{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\n, gdzie\n3\n,2\n,1\ndla\n1\n3\n2\nn\nn\nn\nan\nWyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu\nwiększe od 2\n1 .\n\n4\nArkusz I\nDany jest ciąg (a_n), gdzie a_n={n+2 / 3n+1} dla n=1,2,3... Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od {1/2}","answer":null,"answer_text":"2.1\nZapisanie nierówności:\n2\n1\n1\n3\n2 〉\nn\nn\n1 p\n2.2\nPrzekształcenie nierówności do postaci liniowej\nlub iloczynowej:\n3\n〈\nn\nlub (\n)(\n)\n0\n1\n3\n3\n2\n〉\nn\nn\n1 p\n2.3\nRozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych:\nn = 1 lub n = 2\n1 p\n2\n2.4\nSformułowanie odpowiedzi:\n7\n4\n,\n4\n3\n2\n1\na\na\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(a_2 = \\dfrac{4}{7}\\)\n\nSzukamy wszystkich \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots\\}\\) takich, że \\(a_n > \\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności algebraicznie\n\n**Cel:** znaleźć dla jakich \\(n\\) zachodzi \\(\\dfrac{n+2}{3n+1} > \\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Krok 1.** Zauważamy, że dla każdego \\(n \\geq 1\\) mianownik \\(3n + 1 > 0\\), więc możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony nierówności przez \\(2(3n+1)\\) bez zmiany kierunku:\n\n\\[2(n+2) > 3n+1\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy i upraszczamy:\n\n\\[2n + 4 > 3n + 1\\]\n\n\\[4 - 1 > 3n - 2n\\]\n\n\\[3 > n\\]\n\n\\[n < 3\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(n\\) jest naturalnym indeksem (\\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)), warunek \\(n < 3\\) spełniają dokładnie \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\).\n\n**Krok 4.** Obliczamy te wyrazy:\n\n\\[a_1 = \\frac{1+2}{3 \\cdot 1 + 1} = \\frac{3}{4}\\]\n\n\\[a_2 = \\frac{2+2}{3 \\cdot 2 + 1} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Odpowiedź:** Jedyne wyrazy większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) to \\(\\boldsymbol{a_1 = \\dfrac{3}{4}}\\) i \\(\\boldsymbol{a_2 = \\dfrac{4}{7}}\\).\n\n## Sposób 2 - Analiza monotoniczności + weryfikacja przy \\(n = 3\\)\n\n**Obserwacja:** Sprawdźmy, czy ciąg jest malejący. Liczymy \\(a_{n+1} - a_n\\):\n\n\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{(n+1)+2}{3(n+1)+1} - \\frac{n+2}{3n+1} = \\frac{n+3}{3n+4} - \\frac{n+2}{3n+1}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\n\\[= \\frac{(n+3)(3n+1) - (n+2)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}\\]\n\nLicznik:\n\n\\[(3n^2 + 10n + 3) - (3n^2 + 10n + 8) = -5\\]\n\nZatem:\n\n\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{-5}{(3n+4)(3n+1)} < 0 \\quad \\text{dla każdego } n \\geq 1\\]\n\n**Wniosek:** ciąg jest **ściśle malejący**. Wystarczy więc znaleźć pierwszy wyraz, który przestaje być \\(> \\dfrac{1}{2}\\), i wiemy, że wszystkie kolejne też nie będą.\n\nSprawdzamy \\(a_3\\):\n\n\\[a_3 = \\frac{3+2}{3 \\cdot 3 + 1} = \\frac{5}{10} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\) - **nie jest większe** od \\(\\dfrac{1}{2}\\) (warunek jest ostry: \\(>\\)).\n\nPonieważ ciąg jest malejący i \\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\), to dla wszystkich \\(n \\geq 3\\) mamy \\(a_n \\leq \\dfrac{1}{2}\\).