{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nPole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 2), B = (3, 0), C=(2, 4) można obliczyć stosując\nnastępującą metodę:\ne zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty ABC;\ne - rysujemy prostokąt KLMN w sposób przedstawiony na rysunku (odpowiednie\nboki prostokąta mają być równoległe do osi układu współrzędnych);\ne _ odczytujemy długości odpowiednich odcinków: y\n|KL| = 2,|LM| =4,|AK| =2,|MC|=1, |CN|=1|NA|=2;\ne obliczamy pole prostokąta: Py = |KL| . |LM| =2-4=8; N c M\n4\ne obliczamy pola odpowiednich trójkątów prostokątnych: |\n1 1\nPk, = 7|AK|-|KL|=-:2:2=2\nMKL 3 | | | | 2 |\n1 l\nPuc = > EM|-|MC|=--4-1=2 K B=L\na 1 1 a 1 2 3 x\n8 Pica = |CN|-|NA]=>*1:2=1\n5\nĘ e od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: Pp, =8-(2+2+1)=3.\n5 Stosując opisaną wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach 4 = (,0), B=(5, 1), C=(3, 4).\ng\na\nN\n©\nR\nG\nE\nN\n$\nŹ\n3\noC\n&\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7\na Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\noO Zaznaczenie w układzie współrzędnych\n3 punktów ABC oraz narysowanie prostokąta 1p\n& KLMN.\nG Wyznaczenie długości odpowiednich |KL| =4 |LB| =| |BM| =3 |MC| =2\n„e odcinków. 1p > > >\n8 |CN|=2, |NK|=4\nN Obliczenie pól odpowiednich trójkątów Ip Pre = 2, Pac = 3, Prove = 4\nod prostokątnych.\n5 Zadanie 8\ne Modelowy wynik etapu (czynności\n4 Zapisanie nierówności za pomocą której nż-5<0\nE można wyznaczyć liczbę ujemnych Ip\n\"e wyrazów ciągu (a, ) .\n3)\n= Rozwiązanie nierówności n* - 5 < 0 Ip ne fi, 2}\nw zbiorze liczb naturalnych.\nPodanie liczby ujemnych wyrazów 2\nciągu (a, ) . Ip\nZapisanie warunku na to by ciąg (a, ) był a\nap: y ag (a,) y Ip np. EL = const\nciagiem geometrycznym. a,\na a 2 _0n-\nObliczenie -+\". Ip antl = \"m4\na, a, n -5\nEj . Gist .\nStwierdzenie, ze --- zależy od m więc\na, 1p\nciąg (a,) nie jest geometryczny.\n2\nSchemat punktowania arkusza I z matematyki","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Zbiór wartości: \\(Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}\\)\n\n**b)** Funkcja przyjmuje wartość \\(37\\) dla argumentu \\(x = 6\\).\n\n## Sposób 1 - Wypisanie par i odczyt\n\n**Krok 1: Ustal dziedzinę.**\n\nDziedzina to \\(\\mathbb{N}_+ \\cap \\langle 1, 7 \\rangle\\), czyli:\n\\[D = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz wartości funkcji \\(f(x) = x^2 + 1\\) dla każdego argumentu.**\n\n| \\(x\\) | \\(x^2\\) | \\(f(x) = x^2 + 1\\) |\n| 1 | 1 | **2** |\n| 2 | 4 | **5** |\n| 3 | 9 | **10** |\n| 4 | 16 | **17** |\n| 5 | 25 | **26** |\n| 6 | 36 | **37** |\n| 7 | 49 | **50** |\n\nZapis jako zbiór par uporządkowanych:\n\\[\\{(1,2),\\ (2,5),\\ (3,10),\\ (4,17),\\ (5,26),\\ (6,37),\\ (7,50)\\}\\]\n\n**Krok 3: Sporządź wykres.**\n\nWykres to 7 izolowanych punktów na płaszczyźnie - **nie łączymy ich** (funkcja jest dyskretna!):\n\ny\n50 •\n37 •\n26 •\n17 •\n10 •\n5 •\n2 •\n1 2 3 4 5 6 7 x\n\n**Krok 4: Zbiór wartości.**\n\nZbiór wartości to zbiór wszystkich wyników z drugiej kolumny tabeli:\n\\[\\boxed{Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}}\\]\n\n**Krok 5: Argument dla wartości 37.**\n\nZ tabeli widać bezpośrednio, że \\(f(6) = 37\\), zatem **\\(x = 6\\)**.