{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nCiąg (a,) określony jest wzorem a, =n* -5.\na. Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu.\nb. Sprawdź, na podstawie definicji, czy ciąg (a,) jest ciągiem geometrycznym.\ni\no\n3\n5\nGd\nE\ne)\nn\n3\na\nN\nn\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h_w = 298\\) cm\n\n## Sposób 1 - Równanie objętości (bezpośrednie)\n\n**Zasada:** metal się przetapia, więc suma objętości kuli i stożka = objętość walca.\n\n\\[V_{\\text{kula}} + V_{\\text{stożek}} = V_{\\text{walec}}\\]\n\n**Krok 1: Objętość kuli**\n\nPromień kuli: \\(r_k = 10\\) cm.\n\n\\[V_{\\text{kula}} = \\frac{4}{3}\\pi r_k^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 10^3 = \\frac{4000\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\n**Krok 2: Objętość stożka**\n\nŚrednica stożka \\(= 16\\) cm, więc promień \\(r_s = 8\\) cm; wysokość \\(h_s = 12\\) cm.\n\n\\[V_{\\text{stożek}} = \\frac{1}{3}\\pi r_s^2 h_s = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 8^2 \\cdot 12 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 768 = 256\\pi = \\frac{768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\n**Krok 3: Łączna objętość metalu**\n\n\\[V_{\\text{metal}} = \\frac{4000\\pi}{3} + \\frac{768\\pi}{3} = \\frac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\n**Krok 4: Promień walca**\n\nŚrednica walca \\(= \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) cm, więc promień \\(r_w = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm.\n\nObliczam \\(r_w^2\\):\n\n\\[r_w^2 = \\left(\\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{16 \\cdot 3}{9} = \\frac{48}{9} = \\frac{16}{3} \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 5: Wyznaczam wysokość walca**\n\n\\[V_{\\text{walec}} = \\pi r_w^2 \\cdot h_w \\implies \\frac{4768\\pi}{3} = \\pi \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot h_w\\]\n\nDzielę obie strony przez \\(\\pi\\) i mnożę przez \\(3\\):\n\n\\[4768 = 16 \\cdot h_w\\]\n\n\\[\\boxed{h_w = \\frac{4768}{16} = 298 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzam, czy walec o \\(r_w = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm i \\(h_w = 298\\) cm ma rzeczywiście objętość \\(\\dfrac{4768\\pi}{3}\\) cm³:\n\n\\[V_{\\text{walec}} = \\pi \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot 298 = \\frac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\nSprawdzam sumę składowych:\n\n\\[\\frac{4000\\pi}{3} + \\frac{768\\pi}{3} = \\frac{4768\\pi}{3} \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - **obliczenie jest poprawne**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzory na objętości brył:\n\nKula (promień \\(r\\)):\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia objętości kuli o \\(r = 10\\) cm.\n\nStożek (promień podstawy \\(r\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w Kroku 2 do obliczenia objętości stożka o \\(r = 8\\) cm, \\(h = 12\\) cm.\n\nWalec (promień \\(r\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyte w Kroku 5 do wyznaczenia \\(h_w\\) z równania na objętość walca.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnicę** stożka i walca, nie promień! Bardzo łatwo zapomnieć podzielić przez 2 - błąd ten daje \\(r_w = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\), przez co objętość walca jest 4-krotnie większa, a wysokość 4-krotnie mniejsza (\\(\\approx 74{,}5\\) cm).