{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (7 pkt)\nPunkty A =(-1, -2), B=(2,-1),C=(i, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC.\na. Oblicz długość odcinka AB.\nb. Napisz równanie prostej m , do której należą punkty B iC.\nc. Napisz równanie prostej k prostopadłej do prostej m takiej, że Aek.\nd. Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC nie należy do prostej k.\ni\no\n3\n3\nE\nE\n5\ng\nS\nN\n©\n‘N\nG\nE\nN\n$\nŹ\na\noC\noO\no\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nObliczenie długości odcinka AB . [48] =410\nWyznaczenie równania prostej m . 2 p (jeden punkt | y=-3x+5\nprzyznajemy za\npoprawną\nmetodę)\nWyznaczenie współczynnika kierunkowego 1\nprostej k. Ip 3\nWyznaczenie równania prostej k . 1 2\nlp y=-x-1-\n3 3\nZapisanie warunku na to, by środek okręgu np. trójkąt ABC musiałby być\nopisanego na trójkącie ABC należał do równoramienny, wtedy symetralna odcinka\nprostej k . Ip BC pokrywataby sie z prosta k\n(w przeciwnym przypadku są rozłączne,\na środek okręgu opisanego na trójkącie\nmusi do symetralnej należeć).\nĘ Sprawdzenie, czy środek okręgu opisanego | A c] = [20 # A 0\ns na trójkącie ABC należy do prostej k 1p : . a.\nE i udzielenie odpowiedzi. środek okręgu opisanego na trójkącie\nE ABC nie należy do prostej k .\n8 Zadanie 10\n5 Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\n= Obliczenie a -b. 4\nz 1p a-b=--\n| 5\nPA Obliczenie a-b. 1\n= lp a-b=--\n3, 25\n3\na-b tak\nŃ Sprawdzenie, czy --- = 20 1p\n> a:b\n3 a a\nws Obliczenie -. Ip -= 4/3 -7\na b b\noC\na -\nE Zbadanie znaku wyrażenia 5 . 493 7<0\nZastosowanie definicji wartości a\nbezwzględnej. 1p b =7-4\\3","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nUkład nierówności: \\(\\begin{cases} x \\leq 5 \\\\ y \\geq -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\leq \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\)\n\nPole trójkąta: \\(P = 15\\)\n\n## Sposób 1 - równania boków, logika nierówności\n\n**Krok 1: Wyznacz równania prostych zawierających boki trójkąta.**\n\nMamy wierzchołki \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\).\n\n**Bok \\(BC\\):** Oba punkty mają \\(x = 5\\), więc jest to prosta pionowa:\n\\[x = 5\\]\nTrójkąt leży na lewo od niej, więc warunek to \\(x \\leq 5\\).\n\n**Bok \\(AB\\):** od \\(A(0,0)\\) do \\(B(5,-3)\\):\n\\[a_{AB} = \\frac{-3 - 0}{5 - 0} = -\\frac{3}{5}\\]\n\\[y = -\\frac{3}{5}x\\]\nTrójkąt leży **powyżej** tej prostej (np. punkt \\(C(5,3)\\): sprawdzamy \\(3 \\geq -\\frac{3}{5} \\cdot 5 = -3\\) ✓), więc warunek to:\n\\[y \\geq -\\frac{3}{5}x\\]\n\n**Bok \\(AC\\):** od \\(A(0,0)\\) do \\(C(5,3)\\):\n\\[a_{AC} = \\frac{3 - 0}{5 - 0} = \\frac{3}{5}\\]\n\\[y = \\frac{3}{5}x\\]\nTrójkąt leży **poniżej** tej prostej (np. punkt \\(B(5,-3)\\): sprawdzamy \\(-3 \\leq \\frac{3}{5} \\cdot 5 = 3\\) ✓), więc warunek to:\n\\[y \\leq \\frac{3}{5}x\\]\n\n**Krok 2: Złóż układ nierówności.**\n\n\\[\\begin{cases} x \\leq 5 \\\\ y \\geq -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\leq \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz pole trójkąta.**\n\nTrójkąt \\(ABC\\) ma podstawę \\(BC\\) (pionowy odcinek) i wysokość \\(h\\) - odległość wierzchołka \\(A\\) od prostej \\(x = 5\\).