\n\n## Sposób 2 - Równanie algebraiczne (dla części b)\n\nZamiast odczytywać z tabeli, rozwiązujemy równanie:\n\n\\[f(x) = 37\\]\n\\[x^2 + 1 = 37\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = \\pm 6\\]\n\nJednak pamiętamy, że \\(x \\in \\mathbb{N}_+\\) (naturalne dodatnie), więc \\(x = -6\\) odpada.\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 6\\) należy do dziedziny:\n\\[6 \\in \\mathbb{N}_+ \\text{ i } 6 \\leq 7 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Jedyny argument, dla którego \\(f(x) = 37\\), to \\(\\boldsymbol{x = 6}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa definicja funkcji i obliczenia arytmetyczne (potęgowanie).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to \\(\\mathbb{N}_+\\), czyli liczby naturalne **dodatnie** - zaczynamy od \\(x = 1\\), a nie od \\(x = 0\\)! Gdyby zacząć od 0, pojawia się wartość \\(f(0) = 1\\), której **nie ma** w zbiorze wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykres tej funkcji to **7 izolowanych punktów** - nie rysujemy paraboli ani nie łączymy punktów linią. Funkcja jest określona tylko na skończonym, dyskretnym zbiorze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) równanie \\(x^2 = 36\\) daje dwa rozwiązania: \\(x = 6\\) i \\(x = -6\\). Pamiętaj o odrzuceniu \\(x = -6\\), bo \\(-6 \\notin \\mathbb{N}_+\\) - ujemne nie należą do liczb naturalnych.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}\\); argument \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 1 - Tabelkowy (bezpośrednio z definicji)\n**a) Zbiór wartości - dziedzina \\(D = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}\\):**\n\n| \\(x\\) | \\(x^{2}+1\\) |\n| 1 | \\(1 + 1 = 2\\) |\n| 2 | \\(4 + 1 = 5\\) |\n| 3 | \\(9 + 1 = 10\\) |\n| 4 | \\(16 + 1 = 17\\) |\n| 5 | \\(25 + 1 = 26\\) |\n| 6 | \\(36 + 1 = 37\\) |\n| 7 | \\(49 + 1 = 50\\) |\n\nZatem zbiór wartości:\n\\[Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}.\\]\n\n**Wykres:** na osi odciętych zaznaczamy punkty \\(x = 1, 2, \\ldots, 7\\); na osi rzędnych wartości \\(y\\) z tabeli. Wykres to **zbiór 7 izolowanych punktów** (nie łączymy ich krzywą!), bo dziedzina jest dyskretna:\n\\[(1,2), (2,5), (3,10), (4,17), (5,26), (6,37), (7,50).\\]\n\n**b) Argument dla \\(f(x) = 37\\):**\nZ tabeli widzimy, że \\(37\\) odpowiada \\(x = 6\\) (bo \\(6^{2}+1 = 37\\)).\n\n### Sposób 2 - Algebraiczne rozwiązanie równania\nRozwiązujemy:\n\\[x^{2} + 1 = 37\\]\n\\[x^{2} = 36\\]\n\\[x = \\pm 6.\\]\n\nDziedzina ogranicza \\(x \\in \\{1, 2, \\ldots, 7\\}\\), więc \\(x = -6\\) odrzucamy. Zostaje \\(x = 6\\).\n\n### Uwaga\n**Dziedzina jest dyskretna** - funkcja przyjmuje tylko siedem wartości (nie jest ciągła). Nie można rysować paraboli - wykres to **7 punktów** na układzie współrzędnych.\n\nWszystkie wartości są różne (ciąg rosnący \\(x^{2}+1\\) dla \\(x \\ge 1\\)), więc każdej wartości \\(y\\) odpowiada dokładnie jeden argument z dziedziny.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (5 pkt)<br>Pole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 2), B = (3, 0), C=(2, 4) można obliczyć stosując<br>następującą metodę:<br>e zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty ABC;<br>e - rysujemy prostokąt KLMN w sposób przedstawiony na rysunku (odpowiednie<br>boki prostokąta mają być równoległe do osi układu współrzędnych);<br>e _ odczytujemy długości odpowiednich odcinków: y<br>|KL| = 2,|LM| =4,|AK| =2,|MC|=1, |CN|=1|NA|=2;<br>e obliczamy pole prostokąta: Py = |KL| . |LM| =2-4=8; N c M<br>4<br>e obliczamy pola odpowiednich trójkątów prostokątnych: |<br>1 1<br>Pk, = 7|AK|-|KL|=-:2:2=2<br>MKL 3 | | | | 2 |<br>1 l<br>Puc = &gt; EM|-|MC|=--4-1=2 K B=L<br>a 1 1 a 1 2 3 x<br>8 Pica = |CN|-|NA]=&gt;*1:2=1<br>5<br>Ę e od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: Pp, =8-(2+2+1)=3.