\n\nPozostaje sprawdzić \\(a_1\\) i \\(a_2\\):\n\n\\[a_1 = \\frac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]\n\n\\[a_2 = \\frac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Odpowiedź potwierdzona:** tylko \\(a_1\\) i \\(a_2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z żadnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia nierówności i działania arytmetyczne na ułamkach. Pojęcie ciągu ogólnego (wzór na \\(n\\)-ty wyraz) jest definicją, nie wzorem z karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie zawierające zmienną, trzeba sprawdzić jego znak! Tutaj \\(3n+1 > 0\\) zawsze - ale gdyby mogło być ujemne, kierunek nierówności by się odwrócił.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\) - dokładnie połowa, **nie spełnia warunku** \\(> \\dfrac{1}{2}\\). Nierówność jest ostra. Łatwo tu popełnić błąd i zaliczyć \\(a_3\\) do odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg jest nieskończony, więc nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów \"na oko\" - trzeba rozwiązać nierówność ogólnie (jak w Sposobie 1) lub uzasadnić monotoniczność (jak w Sposobie 2), żeby mieć pewność, że nie ma \"dalszych\" wyrazów większych od \\(\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_1 = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(a_2 = \\dfrac{4}{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności algebraicznie\nSzukamy wszystkich \\(n \\in \\mathbb{N}_+\\), dla których \\(a_n > \\dfrac{1}{2}\\):\n\\[\\dfrac{n+2}{3n+1} > \\dfrac{1}{2}\\]\n\nMianownik \\(3n+1 > 0\\) dla każdego \\(n \\ge 1\\), więc mnożymy bez zmiany znaku:\n\\[2(n+2) > 3n+1\\]\n\\[2n+4 > 3n+1\\]\n\\[3 > n\\]\n\\[n < 3.\\]\n\nDla \\(n \\in \\mathbb{N}_+\\): \\(n = 1\\) lub \\(n = 2\\).\n\n**Wartości:**\n\\[a_1 = \\dfrac{1+2}{3\\cdot 1+1} = \\dfrac{3}{4}, \\quad a_2 = \\dfrac{2+2}{3\\cdot 2+1} = \\dfrac{4}{7}.\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5\\) ✓; \\(\\dfrac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie metodą różnicy\nZapisujemy:\n\\[a_n - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{n+2}{3n+1} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2(n+2) - (3n+1)}{2(3n+1)} = \\dfrac{3-n}{2(3n+1)}.\\]\n\nMianownik \\(2(3n+1) > 0\\) dla każdego \\(n \\ge 1\\), więc znak wyrażenia zależy od licznika:\n\\[a_n > \\dfrac{1}{2} \\iff 3 - n > 0 \\iff n < 3.\\]\n\nStąd \\(n \\in \\{1, 2\\}\\).\n\n### Sposób 3 - Obliczeniowy (sprawdzanie kolejnych wyrazów)\n\\[a_1 = \\dfrac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5 \\checkmark\\]\n\\[a_2 = \\dfrac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5 \\checkmark\\]\n\\[a_3 = \\dfrac{5}{10} = 0{,}5 \\text{ (nie większe)} ✗\\]\n\\[a_4 = \\dfrac{6}{13} \\approx 0{,}462 < 0{,}5 ✗\\]\n\nCiąg jest malejący dla \\(n \\ge 1\\) (sprawdzenie przez różnicę wyrazów). Wyrazy większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) to tylko \\(a_1\\) i \\(a_2\\).\n\n### Uwaga dydaktyczna\nGranica ciągu: \\(\\lim_{n\\to\\infty} \\dfrac{n+2}{3n+1} = \\dfrac{1}{3} < \\dfrac{1}{2}\\), więc od pewnego \\(n\\) wszystkie wyrazy są mniejsze niż \\(\\dfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"ciagi","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (4 pkt)
Dany jest ciąg (
)
n
a
, gdzie
3
,2
,1
dla
1
3
2
n
n
n
an
Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu
większe od 2
1 .

