{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nW pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę\nbiałą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę.\nW którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne?\nWykonaj odpowiednie obliczenia.\n\n3\nArkusz I\nW pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia.","answer":null,"answer_text":"1.1\nObliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej\nkuli spośród 4 kul białych i 5 czarnych:\n9\n4\n1 =\np\n1 p\n1.2\nObliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej\nkuli spośród 3 kul białych i 4 czarnych:\n7\n3\n2 =\np\n1 p\n1\n1.3\nPorównanie obliczonych wyników i sformułowanie\nodpowiedzi:\n2\n1\np\np 〉\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli białej po **dołożeniu** jednej kuli białej.\n\n\\[p_1 = \\frac{4}{9} > p_2 = \\frac{3}{7}\\]\n\n## Sposób 1 - Obliczenie prawdopodobieństw obu przypadków\n\n**Stan początkowy:** 3 kule białe i 5 kul czarnych, łącznie **8 kul**.\n\n**Przypadek 1 - dokładamy jedną kulę białą:**\n\nPo dołożeniu: \\(3 + 1 = 4\\) białe, 5 czarnych, łącznie \\(8 + 1 = 9\\) kul.\n\n\\[p_1 = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Przypadek 2 - usuwamy jedną kulę czarną:**\n\nPo usunięciu: 3 białe, \\(5 - 1 = 4\\) czarne, łącznie \\(8 - 1 = 7\\) kul.\n\n\\[p_2 = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{3}{7}\\]\n\n**Porównanie - sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(\\text{NWW}(9, 7) = 63\\):**\n\n\\[p_1 = \\frac{4}{9} = \\frac{4 \\cdot 7}{63} = \\frac{28}{63}\\]\n\n\\[p_2 = \\frac{3}{7} = \\frac{3 \\cdot 9}{63} = \\frac{27}{63}\\]\n\n\\[\\frac{28}{63} > \\frac{27}{63} \\implies p_1 > p_2\\]\n\n**Wniosek:** Wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne w przypadku, gdy do pudełka dołożono kulę białą.\n\n## Sposób 2 - Porównanie przez iloraz (lub różnicę ułamków)\n\nZamiast szukać wspólnego mianownika, sprawdzamy nierówność \\(\\frac{4}{9} \\stackrel{?}{>} \\frac{3}{7}\\) metodą krzyżowego mnożenia (obie liczby dodatnie, więc kierunek nierówności się nie zmienia):\n\n\\[4 \\cdot 7 \\stackrel{?}{>} 3 \\cdot 9\\]\n\\[28 > 27 \\quad \\checkmark\\]\n\nZatem \\(p_1 = \\frac{4}{9} > p_2 = \\frac{3}{7}\\) - **dołożenie białej kuli jest korzystniejsze**.\n\nMożna też zobaczyć intuicję: w obu przypadkach liczba białych kul nie rośnie (w Przypadku 2 zostaje 3), ale w Przypadku 1 jest ich o 1 więcej. Mimo że pula jest większa (9 zamiast 7), relatywny udział białych jest wyższy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba wyników sprzyjających zdarzeniu, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich równie możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie - raz dla każdego przypadku, gdzie zbiór zdarzeń elementarnych to losowanie jednej kuli z pudełka.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to porównywanie ułamków „na oko\" - intuicja podpowiada, że \\(\\frac{3}{7}\\) jest większe (mniejszy mianownik = „bliżej całości\"), ale trzeba to zawsze liczyć! Tu \\(\\frac{4}{9} \\approx 0{,}444\\), a \\(\\frac{3}{7} \\approx 0{,}429\\) - różnica jest mała, ale realna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że po zmianie liczymy prawdopodobieństwo dla **nowej** zawartości pudełka - nie dla pierwotnych 8 kul! Maturzyści często zostawiają mianownik = 8 zamiast zaktualizować liczbę kul.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi „albo albo \" - to **dwie osobne sytuacje** (dwa scenariusze), nie zdarzenia jednoczesne. Nie łączymy ich wzorem na sumę prawdopodobieństw.\n\n**Poprawna odpowiedź: dołożenie białej kuli daje większe prawdopodobieństwo** \\(\\left(p_1 = \\dfrac{4}{9} > p_2 = \\dfrac{3}{7}\\right)\\)\n\n### Sposób 1 - Obliczenie prawdopodobieństw w obu przypadkach\n**Stan początkowy:** 3 białe + 5 czarnych = 8 kul.\n\n**Przypadek 1 - dołożenie białej kuli:**\n- Białych: \\(3+1 = 4\\)\n- Czarnych: \\(5\\)\n- Razem: \\(9\\)\n\\[p_1 = \\dfrac{4}{9}\\]\n\n**Przypadek 2 - usunięcie czarnej kuli:**\n- Białych: \\(3\\)\n- Czarnych: \\(5-1 = 4\\)\n- Razem: \\(7\\)\n\\[p_2 = \\dfrac{3}{7}\\]\n\n**Porównanie:** sprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[p_1 = \\dfrac{4}{9} = \\dfrac{28}{63}, \\quad p_2 = \\dfrac{3}{7} = \\dfrac{27}{63}\\]\n\\[\\dfrac{28}{63} > \\dfrac{27}{63} \\Rightarrow p_1 > p_2.\\]\n\n**Wniosek:** wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne w przypadku **dołożenia białej kuli**.\n\n### Sposób 2 - Porównanie ilorazem\n\\[\\dfrac{p_1}{p_2} = \\dfrac{4/9}{3/7} = \\dfrac{4\\cdot 7}{9\\cdot 3} = \\dfrac{28}{27} > 1.\\]\nZatem \\(p_1 > p_2\\).\n\n### Wnioski dydaktyczne\nDołożenie białej kuli zwiększa zarówno licznik (liczbę sukcesów), jak i mianownik (liczbę wszystkich), ale proporcja rośnie szybciej niż przy usunięciu czarnej. Intuicja: liczba białych ma większe znaczenie, gdy rośnie zarówno licznik, jak i mianownik.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (3 pkt)
W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę
białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę.
W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne?
Wykonaj odpowiednie obliczenia.

