{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"20","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (7 pkt)\nRóżnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość\nwyrażenia\n50\n49\n1\na\na\na ⋅\nwiedząc, że\n1\n51 =\na","answer":null,"answer_text":"20.1\nAnaliza zadania i wprowadzenie\noznaczeń.\nNp. x - różnica ciągu arytmetycznego\nx\na\n50\n1\n1\n1\n20.2\nWyznaczenie\n50\n49,a\na\nw zależności od x.\nx\na\nx\na\n1\n,\n2\n1\n50\n49\n1\n20.3\nZapisanie wyrażenia\n50\n49\n1\na\na\na ⋅\njako funkcji jednej zmiennej\ni podanie jej dziedziny.\nf(x)=\nx\nx\nx\n1\n)\n2\n1\n)(\n50\n1(\n, x∈(-∞;1)\n1\n20.4\nObliczenie pochodnej funkcji f.\n( )\n(\n)\n(\n)1;\n,\n1\n51\n200\n100\n2\n2\n∞\n∈\nx\nx\nx\nx\nx\nf\n1\n20.5\nRozwiązanie równania\n( )\n0\nx\nf\n10\n3\nx\n1\n20.6\nUzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości funkcji f (zbadanie monoto-\nniczności funkcji f w przedziale\n(\n)1;\n∞\n).\nFunkcja f:\nmaleje dla\n\n\n\n\n\n\n∞\n∈\n10\n3\n;\nx\n, rośnie dla\n\n\n\n\n\n\n∈\n1;\n10\n3\nx\n, dla\n10\n3\nx\nprzyjmuje najmniej-\nszą wartość\n1\n20\n20.7\nWyznaczenie najmniejszej wartości\nfunkcji f.\n8\n10\n3\n\n\n\n\n\n\nf\n1","solution":"Najmniejsza wartość funkcji wynosi $-8$.","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 20. (7 pkt)
Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość
wyrażenia
50
49
1
a
a
a ⋅
wiedząc, że
1
51 =
a

","answer_text_html":"

20.1
Analiza zadania i wprowadzenie
oznaczeń.
Np. x - różnica ciągu arytmetycznego
x
a
50
1
1
1
20.2
Wyznaczenie
50
49,a
a
w zależności od x.
x
a
x
a
1
,
2
1
50
49
1
20.3
Zapisanie wyrażenia
50
49
1
a
a
a ⋅
jako funkcji jednej zmiennej
i podanie jej dziedziny.
f(x)=
x
x
x
1
)
2
1
)(
50
1(
, x∈(-∞;1)
1
20.4
Obliczenie pochodnej funkcji f.
( )
(
)
(
)1;
,
1
51
200
100
2
2
∞
∈
x
x
x
x
x
f
1
20.5
Rozwiązanie równania
( )
0
x
f
10
3
x
1
20.6
Uzasadnienie istnienia najmniejszej
wartości funkcji f (zbadanie monoto-
niczności funkcji f w przedziale
(
)1;
∞
).
Funkcja f:
maleje dla






∞
∈
10
3
;
x
, rośnie dla






∈
1;
10
3
x
, dla
10
3
x
przyjmuje najmniej-
szą wartość
1
20
20.7
Wyznaczenie najmniejszej wartości
funkcji f.
8
10
3






f
1

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Najmniejsza wartość funkcji wynosi −8.

"}]}