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(r_w^2 = \\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^2\\) pamiętaj, że \\((4\\sqrt{3})^2 = 16 \\cdot 3 = 48\\) i \\(3^2 = 9\\), więc \\(r_w^2 = \\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16}{3}\\). Częsty błąd to zapomnienie o podniesieniu mianownika do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przetapianie oznacza **zachowanie objętości** - nie pola powierzchni! Nie wolno sumować pól powierzchni brył.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(h_{w} = 298\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Równość objętości (przetopiono ⇒ zachowana objętość)\n**Dane:**\n- Kula: \\(R = 10\\) cm.\n- Stożek: średnica \\(2r = 16\\) cm, więc \\(r = 8\\) cm; wysokość \\(h = 12\\) cm.\n- Walec: średnica \\(2r_{w} = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) cm, więc \\(r_{w} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm.\n\n**Krok 1 - objętość kuli:**\n\\[V_{k} = \\dfrac{4}{3}\\pi R^{3} = \\dfrac{4}{3}\\pi\\cdot 1000 = \\dfrac{4000\\pi}{3} \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Krok 2 - objętość stożka:**\n\\[V_{s} = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2}h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 64\\cdot 12 = \\dfrac{768\\pi}{3} = 256\\pi \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Krok 3 - suma objętości (objętość walca):**\n\\[V_{W} = V_{k} + V_{s} = \\dfrac{4000\\pi}{3} + \\dfrac{768\\pi}{3} = \\dfrac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Krok 4 - pole podstawy walca:**\n\\[P_{w} = \\pi r_{w}^{2} = \\pi\\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} = \\pi\\cdot\\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16\\pi}{3} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Krok 5 - równanie na wysokość walca:**\nZ \\(V_{W} = P_{w}\\cdot h_{w}\\):\n\\[\\dfrac{4768\\pi}{3} = \\dfrac{16\\pi}{3}\\cdot h_{w}\\]\n\\[h_{w} = \\dfrac{4768\\pi}{3} : \\dfrac{16\\pi}{3} = \\dfrac{4768}{16} = 298 \\text{ cm.}\\]\n\n### Sposób 2 - Z uproszczonymi skrótami\nObjętość „przetopiona\" to:\n\\[V_{W} = V_{k} + V_{s}.\\]\n\nWalec: \\(V_{W} = \\pi r_{w}^{2}\\cdot h_{w}\\). Dzielimy obustronnie przez \\(\\pi\\):\n\\[r_{w}^{2}\\cdot h_{w} = R^{3}\\cdot\\dfrac{4}{3} + \\dfrac{1}{3}r^{2}h.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{48}{9}\\cdot h_{w} = \\dfrac{4\\cdot 1000}{3} + \\dfrac{64\\cdot 12}{3} = \\dfrac{4000 + 768}{3} = \\dfrac{4768}{3}.\\]\n\n\\[\\dfrac{16}{3}\\cdot h_{w} = \\dfrac{4768}{3} \\Rightarrow h_{w} = \\dfrac{4768}{16} = 298.\\]\n\n### Weryfikacja\nObjętość walca: \\(V_{W} = \\dfrac{16\\pi}{3}\\cdot 298 = \\dfrac{4768\\pi}{3}\\) cm\\(^{3}\\).\n\nPodziel na składniki: \\(\\dfrac{4000\\pi}{3} = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 10^{3}\\) ✓ (kula), \\(\\dfrac{768\\pi}{3} = 256\\pi = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 64\\cdot 12\\) ✓ (stożek).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowe założenie zadania: **przetopienie zachowuje objętość** (nie masę, nie gęstość - te mogą się zmienić, ale w zadaniu geometrycznym zakładamy zachowanie objętości). Wysokość \\(298\\) cm oznacza bardzo smukły walec (średnica tylko \\(\\approx 4{,}62\\) cm) - konsekwencja małej średnicy przy tej samej objętości.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (6 pkt)<br>Ciąg (a,) określony jest wzorem a, =n* -5.<br>a. Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu.<br>b. Sprawdź, na podstawie definicji, czy ciąg (a,) jest ciągiem geometrycznym.<br>i<br>o<br>3<br>5<br>Gd<br>E<br>e)<br>n<br>3<br>a<br>N<br>n<br>o<br>R<br>KZ.