\n

3
Arkusz I
W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia.

","answer_text_html":"

1.1
Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej
kuli spośród 4 kul białych i 5 czarnych:
9
4
1 =
p
1 p
1.2
Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej
kuli spośród 3 kul białych i 4 czarnych:
7
3
2 =
p
1 p
1
1.3
Porównanie obliczonych wyników i sformułowanie
odpowiedzi:
2
1
p
p 〉
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli białej po dołożeniu jednej kuli białej.

\n

\\[p_1 = \\frac{4}{9} > p_2 = \\frac{3}{7}\\]

\n

Sposób 1 - Obliczenie prawdopodobieństw obu przypadków

\n

Stan początkowy: 3 kule białe i 5 kul czarnych, łącznie 8 kul.

\n

Przypadek 1 - dokładamy jedną kulę białą:

\n

Po dołożeniu: \\(3 + 1 = 4\\) białe, 5 czarnych, łącznie \\(8 + 1 = 9\\) kul.

\n

\\[p_1 = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{4}{9}\\]

\n

Przypadek 2 - usuwamy jedną kulę czarną:

\n

Po usunięciu: 3 białe, \\(5 - 1 = 4\\) czarne, łącznie \\(8 - 1 = 7\\) kul.

\n

\\[p_2 = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{3}{7}\\]

\n

Porównanie - sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(\\text{NWW}(9, 7) = 63\\):

\n

\\[p_1 = \\frac{4}{9} = \\frac{4 \\cdot 7}{63} = \\frac{28}{63}\\]

\n

\\[p_2 = \\frac{3}{7} = \\frac{3 \\cdot 9}{63} = \\frac{27}{63}\\]

\n

\\[\\frac{28}{63} > \\frac{27}{63} \\implies p_1 > p_2\\]

\n

Wniosek: Wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne w przypadku, gdy do pudełka dołożono kulę białą.

