Zadanie 10. (7 pkt)
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych
poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2α. Oblicz
objętość tego ostrosłupa.
12
Arkusz I
BRUDNOPIS
13
Arkusz I
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości $h$ i tworzą kąt o mierze $2\\alpha$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
10.1
Sporządzenie rysunku
wraz z oznaczeniami lub
wprowadzenie dokładnie
opisanych oznaczeń,
np.
h
WL
WK
,
V - objętość ostrosłupa
ABCDW,
Pp - pole podstawy
ostrosłupa ABCDW
1 p
10.2
Zaznaczenie na rysunku właściwego przekroju i wła-
ściwego kąta
1 p
10.3
Wykorzystanie własności, że trójkąt WKL jest równo-
ramienny i wysokość WO jest wysokością ostrosłupa
1 p
10.4
Obliczenie WO z WOL
∆
:
α
cos
h
WO =
1 p
10.5
Obliczenie AB :
α
sin
2h
AB =
1 p
10
10.6
Obliczenie pola podstawy ostrosłupa:
α
2
2 sin
4h
Pp =
Obliczenie objętości ostrosłupa:
α
α cos
sin
3
4
2
3
h
V =
lub
α
α sin
2
sin
3
2
3
h
V =
2 p
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawio-
nej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
\\[V = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{2}{3}h^3\\sin 2\\alpha \\sin\\alpha\\]
\nUstawiamy układ współrzędnych. Niech środek kwadratu podstawy leży w początku układu. Bok podstawy oznaczamy \\(a\\), wysokość ostrosłupa \\(H\\).
\nWierzchołki podstawy:
\\[A = \\left(-\\tfrac{a}{2}, -\\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\quad B = \\left(\\tfrac{a}{2}, -\\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\quad C = \\left(\\tfrac{a}{2}, \\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\quad D = \\left(-\\tfrac{a}{2}, \\tfrac{a}{2}, 0\\right)\\]
Wierzchołek ostrosłupa: \\(S = (0, 0, H)\\).
\nIdentyfikujemy "wysokości ścian bocznych z wierzchołka". Wysokość ściany bocznej (trójkątnej) opuszczona z \\(S\\) biegnie do środka krawędzi podstawy. Dla ścian przeciwległych są to:
\\[M_{AB} = \\left(0, -\\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\qquad M_{CD} = \\left(0, \\tfrac{a}{2}, 0\\right)\\]
Zapisujemy wektory:
\\[\\vec{SM_{AB}} = \\left(0, -\\tfrac{a}{2}, -H\\right), \\qquad \\vec{SM_{CD}} = \\left(0, \\tfrac{a}{2}, -H\\right)\\]
Ich długość (oba równe \\(h\\)):
\\[h = \\left|\\vec{SM_{AB}}\\right| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 + H^2} \\quad \\Rightarrow \\quad h^2 = \\tfrac{a^2}{4} + H^2 \\tag{1}\\]
Obliczamy kąt \\(2\\alpha\\) między tymi wektorami (iloczyn skalarny):
\\[\\cos 2\\alpha = \\frac{\\vec{SM_{AB}} \\cdot \\vec{SM_{CD}}}{\\left|\\vec{SM_{AB}}\\right| \\cdot \\left|\\vec{SM_{CD}}\\right|} = \\frac{0 \\cdot 0 + \\left(-\\tfrac{a}{2}\\right)\\cdot\\tfrac{a}{2} + (-H)(-H)}{h \\cdot h} = \\frac{H^2 - \\tfrac{a^2}{4}}{h^2} \\tag{2}\\]
Łączymy równania (1) i (2). Z (1): \\(\\tfrac{a^2}{4} = h^2 - H^2\\). Podstawiamy do (2):
\\[\\cos 2\\alpha = \\frac{H^2 - (h^2 - H^2)}{h^2} = \\frac{2H^2 - h^2}{h^2}\\]
Stosujemy wzór na kosinus podwojonego kąta \\(\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1\\):
\\[2\\cos^2\\alpha - 1 = \\frac{2H^2}{h^2} - 1\\]
\\[\\boxed{H = h\\cos\\alpha}\\]
Z równania (1):
\\[\\tfrac{a^2}{4} = h^2 - h^2\\cos^2\\alpha = h^2\\sin^2\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\tfrac{a}{2} = h\\sin\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\boxed{a = 2h\\sin\\alpha}\\]
Obliczamy objętość:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot (2h\\sin\\alpha)^2 \\cdot h\\cos\\alpha = \\frac{1}{3} \\cdot 4h^2\\sin^2\\alpha \\cdot h\\cos\\alpha\\]
\\[\\boxed{V = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha}\\]
\nDrugi zapis (korzystając z \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)):
\\[V = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{2}{3}h^3 \\cdot \\underbrace{2\\sin\\alpha\\cos\\alpha}_{= \\sin 2\\alpha} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{2}{3}h^3\\sin 2\\alpha\\sin\\alpha\\]
Kluczowa obserwacja: Oba wektory \\(\\vec{SM_{AB}}\\) i \\(\\vec{SM_{CD}}\\) leżą w tej samej płaszczyźnie (płaszczyźnie zawierającej oś ostrosłupa). Z symetrii ostrosłupa prawidłowego oś \\(SO\\) symetrycznie bisekuje kąt \\(\\angle M_{AB}S\\,M_{CD} = 2\\alpha\\).