<br>Kcy<br>E<br>N<br>J<br>3<br>A<br>3<br>oC<br>oO<br>2<br>PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004<br>Matematyka - Arkusz I</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(h_w = 298\\) cm</h4>\n<h4>Sposób 1 - Równanie objętości (bezpośrednie)</h4>\n<p><strong>Zasada:</strong> metal się przetapia, więc suma objętości kuli i stożka = objętość walca.</p>\n<p>\\[V_{\\text{kula}} + V_{\\text{stożek}} = V_{\\text{walec}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 1: Objętość kuli</strong></p>\n<p>Promień kuli: \\(r_k = 10\\) cm.</p>\n<p>\\[V_{\\text{kula}} = \\frac{4}{3}\\pi r_k^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 10^3 = \\frac{4000\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Objętość stożka</strong></p>\n<p>Średnica stożka \\(= 16\\) cm, więc promień \\(r_s = 8\\) cm; wysokość \\(h_s = 12\\) cm.</p>\n<p>\\[V_{\\text{stożek}} = \\frac{1}{3}\\pi r_s^2 h_s = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 8^2 \\cdot 12 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 768 = 256\\pi = \\frac{768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Łączna objętość metalu</strong></p>\n<p>\\[V_{\\text{metal}} = \\frac{4000\\pi}{3} + \\frac{768\\pi}{3} = \\frac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Promień walca</strong></p>\n<p>Średnica walca \\(= \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) cm, więc promień \\(r_w = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm.</p>\n<p>Obliczam \\(r_w^2\\):</p>\n<p>\\[r_w^2 = \\left(\\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{16 \\cdot 3}{9} = \\frac{48}{9} = \\frac{16}{3} \\text{ cm}^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Wyznaczam wysokość walca</strong></p>\n<p>\\[V_{\\text{walec}} = \\pi r_w^2 \\cdot h_w \\implies \\frac{4768\\pi}{3} = \\pi \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot h_w\\]</p>\n<p>Dzielę obie strony przez \\(\\pi\\) i mnożę przez \\(3\\):</p>\n<p>\\[4768 = 16 \\cdot h_w\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{h_w = \\frac{4768}{16} = 298 \\text{ cm}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)</h4>\n<p>Sprawdzam, czy walec o \\(r_w = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm i \\(h_w = 298\\) cm ma rzeczywiście objętość \\(\\dfrac{4768\\pi}{3}\\) cm³:</p>\n<p>\\[V_{\\text{walec}} = \\pi \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot 298 = \\frac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]</p>\n<p>Sprawdzam sumę składowych:</p>\n<p>\\[\\frac{4000\\pi}{3} + \\frac{768\\pi}{3} = \\frac{4768\\pi}{3} \\checkmark\\]</p>\n<p>Wyniki się zgadzają - <strong>obliczenie jest poprawne</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzory na objętości brył:</p>\n<p>Kula (promień \\(r\\)):<br>\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]<br>Użyte w Kroku 1 do obliczenia objętości kuli o \\(r = 10\\) cm.</p>\n<p>Stożek (promień podstawy \\(r\\), wysokość \\(h\\)):<br>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]<br>Użyte w Kroku 2 do obliczenia objętości stożka o \\(r = 8\\) cm, \\(h = 12\\) cm.</p>\n<p>Walec (promień \\(r\\), wysokość \\(h\\)):<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]<br>Użyte w Kroku 5 do wyznaczenia \\(h_w\\) z równania na objętość walca.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie podaje <strong>średnicę</strong> stożka i walca, nie promień! Bardzo łatwo zapomnieć podzielić przez 2 - błąd ten daje \\(r_w = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\), przez co objętość walca jest 4-krotnie większa, a wysokość 4-krotnie mniejsza (\\(\\approx 74{,}5\\) cm).