{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n4.\nW x\nx\nkx\na) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny\nprzez dwumian\n2\nx\nb) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego\npierwiastki.\n\n5\nArkusz I\nDany jest wielomian W(x)=x^3+kx^2-4 a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x+2. b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki.","answer":null,"answer_text":"3.1\nWykorzystanie podzielności wielomianu przez dwu-\nmian\n2\nx +\nnp.\n( 2)\n0\nW -\nlub podzielenie wielomianu\n( )\nW x przez dwumian\n2\nx +\n1 p\n3.2\nWyznaczenie k :\n3\nk\n1 p\n3.3\nRozłożenie wielomianu na czynniki:\n( )\n(\n)(\n)\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nW\n1 p\n3\n3.4\nPodanie pierwiastków wielomianu:\n1\n,2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(k = 3\\)\n\n**b)** \\(W(x) = (x+2)^2(x-1)\\); pierwiastki: \\(x_1 = x_2 = -2\\), \\(x_3 = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta + dzielenie wielomianów\n\n### Część a) - wyznaczenie k\n\n**Twierdzenie Bézouta** mówi: wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\((x - a)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(a) = 0\\).\n\nDwumian \\(x + 2 = x - (-2)\\), więc \\(a = -2\\). Podstawiamy:\n\n\\[W(-2) = 0\\]\n\\[(-2)^3 + k \\cdot (-2)^2 - 4 = 0\\]\n\\[-8 + 4k - 4 = 0\\]\n\\[4k = 12\\]\n\\[\\boxed{k = 3}\\]\n\n### Część b) - rozkład na czynniki\n\nMamy teraz \\(W(x) = x^3 + 3x^2 - 4\\). Wiemy, że \\((x+2)\\) jest czynnikiem - dzielimy przez \\((x+2)\\) z użyciem schematu Hornera lub długiego dzielenia:\n\n\\[x^3 + 3x^2 + 0x - 4 = (x+2) \\cdot Q(x)\\]\n\nDzielenie:\n\n\\[x^3 + 3x^2 - 4 \\div (x+2)\\]\n\n| | \\(1\\) | \\(3\\) | \\(0\\) | \\(-4\\) |\n| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-2\\) | \\(-2\\) | \\(4\\) |\n| wynik | \\(1\\) | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz: \\(Q(x) = x^2 + x - 2\\)\n\nRozkładamy trójmian kwadratowy \\(x^2 + x - 2\\):\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-2) = 1 + 8 = 9\\]\n\\[x = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{9}}{2} = \\frac{-1 \\pm 3}{2}\\]\n\\[x_1 = \\frac{-1 - 3}{2} = -2, \\qquad x_2 = \\frac{-1 + 3}{2} = 1\\]\n\nStąd: \\(x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)\\)\n\n**Pełny rozkład:**\n\\[\\boxed{W(x) = (x+2)^2(x-1)}\\]\n\n**Pierwiastki:** \\(x_1 = x_2 = -2\\) (pierwiastek podwójny), \\(x_3 = 1\\)\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera do wyznaczenia k i weryfikacja\n\n### Część a) - schemat Hornera\n\nZamiast podstawiać, można od razu użyć schematu Hornera dla \\(a = -2\\) i \\(W(x) = x^3 + kx^2 + 0x - 4\\). Warunek podzielności to: reszta \\(= 0\\).\n\n| | \\(1\\) | \\(k\\) | \\(0\\) | \\(-4\\) |\n| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-2\\) | \\(-2(k-2)\\) | \\(2(k-2) \\cdot 2\\) |\n| wynik | \\(1\\) | \\(k-2\\) | \\(-2k+4\\) | reszta |\n\nReszta:\n\\[-4 + (-2) \\cdot (-2k + 4) = -4 + 4k - 8 = 4k - 12\\]\n\nWarunek: \\(4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3\\) ✓\n\n### Weryfikacja rozkładu\n\nSprawdzamy przez wymnożenie:\n\\[(x+2)^2(x-1) = (x^2 + 4x + 4)(x-1)\\]\n\\[= x^3 - x^2 + 4x^2 - 4x + 4x - 4\\]\n\\[= x^3 + 3x^2 - 4\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w obu Sposobach do rozkładu ilorazu \\(x^2 + x - 2\\).\n\n> **Uwaga:** Twierdzenie Bézouta nie jest wprost zapisane na karcie CKE, ale jest standardowym faktem z zakresu matury - warto je znać na pamięć: *\"Jeśli \\(W(a) = 0\\), to \\((x-a)\\) dzieli \\(W(x)\\)\"*.