\n

4
Arkusz I
Dany jest ciąg (a_n), gdzie a_n={n+2 / 3n+1} dla n=1,2,3... Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od {1/2}

","answer_text_html":"

2.1
Zapisanie nierówności:
2
1
1
3
2 〉
n
n
1 p
2.2
Przekształcenie nierówności do postaci liniowej
lub iloczynowej:
3
〈
n
lub (
)(
)
0
1
3
3
2
〉
n
n
1 p
2.3
Rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych:
n = 1 lub n = 2
1 p
2
2.4
Sformułowanie odpowiedzi:
7
4
,
4
3
2
1
a
a
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(a_2 = \\dfrac{4}{7}\\)

\n

Szukamy wszystkich \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots\\}\\) takich, że \\(a_n > \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności algebraicznie

\n

Cel: znaleźć dla jakich \\(n\\) zachodzi \\(\\dfrac{n+2}{3n+1} > \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Krok 1. Zauważamy, że dla każdego \\(n \\geq 1\\) mianownik \\(3n + 1 > 0\\), więc możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony nierówności przez \\(2(3n+1)\\) bez zmiany kierunku:

\n

\\[2(n+2) > 3n+1\\]

\n

Krok 2. Rozwijamy i upraszczamy:

\n

\\[2n + 4 > 3n + 1\\]

\n

\\[4 - 1 > 3n - 2n\\]

\n

\\[3 > n\\]

\n

\\[n < 3\\]

\n

Krok 3. Ponieważ \\(n\\) jest naturalnym indeksem (\\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)), warunek \\(n < 3\\) spełniają dokładnie \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\).

\n

Krok 4. Obliczamy te wyrazy:

\n

\\[a_1 = \\frac{1+2}{3 \\cdot 1 + 1} = \\frac{3}{4}\\]

\n

\\[a_2 = \\frac{2+2}{3 \\cdot 2 + 1} = \\frac{4}{7}\\]

\n

Odpowiedź: Jedyne wyrazy większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) to \\(\\boldsymbol{a_1 = \\dfrac{3}{4}}\\) i \\(\\boldsymbol{a_2 = \\dfrac{4}{7}}\\).

\n

Sposób 2 - Analiza monotoniczności + weryfikacja przy \\(n = 3\\)

\n

Obserwacja: Sprawdźmy, czy ciąg jest malejący. Liczymy \\(a_{n+1} - a_n\\):

\n

\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{(n+1)+2}{3(n+1)+1} - \\frac{n+2}{3n+1} = \\frac{n+3}{3n+4} - \\frac{n+2}{3n+1}\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\n

\\[= \\frac{(n+3)(3n+1) - (n+2)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}\\]

\n

Licznik:

\n

\\[(3n^2 + 10n + 3) - (3n^2 + 10n + 8) = -5\\]

\n

Zatem:

\n

\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{-5}{(3n+4)(3n+1)} < 0 \\quad \\text{dla każdego } n \\geq 1\\]

\n

Wniosek: ciąg jest ściśle malejący. Wystarczy więc znaleźć pierwszy wyraz, który przestaje być \\(> \\dfrac{1}{2}\\), i wiemy, że wszystkie kolejne też nie będą.

\n

Sprawdzamy \\(a_3\\):

\n

\\[a_3 = \\frac{3+2}{3 \\cdot 3 + 1} = \\frac{5}{10} = \\frac{1}{2}\\]

\n

\\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\) - nie jest większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) (warunek jest ostry: \\(>\\)).