<br>5 Stosując opisaną wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach 4 = (,0), B=(5, 1), C=(3, 4).<br>g<br>a<br>N<br>©<br>R<br>G<br>E<br>N<br>$<br>Ź<br>3<br>oC<br>&amp;<br>PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004<br>Matematyka - Arkusz I</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7<br>a Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)<br>oO Zaznaczenie w układzie współrzędnych<br>3 punktów ABC oraz narysowanie prostokąta 1p<br>&amp; KLMN.<br>G Wyznaczenie długości odpowiednich |KL| =4 |LB| =| |BM| =3 |MC| =2<br>„e odcinków. 1p &gt; &gt; &gt;<br>8 |CN|=2, |NK|=4<br>N Obliczenie pól odpowiednich trójkątów Ip Pre = 2, Pac = 3, Prove = 4<br>od prostokątnych.<br>5 Zadanie 8<br>e Modelowy wynik etapu (czynności<br>4 Zapisanie nierówności za pomocą której nż-5&lt;0<br>E można wyznaczyć liczbę ujemnych Ip<br>&quot;e wyrazów ciągu (a, ) .<br>3)<br>= Rozwiązanie nierówności n* - 5 &lt; 0 Ip ne fi, 2}<br>w zbiorze liczb naturalnych.<br>Podanie liczby ujemnych wyrazów 2<br>ciągu (a, ) . Ip<br>Zapisanie warunku na to by ciąg (a, ) był a<br>ap: y ag (a,) y Ip np. EL = const<br>ciagiem geometrycznym. a,<br>a a 2 _0n-<br>Obliczenie -+&quot;. Ip antl = &quot;m4<br>a, a, n -5<br>Ej . Gist .<br>Stwierdzenie, ze --- zależy od m więc<br>a, 1p<br>ciąg (a,) nie jest geometryczny.<br>2<br>Schemat punktowania arkusza I z matematyki</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p><strong>a)</strong> Zbiór wartości: \\(Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}\\)</p>\n<p><strong>b)</strong> Funkcja przyjmuje wartość \\(37\\) dla argumentu \\(x = 6\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Wypisanie par i odczyt</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustal dziedzinę.</strong></p>\n<p>Dziedzina to \\(\\mathbb{N}_+ \\cap \\langle 1, 7 \\rangle\\), czyli:<br>\\[D = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz wartości funkcji \\(f(x) = x^2 + 1\\) dla każdego argumentu.</strong></p>\n<p>| \\(x\\) | \\(x^2\\) | \\(f(x) = x^2 + 1\\) |<br>| 1 | 1 | <strong>2</strong> |<br>| 2 | 4 | <strong>5</strong> |<br>| 3 | 9 | <strong>10</strong> |<br>| 4 | 16 | <strong>17</strong> |<br>| 5 | 25 | <strong>26</strong> |<br>| 6 | 36 | <strong>37</strong> |<br>| 7 | 49 | <strong>50</strong> |</p>\n<p>Zapis jako zbiór par uporządkowanych:<br>\\[\\{(1,2),\\ (2,5),\\ (3,10),\\ (4,17),\\ (5,26),\\ (6,37),\\ (7,50)\\}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sporządź wykres.</strong></p>\n<p>Wykres to 7 izolowanych punktów na płaszczyźnie - <strong>nie łączymy ich</strong> (funkcja jest dyskretna!):</p>\n<p>y<br>50 •<br>37 •<br>26 •<br>17 •<br>10 •<br>5 •<br>2 •<br>1 2 3 4 5 6 7 x</p>\n<p><strong>Krok 4: Zbiór wartości.</strong></p>\n<p>Zbiór wartości to zbiór wszystkich wyników z drugiej kolumny tabeli:<br>\\[\\boxed{Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Argument dla wartości 37.