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwumian \\(x + 2\\) odpowiada \\(a = -2\\), nie \\(a = 2\\)! Podstawienie \\(W(2) = 0\\) to jeden z najczęstszych błędów - pamiętaj: \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podzieleniu i znalezieniu \\(Q(x) = x^2 + x - 2\\) uczniowie często zapominają, że jeden z pierwiastków \\(Q(x)\\) wynosi znowu \\(-2\\) - stąd pierwiastek podwójny. Warto to sprawdzić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(W(x) = (x+2)(x-1)(x+2)\\) i \\(W(x) = (x+2)^2(x-1)\\) to to samo - zawsze zbierz powtarzające się czynniki w potęgę, bo zadanie często pyta o **krotność** pierwiastka.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(k = 3\\); \\(W(x) = (x-1)(x+2)^{2}\\); pierwiastki \\(x = -2\\) (podwójny) oraz \\(x = 1\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta\n**a) Wyznaczenie \\(k\\):**\nWielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\(x+2\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(-2) = 0\\):\n\\[W(-2) = (-2)^{3} + k\\cdot(-2)^{2} - 4 = -8 + 4k - 4 = 4k - 12.\\]\n\\[4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3.\\]\n\n**b) Rozkład dla \\(k = 3\\):**\n\\(W(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4\\). Wiemy już, że \\((x+2)\\) jest dzielnikiem. Dzielimy:\n\\[(x^{3} + 3x^{2} - 4) : (x+2) = x^{2} + x - 2.\\]\n\nPrzykładowe dzielenie pisemne:\n- \\(x^{3} : x = x^{2}\\); \\(x^{2}\\cdot(x+2) = x^{3}+2x^{2}\\); reszta: \\(x^{2} - 4\\).\n- \\(x^{2} : x = x\\); \\(x(x+2) = x^{2}+2x\\); reszta: \\(-2x - 4\\).\n- \\(-2x : x = -2\\); \\(-2(x+2) = -2x-4\\); reszta \\(0\\).\n\nZatem \\(W(x) = (x+2)(x^{2}+x-2)\\).\n\nRozkładamy \\(x^{2}+x-2\\): \\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\):\n\\[x = \\dfrac{-1\\pm 3}{2} \\Rightarrow x = 1 \\text{ lub } x = -2.\\]\n\nStąd \\(x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2)\\) i ostatecznie:\n\\[W(x) = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1)(x+2)^{2}.\\]\n\n**Pierwiastki:** \\(x_1 = x_2 = -2\\) (podwójny), \\(x_3 = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Schemat Hornera\n**a)** Dla \\(W(x) = x^{3} + kx^{2} + 0\\cdot x - 4\\) i \\(c = -2\\):\n| | 1 | k | 0 | -4 |\n| -2 | 1 | k-2 | -2(k-2) | -2(-2(k-2)) - 4 = 4k-12 |\n\nReszta = \\(4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3\\).\n\n**b)** Schemat dla \\(k = 3\\), pierwiastek \\(-2\\):\n| | 1 | 3 | 0 | -4 |\n| -2 | 1 | 1 | -2 | 0 |\n\nIloraz: \\(x^{2} + x - 2\\); dalej jak w sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Szukanie pierwiastków wymiernych\nPierwiastki wymierne \\(W(x)\\) są dzielnikami wyrazu wolnego \\(-4\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 4\\).\n\\[W(1) = 1 + k - 4 = k-3; \\quad W(-2) = 4k-12.\\]\nZ warunku \\(W(-2) = 0\\): \\(k = 3\\). Wtedy \\(W(1) = 0\\), więc \\(x = 1\\) też jest pierwiastkiem.\n\nWielomian \\(W(x) = (x-1)(x+2)(x-c)\\); porównując wyraz wolny: \\((-1)\\cdot 2\\cdot(-c) = -4 \\Rightarrow c = -2\\). Stąd podwójny pierwiastek \\(-2\\).\n\n### Weryfikacja\n\\[(x-1)(x+2)^{2} = (x-1)(x^{2}+4x+4) = x^{3}+4x^{2}+4x-x^{2}-4x-4 = x^{3}+3x^{2}-4.\\] ✓","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (4 pkt)
Dany jest wielomian
( )
3
2
4.
W x
x
kx
a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny
przez dwumian
2
x
b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego
pierwiastki.