\n\n\\[|BC| = |y_C - y_B| = |3 - (-3)| = 6\\]\n\\[h = |x_A - 5| = |0 - 5| = 5\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 5 = 15}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór ze współrzędnych\n\nPole trójkąta o wierzchołkach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\) ze wzoru analitycznego:\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(5-0)(3-0) - (-3-0)(5-0)\\right|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|5 \\cdot 3 - (-3) \\cdot 5\\right|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|15 + 15\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = \\boxed{15}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nRównanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia równań boków \\(AB\\) i \\(AC\\) przez dwa punkty.\n\nPole trójkąta ze współrzędnych (Sposób 2):\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\nWzór bezpośrednio z karty - gotowy do użycia gdy mamy współrzędne.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)**\n\nPole trójkąta (Sposób 1):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy: podstawa \\(|BC| = 6\\), wysokość \\(h = 5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyborze kierunku nierówności (np. \\(\\geq\\) czy \\(\\leq\\)) koniecznie **podstaw punkt kontrolny** leżący wewnątrz trójkąta. Dobry kandydat to np. \\((2, 0)\\) - leży wewnątrz, więc sprawdzasz, czy spełnia każdą nierówność z odpowiednim znakiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bok \\(BC\\) to prosta pionowa (\\(x = 5\\)), nie ma postaci \\(y = ax + b\\). Jego nierówność to \\(x \\leq 5\\), a nie coś z \\(y\\). Uczniowie często próbują wyznaczać współczynnik kierunkowy prostej pionowej (który nie istnieje!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt jest symetryczny względem osi \\(Ox\\) (bo \\(B\\) i \\(C\\) są symetryczne). To dobra wskazówka, że równania boków \\(AB\\) i \\(AC\\) różnią się tylko znakiem: \\(-\\frac{3}{5}x\\) vs \\(+\\frac{3}{5}x\\). Brak tej symetrii w odpowiedzi to sygnał błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n\\[\\begin{cases} x \\le 5 \\\\ y \\ge -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\le \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}, \\quad P = 15.\\]\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie prostych zawierających boki trójkąta\n**Wierzchołki:** \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\).\n\n**Krok 1 - prosta \\(BC\\):**\nPunkty \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\) mają tę samą pierwszą współrzędną \\(x = 5\\). Prosta pionowa:\n\\[x = 5.\\]\n\nTrójkąt leży na lewo od niej: \\(x \\le 5\\).\n\n**Krok 2 - prosta \\(AC\\):**\nPrzechodzi przez \\(A(0,0)\\) i \\(C(5,3)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[m_{AC} = \\dfrac{3-0}{5-0} = \\dfrac{3}{5}.\\]\nRównanie: \\(y = \\dfrac{3}{5}x\\).\n\nTrójkąt leży **poniżej** tej prostej (bo punkt \\(B(5,-3)\\) spełnia \\(-3 < \\tfrac{3}{5}\\cdot 5 = 3\\)): \\(y \\le \\dfrac{3}{5}x\\).\n\n**Krok 3 - prosta \\(AB\\):**\nPrzechodzi przez \\(A(0,0)\\) i \\(B(5,-3)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[m_{AB} = \\dfrac{-3-0}{5-0} = -\\dfrac{3}{5}.\\]\nRównanie: \\(y = -\\dfrac{3}{5}x\\).\n\nTrójkąt leży **powyżej** tej prostej (bo \\(C(5,3)\\) spełnia \\(3 > -\\tfrac{3}{5}\\cdot 5 = -3\\)): \\(y \\ge -\\dfrac{3}{5}x\\).