\nZatem każda z tych wysokości tworzy z osią ostrosłupa kąt \\(\\alpha\\).
\nRozpatruję trójkąt prostokątny \\(S\\!-\\!O\\!-\\!M_{AB}\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):
\nS
H | \\ h
O----M_AB
a/2
Z definicji funkcji trygonometrycznych (kąt \\(\\alpha\\) przy S):
\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{SO}{SM_{AB}} = \\frac{H}{h} \\quad \\Rightarrow \\quad H = h\\cos\\alpha\\]
\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{OM_{AB}}{SM_{AB}} = \\frac{a/2}{h} \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{a}{2} = h\\sin\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad a = 2h\\sin\\alpha\\]
\nObjętość:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 4h^2\\sin^2\\alpha \\cdot h\\cos\\alpha = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha\\]
Ten sposób jest szybszy - wystarczyło rozpoznać symetrię i narysować trójkąt prostokątny!
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]
gdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość. Dla podstawy kwadratowej \\(P_p = a^2\\), więc \\(V = \\frac{1}{3}a^2H\\). Użyliśmy tego na końcu obu sposobów.
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-13) - jedynka trygonometryczna i wzory na kosinus podwojonego kąta:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\qquad \\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(H\\) z równania na \\(\\cos 2\\alpha\\).
Dział 9 - wzór na sinus podwojonego kąta:
\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]
Użyte przy przekształceniu do drugiej postaci wyniku \\(\\frac{2}{3}h^3\\sin 2\\alpha\\sin\\alpha\\).
⚠️ Uwaga: "Wysokość ściany bocznej z wierzchołka" to NIE krawędź boczna \\(SA\\), ani NIE wysokość ostrosłupa! To odcinek z \\(S\\) do środka krawędzi podstawy - prostopadły do tej krawędzi. Mylenie tych pojęć to najczęstszy błąd.\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(2\\alpha\\) tworzą ze sobą dwie przeciwległe wysokości ścian bocznych - nie dwie sąsiednie! Dla sąsiednich kąt byłby inny.\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 łatwo się pomylić przy znaku w iloczynie skalarnym: \\(\\left(-\\tfrac{a}{2}\\right)\\cdot\\tfrac{a}{2} = -\\tfrac{a^2}{4}\\). Przed użyciem wzoru na \\(\\cos 2\\alpha\\) warto sprawdzić znak tej składowej.\n
Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin^{2}\\alpha\\cos\\alpha\\) (równoważnie \\(V = \\dfrac{2}{3}h^{3}\\sin 2\\alpha \\sin\\alpha\\)).
\nNiech:
\nKrok 1 - trójkąt \\(WKL\\) jest równoramienny (\\(|WK| = |WL| = h\\)).
Wysokość z \\(W\\) w tym trójkącie dzieli kąt \\(2\\alpha\\) na dwa kąty po \\(\\alpha\\). Spodek tej wysokości to \\(O\\) - środek \\(KL\\).
Krok 2 - wysokość ostrosłupa:
W trójkącie prostokątnym \\(WOL\\):
\\[|WO| = |WL|\\cos\\alpha = h\\cos\\alpha.\\]
Krok 3 - długość odcinka \\(KL\\) (= krawędź podstawy):
\\[|OL| = h\\sin\\alpha \\Rightarrow |KL| = 2h\\sin\\alpha.\\]
Jednocześnie \\(|KL|\\) jest równe długości krawędzi podstawy \\(a\\) (łączy środki przeciwległych boków kwadratu, więc \\(|KL| = a\\)):
\\[a = 2h\\sin\\alpha.\\]
Krok 4 - pole podstawy:
\\[P_p = a^{2} = (2h\\sin\\alpha)^{2} = 4h^{2}\\sin^{2}\\alpha.\\]
Krok 5 - objętość:
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot |WO| = \\dfrac{1}{3}\\cdot 4h^{2}\\sin^{2}\\alpha \\cdot h\\cos\\alpha\\]
\\[\\boxed{V = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin^{2}\\alpha\\cos\\alpha.}\\]
Wykorzystujemy tożsamość \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):
\\[V = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin^{2}\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin\\alpha\\cdot(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)\\]
\\[= \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin\\alpha\\cdot\\dfrac{\\sin 2\\alpha}{2} = \\dfrac{2}{3}h^{3}\\sin\\alpha\\sin 2\\alpha.\\]
Dla \\(2\\alpha \\in (0, \\pi)\\) (kąt trójkąta), czyli \\(\\alpha \\in (0, \\tfrac{\\pi}{2})\\): \\(\\sin\\alpha > 0, \\cos\\alpha > 0\\), więc \\(V > 0\\) ✓.
\nNajczęstszy błąd: mylenie kąta \\(2\\alpha\\) między apotemami z kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Tutaj \\(2\\alpha\\) to kąt między dwoma odcinkami \\(WK\\) i \\(WL\\) leżącymi w płaszczyźnie przechodzącej przez \\(W\\), \\(K\\), \\(L\\) (przekrój ostrosłupa zawierający wysokość).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$V = \\dfrac{4}{3}h^3 \\sin^2\\alpha \\cos\\alpha$ lub $V = \\dfrac{2}{3}h^3 \\sin 2\\alpha \\sin\\alpha$
"}]}