\n

5
Arkusz I
Dany jest wielomian W(x)=x^3+kx^2-4 a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x+2. b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki.

","answer_text_html":"

3.1
Wykorzystanie podzielności wielomianu przez dwu-
mian
2
x +
np.
( 2)
0
W -
lub podzielenie wielomianu
( )
W x przez dwumian
2
x +
1 p
3.2
Wyznaczenie k :
3
k
1 p
3.3
Rozłożenie wielomianu na czynniki:
( )
(
)(
)
2
2
1
x
x
x
W
1 p
3
3.4
Podanie pierwiastków wielomianu:
1
,2
3
2
1
x
x
x
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(k = 3\\)

\n

b) \\(W(x) = (x+2)^2(x-1)\\); pierwiastki: \\(x_1 = x_2 = -2\\), \\(x_3 = 1\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta + dzielenie wielomianów

\n
Część a) - wyznaczenie k
\n

Twierdzenie Bézouta mówi: wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\((x - a)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(a) = 0\\).

\n

Dwumian \\(x + 2 = x - (-2)\\), więc \\(a = -2\\). Podstawiamy:

\n

\\[W(-2) = 0\\]
\\[(-2)^3 + k \\cdot (-2)^2 - 4 = 0\\]
\\[-8 + 4k - 4 = 0\\]
\\[4k = 12\\]
\\[\\boxed{k = 3}\\]

\n
Część b) - rozkład na czynniki
\n

Mamy teraz \\(W(x) = x^3 + 3x^2 - 4\\). Wiemy, że \\((x+2)\\) jest czynnikiem - dzielimy przez \\((x+2)\\) z użyciem schematu Hornera lub długiego dzielenia:

\n

\\[x^3 + 3x^2 + 0x - 4 = (x+2) \\cdot Q(x)\\]

\n

Dzielenie:

\n

\\[x^3 + 3x^2 - 4 \\div (x+2)\\]

\n

| | \\(1\\) | \\(3\\) | \\(0\\) | \\(-4\\) |
| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-2\\) | \\(-2\\) | \\(4\\) |
| wynik | \\(1\\) | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) |

\n

Iloraz: \\(Q(x) = x^2 + x - 2\\)

\n

Rozkładamy trójmian kwadratowy \\(x^2 + x - 2\\):
\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-2) = 1 + 8 = 9\\]
\\[x = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{9}}{2} = \\frac{-1 \\pm 3}{2}\\]
\\[x_1 = \\frac{-1 - 3}{2} = -2, \\qquad x_2 = \\frac{-1 + 3}{2} = 1\\]

\n

Stąd: \\(x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)\\)

\n

Pełny rozkład:
\\[\\boxed{W(x) = (x+2)^2(x-1)}\\]

\n

Pierwiastki: \\(x_1 = x_2 = -2\\) (pierwiastek podwójny), \\(x_3 = 1\\)

\n

Sposób 2 - Schemat Hornera do wyznaczenia k i weryfikacja

\n
Część a) - schemat Hornera
\n

Zamiast podstawiać, można od razu użyć schematu Hornera dla \\(a = -2\\) i \\(W(x) = x^3 + kx^2 + 0x - 4\\). Warunek podzielności to: reszta \\(= 0\\).

\n

| | \\(1\\) | \\(k\\) | \\(0\\) | \\(-4\\) |
| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-2\\) | \\(-2(k-2)\\) | \\(2(k-2) \\cdot 2\\) |
| wynik | \\(1\\) | \\(k-2\\) | \\(-2k+4\\) | reszta |

\n

Reszta:
\\[-4 + (-2) \\cdot (-2k + 4) = -4 + 4k - 8 = 4k - 12\\]

\n

Warunek: \\(4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3\\) ✓

\n
Weryfikacja rozkładu
\n

Sprawdzamy przez wymnożenie:
\\[(x+2)^2(x-1) = (x^2 + 4x + 4)(x-1)\\]
\\[= x^3 - x^2 + 4x^2 - 4x + 4x - 4\\]
\\[= x^3 + 3x^2 - 4\\] ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy tego w obu Sposobach do rozkładu ilorazu \\(x^2 + x - 2\\).