\n\n**Układ nierówności:**\n\\[\\begin{cases} x \\le 5 \\\\ y \\le \\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\ge -\\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\]\n\n### Pole trójkąta - sposób A (podstawa \\(CB\\) i wysokość \\(AD\\))\n**Długości:**\n\\[|CB| = |3 - (-3)| = 6 \\text{ (pionowy odcinek)},\\]\n\\[|AD| = 5 \\text{ (odległość od } A(0,0) \\text{ do prostej } x=5).\\]\n\nKąt między \\(AD\\) a \\(CB\\) jest prosty (\\(AD\\) poziomy, \\(CB\\) pionowy):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|CB|\\cdot|AD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 5 = 15.\\]\n\n### Pole trójkąta - sposób B (wzór z wyznacznika)\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}|0\\cdot(-3-3) + 5\\cdot(3-0) + 5\\cdot(0-(-3))|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}|0 + 15 + 15| = \\dfrac{30}{2} = 15.\\]\n\n### Komentarz\nTrójkąt jest **równoramienny** (\\(|AB| = |AC| = \\sqrt{25+9} = \\sqrt{34}\\)) i symetryczny względem osi \\(Ox\\). Punkt \\(D(5,0)\\) jest spodkiem wysokości z \\(A\\) do boku \\(BC\\) - jednocześnie środkiem odcinka \\(BC\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (7 pkt)<br>Punkty A =(-1, -2), B=(2,-1),C=(i, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC.<br>a. Oblicz długość odcinka AB.<br>b. Napisz równanie prostej m , do której należą punkty B iC.<br>c. Napisz równanie prostej k prostopadłej do prostej m takiej, że Aek.<br>d. Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC nie należy do prostej k.<br>i<br>o<br>3<br>3<br>E<br>E<br>5<br>g<br>S<br>N<br>©<br>‘N<br>G<br>E<br>N<br>$<br>Ź<br>a<br>oC<br>oO<br>o<br>PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004<br>Matematyka - Arkusz I</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9<br>Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)<br>Obliczenie długości odcinka AB . [48] =410<br>Wyznaczenie równania prostej m . 2 p (jeden punkt | y=-3x+5<br>przyznajemy za<br>poprawną<br>metodę)<br>Wyznaczenie współczynnika kierunkowego 1<br>prostej k. Ip 3<br>Wyznaczenie równania prostej k . 1 2<br>lp y=-x-1-<br>3 3<br>Zapisanie warunku na to, by środek okręgu np. trójkąt ABC musiałby być<br>opisanego na trójkącie ABC należał do równoramienny, wtedy symetralna odcinka<br>prostej k . Ip BC pokrywataby sie z prosta k<br>(w przeciwnym przypadku są rozłączne,<br>a środek okręgu opisanego na trójkącie<br>musi do symetralnej należeć).<br>Ę Sprawdzenie, czy środek okręgu opisanego | A c] = [20 # A 0<br>s na trójkącie ABC należy do prostej k 1p : . a.<br>E i udzielenie odpowiedzi. środek okręgu opisanego na trójkącie<br>E ABC nie należy do prostej k .<br>8 Zadanie 10<br>5 Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)<br>= Obliczenie a -b. 4<br>z 1p a-b=--<br>| 5<br>PA Obliczenie a-b. 1<br>= lp a-b=--<br>3, 25<br>3<br>a-b tak<br>Ń Sprawdzenie, czy --- = 20 1p</p>\n<blockquote>a:b</blockquote>\n<p>3 a a<br>ws Obliczenie -. Ip -= 4/3 -7<br>a b b<br>oC<br>a -<br>E Zbadanie znaku wyrażenia 5 . 493 7&lt;0<br>Zastosowanie definicji wartości a<br>bezwzględnej. 