</strong></p>\n<p>Z tabeli widać bezpośrednio, że \\(f(6) = 37\\), zatem <strong>\\(x = 6\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Równanie algebraiczne (dla części b)</h4>\n<p>Zamiast odczytywać z tabeli, rozwiązujemy równanie:</p>\n<p>\\[f(x) = 37\\]<br>\\[x^2 + 1 = 37\\]<br>\\[x^2 = 36\\]<br>\\[x = \\pm 6\\]</p>\n<p>Jednak pamiętamy, że \\(x \\in \\mathbb{N}_+\\) (naturalne dodatnie), więc \\(x = -6\\) odpada.</p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(x = 6\\) należy do dziedziny:<br>\\[6 \\in \\mathbb{N}_+ \\text{ i } 6 \\leq 7 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Jedyny argument, dla którego \\(f(x) = 37\\), to \\(\\boldsymbol{x = 6}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa definicja funkcji i obliczenia arytmetyczne (potęgowanie).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dziedzina to \\(\\mathbb{N}_+\\), czyli liczby naturalne <strong>dodatnie</strong> - zaczynamy od \\(x = 1\\), a nie od \\(x = 0\\)! Gdyby zacząć od 0, pojawia się wartość \\(f(0) = 1\\), której <strong>nie ma</strong> w zbiorze wartości.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wykres tej funkcji to <strong>7 izolowanych punktów</strong> - nie rysujemy paraboli ani nie łączymy punktów linią. Funkcja jest określona tylko na skończonym, dyskretnym zbiorze.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W części b) równanie \\(x^2 = 36\\) daje dwa rozwiązania: \\(x = 6\\) i \\(x = -6\\). Pamiętaj o odrzuceniu \\(x = -6\\), bo \\(-6 \\notin \\mathbb{N}_+\\) - ujemne nie należą do liczb naturalnych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawne odpowiedzi:</strong> \\(Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}\\); argument \\(x = 6\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Tabelkowy (bezpośrednio z definicji)</h5>\n<p><strong>a) Zbiór wartości - dziedzina \\(D = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}\\):</strong></p>\n<p>| \\(x\\) | \\(x^{2}+1\\) |<br>| 1 | \\(1 + 1 = 2\\) |<br>| 2 | \\(4 + 1 = 5\\) |<br>| 3 | \\(9 + 1 = 10\\) |<br>| 4 | \\(16 + 1 = 17\\) |<br>| 5 | \\(25 + 1 = 26\\) |<br>| 6 | \\(36 + 1 = 37\\) |<br>| 7 | \\(49 + 1 = 50\\) |</p>\n<p>Zatem zbiór wartości:<br>\\[Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}.\\]</p>\n<p><strong>Wykres:</strong> na osi odciętych zaznaczamy punkty \\(x = 1, 2, \\ldots, 7\\); na osi rzędnych wartości \\(y\\) z tabeli. Wykres to <strong>zbiór 7 izolowanych punktów</strong> (nie łączymy ich krzywą!), bo dziedzina jest dyskretna:<br>\\[(1,2), (2,5), (3,10), (4,17), (5,26), (6,37), (7,50).\\]</p>\n<p><strong>b) Argument dla \\(f(x) = 37\\):</strong><br>Z tabeli widzimy, że \\(37\\) odpowiada \\(x = 6\\) (bo \\(6^{2}+1 = 37\\)).</p>\n<h5>Sposób 2 - Algebraiczne rozwiązanie równania</h5>\n<p>Rozwiązujemy:<br>\\[x^{2} + 1 = 37\\]<br>\\[x^{2} = 36\\]<br>\\[x = \\pm 6.\\]</p>\n<p>Dziedzina ogranicza \\(x \\in \\{1, 2, \\ldots, 7\\}\\), więc \\(x = -6\\) odrzucamy. Zostaje \\(x = 6\\).</p>\n<h5>Uwaga</h5>\n<p><strong>Dziedzina jest dyskretna</strong> - funkcja przyjmuje tylko siedem wartości (nie jest ciągła). Nie można rysować paraboli - wykres to <strong>7 punktów</strong> na układzie współrzędnych.</p>\n<p>Wszystkie wartości są różne (ciąg rosnący \\(x^{2}+1\\) dla \\(x \\ge 1\\)), więc każdej wartości \\(y\\) odpowiada dokładnie jeden argument z dziedziny.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P_{\\Delta ABC} = 7$</p>"}]}