianu.
Dzielimy \\(W(n)\\) przez \\((n-2)\\), np. schematem Hornera:

\n

| | 1 | -10 | 31 | -30 |
| 2 | 1 | -8 | 15 | 0 |

\n

Czyli \\(W(n) = (n-2)(n^{2} - 8n + 15)\\).

\n

Krok 4 - pierwiastki trójmianu \\(n^{2} - 8n + 15\\).
\\[\\Delta = 64 - 60 = 4, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 2.\\]
\\[n = \\dfrac{8 \\pm 2}{2} \\Rightarrow n_{1} = 3, \\quad n_{2} = 5.\\]

\n

Krok 5 - wniosek.
Wszystkie zera ciągu: \\(n = 2, 3, 5\\) (wszystkie są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc należą do dziedziny ciągu).

\n

Zatem pozostałe wyrazy równe zero (oprócz \\(a_2\\)):
\\[\\boxed{a_3 = 0 \\quad \\text{oraz} \\quad a_5 = 0.}\\]

\n

Sprawdzenie:
\\[a_3 = 27 - 90 + 93 - 30 = 0 \\checkmark\\]
\\[a_5 = 125 - 250 + 155 - 30 = 0 \\checkmark\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia
\n

Dla \\(W(n) = n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30\\) z pierwiastkami \\(n_{1}, n_{2}, n_{3}\\):
\\[n_{1}+n_{2}+n_{3} = 10, \\quad n_{1}n_{2}n_{3} = 30.\\]

\n

Znamy \\(n_{1} = 2\\), więc:
\\[n_{2}+n_{3} = 8, \\quad n_{2}n_{3} = 15.\\]

\n

\\(n_{2}, n_{3}\\) są pierwiastkami \\(t^{2} - 8t + 15 = 0\\), czyli \\(t = 3\\) lub \\(t = 5\\) (jak wyżej).

\n
Sposób 3 - Sprawdzanie liczb naturalnych
\n

Pierwiastki wymierne \\(W(n)\\) są dzielnikami \\(-30\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 6, \\ldots\\).

\n

Dla \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) testujemy kandydatów:

\n\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Wielomian stopnia 3 ma co najwyżej 3 pierwiastki rzeczywiste - skoro znaleźliśmy trzy (\\(2, 3, 5\\)), to wyczerpaliśmy wszystkie możliwości. Dla \\(n > 5\\) (oraz \\(n < 2\\) w dziedzinie \\(\\mathbb{N}_{+}\\)) wyrazy ciągu są różne od zera.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

brak rozwiązań

"}]}