1p b =7-4\\3</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p>Układ nierówności: \\(\\begin{cases} x \\leq 5 \\\\ y \\geq -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\leq \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\)</p>\n<p>Pole trójkąta: \\(P = 15\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - równania boków, logika nierówności</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz równania prostych zawierających boki trójkąta.</strong></p>\n<p>Mamy wierzchołki \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\).</p>\n<p><strong>Bok \\(BC\\):</strong> Oba punkty mają \\(x = 5\\), więc jest to prosta pionowa:<br>\\[x = 5\\]<br>Trójkąt leży na lewo od niej, więc warunek to \\(x \\leq 5\\).</p>\n<p><strong>Bok \\(AB\\):</strong> od \\(A(0,0)\\) do \\(B(5,-3)\\):<br>\\[a_{AB} = \\frac{-3 - 0}{5 - 0} = -\\frac{3}{5}\\]<br>\\[y = -\\frac{3}{5}x\\]<br>Trójkąt leży <strong>powyżej</strong> tej prostej (np. punkt \\(C(5,3)\\): sprawdzamy \\(3 \\geq -\\frac{3}{5} \\cdot 5 = -3\\) ✓), więc warunek to:<br>\\[y \\geq -\\frac{3}{5}x\\]</p>\n<p><strong>Bok \\(AC\\):</strong> od \\(A(0,0)\\) do \\(C(5,3)\\):<br>\\[a_{AC} = \\frac{3 - 0}{5 - 0} = \\frac{3}{5}\\]<br>\\[y = \\frac{3}{5}x\\]<br>Trójkąt leży <strong>poniżej</strong> tej prostej (np. punkt \\(B(5,-3)\\): sprawdzamy \\(-3 \\leq \\frac{3}{5} \\cdot 5 = 3\\) ✓), więc warunek to:<br>\\[y \\leq \\frac{3}{5}x\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Złóż układ nierówności.</strong></p>\n<p>\\[\\begin{cases} x \\leq 5 \\\\ y \\geq -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\leq \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz pole trójkąta.</strong></p>\n<p>Trójkąt \\(ABC\\) ma podstawę \\(BC\\) (pionowy odcinek) i wysokość \\(h\\) - odległość wierzchołka \\(A\\) od prostej \\(x = 5\\).</p>\n<p>\\[|BC| = |y_C - y_B| = |3 - (-3)| = 6\\]<br>\\[h = |x_A - 5| = |0 - 5| = 5\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 5 = 15}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór ze współrzędnych</h4>\n<p>Pole trójkąta o wierzchołkach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\) ze wzoru analitycznego:</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\):</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(5-0)(3-0) - (-3-0)(5-0)\\right|\\]<br>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|5 \\cdot 3 - (-3) \\cdot 5\\right|\\]<br>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|15 + 15\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = \\boxed{15}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia równań boków \\(AB\\) i \\(AC\\) przez dwa punkty.</p>\n<p>Pole trójkąta ze współrzędnych (Sposób 2):<br>\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]<br>Wzór bezpośrednio z karty - gotowy do użycia gdy mamy współrzędne.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong></p>\n<p>Pole trójkąta (Sposób 1):<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]<br>Użyliśmy: podstawa \\(|BC| = 6\\), wysokość \\(h = 5\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyborze kierunku nierówności (np. \\(\\geq\\) czy \\(\\leq\\)) koniecznie <strong>podstaw punkt kontrolny</strong> leżący wewnątrz trójkąta. Dobry kandydat to np. \\((2, 0)\\) - leży wewnątrz, więc sprawdzasz, czy spełnia każdą nierówność z odpowiednim znakiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Bok \\(BC\\) to prosta pionowa (\\(x = 5\\)), nie ma postaci \\(y = ax + b\\). Jego nierówność to \\(x \\leq 5\\), a nie coś z \\(y\\). Uczniowie często próbują wyznaczać współczynnik kierunkowy prostej pionowej (który nie istnieje!).