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(r_w^2 = \\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^2\\) pamiętaj, że \\((4\\sqrt{3})^2 = 16 \\cdot 3 = 48\\) i \\(3^2 = 9\\), więc \\(r_w^2 = \\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16}{3}\\). Częsty błąd to zapomnienie o podniesieniu mianownika do kwadratu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przetapianie oznacza <strong>zachowanie objętości</strong> - nie pola powierzchni! Nie wolno sumować pól powierzchni brył.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(h_{w} = 298\\) cm.</p>\n<h5>Sposób 1 - Równość objętości (przetopiono ⇒ zachowana objętość)</h5>\n<p><strong>Dane:</strong></p>\n<ul><li>Kula: \\(R = 10\\) cm.</li><li>Stożek: średnica \\(2r = 16\\) cm, więc \\(r = 8\\) cm; wysokość \\(h = 12\\) cm.</li><li>Walec: średnica \\(2r_{w} = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) cm, więc \\(r_{w} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm.</li></ul>\n<p><strong>Krok 1 - objętość kuli:</strong><br>\\[V_{k} = \\dfrac{4}{3}\\pi R^{3} = \\dfrac{4}{3}\\pi\\cdot 1000 = \\dfrac{4000\\pi}{3} \\text{ cm}^{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - objętość stożka:</strong><br>\\[V_{s} = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2}h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 64\\cdot 12 = \\dfrac{768\\pi}{3} = 256\\pi \\text{ cm}^{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - suma objętości (objętość walca):</strong><br>\\[V_{W} = V_{k} + V_{s} = \\dfrac{4000\\pi}{3} + \\dfrac{768\\pi}{3} = \\dfrac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - pole podstawy walca:</strong><br>\\[P_{w} = \\pi r_{w}^{2} = \\pi\\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} = \\pi\\cdot\\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16\\pi}{3} \\text{ cm}^{2}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 5 - równanie na wysokość walca:</strong><br>Z \\(V_{W} = P_{w}\\cdot h_{w}\\):<br>\\[\\dfrac{4768\\pi}{3} = \\dfrac{16\\pi}{3}\\cdot h_{w}\\]<br>\\[h_{w} = \\dfrac{4768\\pi}{3} : \\dfrac{16\\pi}{3} = \\dfrac{4768}{16} = 298 \\text{ cm.}\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z uproszczonymi skrótami</h5>\n<p>Objętość „przetopiona&quot; to:<br>\\[V_{W} = V_{k} + V_{s}.\\]</p>\n<p>Walec: \\(V_{W} = \\pi r_{w}^{2}\\cdot h_{w}\\). Dzielimy obustronnie przez \\(\\pi\\):<br>\\[r_{w}^{2}\\cdot h_{w} = R^{3}\\cdot\\dfrac{4}{3} + \\dfrac{1}{3}r^{2}h.\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[\\dfrac{48}{9}\\cdot h_{w} = \\dfrac{4\\cdot 1000}{3} + \\dfrac{64\\cdot 12}{3} = \\dfrac{4000 + 768}{3} = \\dfrac{4768}{3}.\\]</p>\n<p>\\[\\dfrac{16}{3}\\cdot h_{w} = \\dfrac{4768}{3} \\Rightarrow h_{w} = \\dfrac{4768}{16} = 298.\\]</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Objętość walca: \\(V_{W} = \\dfrac{16\\pi}{3}\\cdot 298 = \\dfrac{4768\\pi}{3}\\) cm\\(^{3}\\).</p>\n<p>Podziel na składniki: \\(\\dfrac{4000\\pi}{3} = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 10^{3}\\) ✓ (kula), \\(\\dfrac{768\\pi}{3} = 256\\pi = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 64\\cdot 12\\) ✓ (stożek).</p>\n<h5>Komentarz dydaktyczny</h5>\n<p>Kluczowe założenie zadania: <strong>przetopienie zachowuje objętość</strong> (nie masę, nie gęstość - te mogą się zmienić, ale w zadaniu geometrycznym zakładamy zachowanie objętości). Wysokość \\(298\\) cm oznacza bardzo smukły walec (średnica tylko \\(\\approx 4{,}62\\) cm) - konsekwencja małej średnicy przy tej samej objętości.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$2$ wyrazy ujemne, dowód że ciąg nie jest geometryczny</p>"}]}