\n
Uwaga: Twierdzenie Bézouta nie jest wprost zapisane na karcie CKE, ale jest standardowym faktem z zakresu matury - warto je znać na pamięć: "Jeśli \\(W(a) = 0\\), to \\((x-a)\\) dzieli \\(W(x)\\)".
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dwumian \\(x + 2\\) odpowiada \\(a = -2\\), nie \\(a = 2\\)! Podstawienie \\(W(2) = 0\\) to jeden z najczęstszych błędów - pamiętaj: \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po podzieleniu i znalezieniu \\(Q(x) = x^2 + x - 2\\) uczniowie często zapominają, że jeden z pierwiastków \\(Q(x)\\) wynosi znowu \\(-2\\) - stąd pierwiastek podwójny. Warto to sprawdzić!
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(W(x) = (x+2)(x-1)(x+2)\\) i \\(W(x) = (x+2)^2(x-1)\\) to to samo - zawsze zbierz powtarzające się czynniki w potęgę, bo zadanie często pyta o krotność pierwiastka.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(k = 3\\); \\(W(x) = (x-1)(x+2)^{2}\\); pierwiastki \\(x = -2\\) (podwójny) oraz \\(x = 1\\).

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta
\n

a) Wyznaczenie \\(k\\):
Wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\(x+2\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(-2) = 0\\):
\\[W(-2) = (-2)^{3} + k\\cdot(-2)^{2} - 4 = -8 + 4k - 4 = 4k - 12.\\]
\\[4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3.\\]

\n

b) Rozkład dla \\(k = 3\\):
\\(W(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4\\). Wiemy już, że \\((x+2)\\) jest dzielnikiem. Dzielimy:
\\[(x^{3} + 3x^{2} - 4) : (x+2) = x^{2} + x - 2.\\]

\n

Przykładowe dzielenie pisemne:

\n\n

Zatem \\(W(x) = (x+2)(x^{2}+x-2)\\).

\n

Rozkładamy \\(x^{2}+x-2\\): \\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\):
\\[x = \\dfrac{-1\\pm 3}{2} \\Rightarrow x = 1 \\text{ lub } x = -2.\\]

\n

Stąd \\(x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2)\\) i ostatecznie:
\\[W(x) = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1)(x+2)^{2}.\\]

\n

Pierwiastki: \\(x_1 = x_2 = -2\\) (podwójny), \\(x_3 = 1\\).

\n
Sposób 2 - Schemat Hornera
\n

a) Dla \\(W(x) = x^{3} + kx^{2} + 0\\cdot x - 4\\) i \\(c = -2\\):
| | 1 | k | 0 | -4 |
| -2 | 1 | k-2 | -2(k-2) | -2(-2(k-2)) - 4 = 4k-12 |

\n

Reszta = \\(4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3\\).

\n

b) Schemat dla \\(k = 3\\), pierwiastek \\(-2\\):
| | 1 | 3 | 0 | -4 |
| -2 | 1 | 1 | -2 | 0 |

\n

Iloraz: \\(x^{2} + x - 2\\); dalej jak w sposobie 1.

\n
Sposób 3 - Szukanie pierwiastków wymiernych
\n

Pierwiastki wymierne \\(W(x)\\) są dzielnikami wyrazu wolnego \\(-4\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 4\\).
\\[W(1) = 1 + k - 4 = k-3; \\quad W(-2) = 4k-12.\\]
Z warunku \\(W(-2) = 0\\): \\(k = 3\\). Wtedy \\(W(1) = 0\\), więc \\(x = 1\\) też jest pierwiastkiem.

\n

Wielomian \\(W(x) = (x-1)(x+2)(x-c)\\); porównując wyraz wolny: \\((-1)\\cdot 2\\cdot(-c) = -4 \\Rightarrow c = -2\\). Stąd podwójny pierwiastek \\(-2\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\[(x-1)(x+2)^{2} = (x-1)(x^{2}+4x+4) = x^{3}+4x^{2}+4x-x^{2}-4x-4 = x^{3}+3x^{2}-4.\\] ✓

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$k = 3$, $x_1 = x_2 = -2$, $x_3 = 1$

"}]}