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójkąt jest symetryczny względem osi \\(Ox\\) (bo \\(B\\) i \\(C\\) są symetryczne). To dobra wskazówka, że równania boków \\(AB\\) i \\(AC\\) różnią się tylko znakiem: \\(-\\frac{3}{5}x\\) vs \\(+\\frac{3}{5}x\\). Brak tej symetrii w odpowiedzi to sygnał błędu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong><br>\\[\\begin{cases} x \\le 5 \\\\ y \\ge -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\le \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}, \\quad P = 15.\\]</p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie prostych zawierających boki trójkąta</h5>\n<p><strong>Wierzchołki:</strong> \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - prosta \\(BC\\):</strong><br>Punkty \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\) mają tę samą pierwszą współrzędną \\(x = 5\\). Prosta pionowa:<br>\\[x = 5.\\]</p>\n<p>Trójkąt leży na lewo od niej: \\(x \\le 5\\).</p>\n<p><strong>Krok 2 - prosta \\(AC\\):</strong><br>Przechodzi przez \\(A(0,0)\\) i \\(C(5,3)\\). Współczynnik kierunkowy:<br>\\[m_{AC} = \\dfrac{3-0}{5-0} = \\dfrac{3}{5}.\\]<br>Równanie: \\(y = \\dfrac{3}{5}x\\).</p>\n<p>Trójkąt leży <strong>poniżej</strong> tej prostej (bo punkt \\(B(5,-3)\\) spełnia \\(-3 &lt; \\tfrac{3}{5}\\cdot 5 = 3\\)): \\(y \\le \\dfrac{3}{5}x\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - prosta \\(AB\\):</strong><br>Przechodzi przez \\(A(0,0)\\) i \\(B(5,-3)\\). Współczynnik kierunkowy:<br>\\[m_{AB} = \\dfrac{-3-0}{5-0} = -\\dfrac{3}{5}.\\]<br>Równanie: \\(y = -\\dfrac{3}{5}x\\).</p>\n<p>Trójkąt leży <strong>powyżej</strong> tej prostej (bo \\(C(5,3)\\) spełnia \\(3 &gt; -\\tfrac{3}{5}\\cdot 5 = -3\\)): \\(y \\ge -\\dfrac{3}{5}x\\).</p>\n<p><strong>Układ nierówności:</strong><br>\\[\\begin{cases} x \\le 5 \\\\ y \\le \\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\ge -\\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\]</p>\n<h5>Pole trójkąta - sposób A (podstawa \\(CB\\) i wysokość \\(AD\\))</h5>\n<p><strong>Długości:</strong><br>\\[|CB| = |3 - (-3)| = 6 \\text{ (pionowy odcinek)},\\]<br>\\[|AD| = 5 \\text{ (odległość od } A(0,0) \\text{ do prostej } x=5).\\]</p>\n<p>Kąt między \\(AD\\) a \\(CB\\) jest prosty (\\(AD\\) poziomy, \\(CB\\) pionowy):<br>\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|CB|\\cdot|AD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 5 = 15.\\]</p>\n<h5>Pole trójkąta - sposób B (wzór z wyznacznika)</h5>\n<p>\\[P = \\dfrac{1}{2}|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|\\]<br>\\[= \\dfrac{1}{2}|0\\cdot(-3-3) + 5\\cdot(3-0) + 5\\cdot(0-(-3))|\\]<br>\\[= \\dfrac{1}{2}|0 + 15 + 15| = \\dfrac{30}{2} = 15.\\]</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Trójkąt jest <strong>równoramienny</strong> (\\(|AB| = |AC| = \\sqrt{25+9} = \\sqrt{34}\\)) i symetryczny względem osi \\(Ox\\). Punkt \\(D(5,0)\\) jest spodkiem wysokości z \\(A\\) do boku \\(BC\\) - jednocześnie środkiem odcinka \\(BC\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ nie należy do prostej $k$</p>"}]}