\n

Sposób 2 - Porównanie przez iloraz (lub różnicę ułamków)

\n

Zamiast szukać wspólnego mianownika, sprawdzamy nierówność \\(\\frac{4}{9} \\stackrel{?}{>} \\frac{3}{7}\\) metodą krzyżowego mnożenia (obie liczby dodatnie, więc kierunek nierówności się nie zmienia):

\n

\\[4 \\cdot 7 \\stackrel{?}{>} 3 \\cdot 9\\]
\\[28 > 27 \\quad \\checkmark\\]

\n

Zatem \\(p_1 = \\frac{4}{9} > p_2 = \\frac{3}{7}\\) - dołożenie białej kuli jest korzystniejsze.

\n

Można też zobaczyć intuicję: w obu przypadkach liczba białych kul nie rośnie (w Przypadku 2 zostaje 3), ale w Przypadku 1 jest ich o 1 więcej. Mimo że pula jest większa (9 zamiast 7), relatywny udział białych jest wyższy.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) = liczba wyników sprzyjających zdarzeniu, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich równie możliwych wyników.

\n

Użyliśmy tego wzoru dwukrotnie - raz dla każdego przypadku, gdzie zbiór zdarzeń elementarnych to losowanie jednej kuli z pudełka.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to porównywanie ułamków „na oko" - intuicja podpowiada, że \\(\\frac{3}{7}\\) jest większe (mniejszy mianownik = „bliżej całości"), ale trzeba to zawsze liczyć! Tu \\(\\frac{4}{9} \\approx 0{,}444\\), a \\(\\frac{3}{7} \\approx 0{,}429\\) - różnica jest mała, ale realna.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że po zmianie liczymy prawdopodobieństwo dla nowej zawartości pudełka - nie dla pierwotnych 8 kul! Maturzyści często zostawiają mianownik = 8 zamiast zaktualizować liczbę kul.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi „albo albo " - to dwie osobne sytuacje (dwa scenariusze), nie zdarzenia jednoczesne. Nie łączymy ich wzorem na sumę prawdopodobieństw.
\n

Poprawna odpowiedź: dołożenie białej kuli daje większe prawdopodobieństwo \\(\\left(p_1 = \\dfrac{4}{9} > p_2 = \\dfrac{3}{7}\\right)\\)

\n
Sposób 1 - Obliczenie prawdopodobieństw w obu przypadkach
\n

Stan początkowy: 3 białe + 5 czarnych = 8 kul.

\n

Przypadek 1 - dołożenie białej kuli:

\n\n

\\[p_1 = \\dfrac{4}{9}\\]

\n

Przypadek 2 - usunięcie czarnej kuli:

\n\n

\\[p_2 = \\dfrac{3}{7}\\]

\n

Porównanie: sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\\[p_1 = \\dfrac{4}{9} = \\dfrac{28}{63}, \\quad p_2 = \\dfrac{3}{7} = \\dfrac{27}{63}\\]
\\[\\dfrac{28}{63} > \\dfrac{27}{63} \\Rightarrow p_1 > p_2.\\]

\n

Wniosek: wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne w przypadku dołożenia białej kuli.

\n
Sposób 2 - Porównanie ilorazem
\n

\\[\\dfrac{p_1}{p_2} = \\dfrac{4/9}{3/7} = \\dfrac{4\\cdot 7}{9\\cdot 3} = \\dfrac{28}{27} > 1.\\]
Zatem \\(p_1 > p_2\\).

\n
Wnioski dydaktyczne
\n

Dołożenie białej kuli zwiększa zarówno licznik (liczbę sukcesów), jak i mianownik (liczbę wszystkich), ale proporcja rośnie szybciej niż przy usunięciu czarnej. Intuicja: liczba białych ma większe znaczenie, gdy rośnie zarówno licznik, jak i mianownik.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$p_1 > p_2$

"}]}