\n

Ponieważ ciąg jest malejący i \\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\), to dla wszystkich \\(n \\geq 3\\) mamy \\(a_n \\leq \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Pozostaje sprawdzić \\(a_1\\) i \\(a_2\\):

\n

\\[a_1 = \\frac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]

\n

\\[a_2 = \\frac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]

\n

Odpowiedź potwierdzona: tylko \\(a_1\\) i \\(a_2\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie korzystamy z żadnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia nierówności i działania arytmetyczne na ułamkach. Pojęcie ciągu ogólnego (wzór na \\(n\\)-ty wyraz) jest definicją, nie wzorem z karty.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie zawierające zmienną, trzeba sprawdzić jego znak! Tutaj \\(3n+1 > 0\\) zawsze - ale gdyby mogło być ujemne, kierunek nierówności by się odwrócił.
\n
⚠️ Uwaga: \\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\) - dokładnie połowa, nie spełnia warunku \\(> \\dfrac{1}{2}\\). Nierówność jest ostra. Łatwo tu popełnić błąd i zaliczyć \\(a_3\\) do odpowiedzi.
\n
⚠️ Uwaga: Ciąg jest nieskończony, więc nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów "na oko" - trzeba rozwiązać nierówność ogólnie (jak w Sposobie 1) lub uzasadnić monotoniczność (jak w Sposobie 2), żeby mieć pewność, że nie ma "dalszych" wyrazów większych od \\(\\dfrac{1}{2}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(a_2 = \\dfrac{4}{7}\\)

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności algebraicznie
\n

Szukamy wszystkich \\(n \\in \\mathbb{N}_+\\), dla których \\(a_n > \\dfrac{1}{2}\\):
\\[\\dfrac{n+2}{3n+1} > \\dfrac{1}{2}\\]

\n

Mianownik \\(3n+1 > 0\\) dla każdego \\(n \\ge 1\\), więc mnożymy bez zmiany znaku:
\\[2(n+2) > 3n+1\\]
\\[2n+4 > 3n+1\\]
\\[3 > n\\]
\\[n < 3.\\]

\n

Dla \\(n \\in \\mathbb{N}_+\\): \\(n = 1\\) lub \\(n = 2\\).

\n

Wartości:
\\[a_1 = \\dfrac{1+2}{3\\cdot 1+1} = \\dfrac{3}{4}, \\quad a_2 = \\dfrac{2+2}{3\\cdot 2+1} = \\dfrac{4}{7}.\\]

\n

Sprawdzenie: \\(\\dfrac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5\\) ✓; \\(\\dfrac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Rozwiązanie metodą różnicy
\n

Zapisujemy:
\\[a_n - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{n+2}{3n+1} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2(n+2) - (3n+1)}{2(3n+1)} = \\dfrac{3-n}{2(3n+1)}.\\]

\n

Mianownik \\(2(3n+1) > 0\\) dla każdego \\(n \\ge 1\\), więc znak wyrażenia zależy od licznika:
\\[a_n > \\dfrac{1}{2} \\iff 3 - n > 0 \\iff n < 3.\\]

\n

Stąd \\(n \\in \\{1, 2\\}\\).

\n
Sposób 3 - Obliczeniowy (sprawdzanie kolejnych wyrazów)
\n

\\[a_1 = \\dfrac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5 \\checkmark\\]
\\[a_2 = \\dfrac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5 \\checkmark\\]
\\[a_3 = \\dfrac{5}{10} = 0{,}5 \\text{ (nie większe)} ✗\\]
\\[a_4 = \\dfrac{6}{13} \\approx 0{,}462 < 0{,}5 ✗\\]

\n

Ciąg jest malejący dla \\(n \\ge 1\\) (sprawdzenie przez różnicę wyrazów). Wyrazy większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) to tylko \\(a_1\\) i \\(a_2\\).

\n
Uwaga dydaktyczna
\n

Granica ciągu: \\(\\lim_{n\\to\\infty} \\dfrac{n+2}{3n+1} = \\dfrac{1}{3} < \\dfrac{1}{2}\\), więc od pewnego \\(n\\) wszystkie wyrazy są mniejsze niż \\(\\dfrac{1}{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_1 = \\dfrac{3}{4}$, $a_2 = \\dfrac{4}{7}$

"}]}