{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nNa trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach\ngórnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją\n24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.\n\n6\nArkusz I\nNa trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.","answer":null,"answer_text":"4.1\nWprowadzenie oznaczeń wskazujących, że liczby two-\nrzą ciąg geometryczny,\nnp. x - liczba płyt ustawionych na górnej półce, gdzie\n∈\n〈\nN\nx\ni\nx 24\n24- liczba płyt ustawionych na środkowej półce,\nx\n24\n24⋅\n- liczba płyt ustawionych na dolnej półce\n1 p\n4.2\nWykorzystanie sumy trzech wyrazów ciągu geome-\ntrycznego i ułożenie równania z niewiadomą x:\n76\n576\n24\nx\nx\n(*)\n1 p\n4.3\nPrzekształcenie równania (*) do postaci\n(**):\n0\n576\n52\n2\nx\nx\n(**)\n1 p\n4.4\nRozwiązanie równania (**):\n36\n,\n16\n2\n1\nx\nx\n1 p\n4\n4.5\nZapisanie odpowiedzi zgodnie z warunkami zadania.\nNa górnej półce jest 16 płyt, zaś na dolnej półce jest\nich 36.\n1 p\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nNa górnej półce: **16 płyt**, na dolnej półce: **36 płyt**.\n\n## Sposób 1 - Układ równań z własnościami ciągu geometrycznego\n\n**Co wiemy:**\n- Trzy liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny: \\(a_1, a_2, a_3\\)\n- Środkowy wyraz: \\(a_2 = 24\\)\n- Suma wszystkich: \\(a_1 + a_2 + a_3 = 76\\)\n\n**Krok 1: Oznaczenia**\n\nNiech wyraz środkowy to \\(a_2 = 24\\), a iloraz ciągu to \\(q\\). Wtedy:\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{24}{q}, \\quad a_3 = a_2 \\cdot q = 24q\\]\n\n**Krok 2: Skorzystaj z sumy**\n\n\\[\\frac{24}{q} + 24 + 24q = 76\\]\n\nOdejmij 24 od obu stron:\n\\[\\frac{24}{q} + 24q = 52\\]\n\nPodziel przez 4:\n\\[\\frac{6}{q} + 6q = 13\\]\n\nPomnóż obustronnie przez \\(q\\) (zakładamy \\(q \\neq 0\\)):\n\\[6 + 6q^2 = 13q\\]\n\\[6q^2 - 13q + 6 = 0\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż równanie kwadratowe**\n\n\\[\\Delta = (-13)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 6 = 169 - 144 = 25\\]\n\\[q_{1,2} = \\frac{13 \\pm \\sqrt{25}}{12} = \\frac{13 \\pm 5}{12}\\]\n\n\\[q_1 = \\frac{18}{12} = \\frac{3}{2}, \\quad q_2 = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 4: Wybierz właściwe \\(q\\)**\n\nCiąg ma być **rosnący**, więc \\(q > 1\\). Zatem **\\(q = \\frac{3}{2}\\)**.\n\n**Krok 5: Oblicz wyrazy**\n\n\\[a_1 = \\frac{24}{q} = \\frac{24}{\\frac{3}{2}} = 24 \\cdot \\frac{2}{3} = 16\\]\n\\[a_3 = 24 \\cdot \\frac{3}{2} = 36\\]\n\n**Wynik: górna półka - 16 płyt, dolna półka - 36 płyt.**\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\n**Kluczowa własność:** W ciągu geometrycznym wyraz środkowy jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\n**Krok 1: Zapisz układ równań**\n\n\\[\\begin{cases} a_1 \\cdot a_3 = a_2^2 = 24^2 = 576 \\\\ a_1 + a_3 = 76 - 24 = 52 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż układ**\n\nMamy sumę i iloczyn - to są wzory Viète'a! Liczby \\(a_1\\) i \\(a_3\\) są pierwiastkami równania:\n\\[t^2 - 52t + 576 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 52^2 - 4 \\cdot 576 = 2704 - 2304 = 400\\]\n\\[t_{1,2} = \\frac{52 \\pm \\sqrt{400}}{2} = \\frac{52 \\pm 20}{2}\\]\n\n\\[t_1 = \\frac{72}{2} = 36, \\quad t_2 = \\frac{32}{2} = 16\\]\n\n**Krok 3: Przyporządkowanie**\n\nCiąg jest **rosnący**, więc mniejsza wartość jest na górnej półce:\n\\[a_1 = 16, \\quad a_3 = 36\\]\n\n**Wynik: górna półka - 16 płyt, dolna półka - 36 płyt.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWłasność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów.\n\nWzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyrażenia \\(a_1\\) i \\(a_3\\) przez \\(q\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[t_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nWzory Viète'a:\n\\[t_1 + t_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad t_1 \\cdot t_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy ich w obu sposobach przy rozwiązywaniu równania kwadratowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi, że ciąg jest **rosnący** - to eliminuje rozwiązanie \\(q = \\frac{2}{3}\\) w Sposobie 1 oraz zamienia kolejność wyrazów w Sposobie 2. Bez tego warunku mielibyśmy dwa rozwiązania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która półka jest górna (mniejsza liczba płyt), a która dolna (większa). Skoro ciąg jest rosnący i zaczyna się od góry, górna = 16, dolna = 36.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2, gdy zapisujesz \\(a_1 + a_3 = 52\\), pamiętaj odejmować \\(a_2 = 24\\) od sumy 76, nie mnożyć! Częsty błąd to zostawienie 76 zamiast 52.\n\n**Poprawna odpowiedź:** półka górna - \\(16\\) płyt, półka dolna - \\(36\\) płyt.\n\n### Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (zmienna = górna półka)\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba płyt na półce górnej (\\(x \\in \\mathbb{N}_+\\), \\(x < 24\\) bo ciąg rosnący),\n- \\(24\\) - środkowa półka,\n- liczba płyt na półce dolnej wynika z warunku ciągu geometrycznego.\n\nDla ciągu geometrycznego: \\(a_2^{2} = a_1 \\cdot a_3\\), więc:\n\\[24^{2} = x \\cdot a_3 \\Rightarrow a_3 = \\dfrac{576}{x}.\\]\n\nSuma:\n\\[x + 24 + \\dfrac{576}{x} = 76\\]\n\\[x + \\dfrac{576}{x} = 52 \\quad |\\cdot x\\]\n\\[x^{2} - 52x + 576 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 2704 - 2304 = 400\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 20\\):\n\\[x_1 = \\dfrac{52-20}{2} = 16, \\quad x_2 = \\dfrac{52+20}{2} = 36.\\]\n\nPonieważ ciąg jest **rosnący**, \\(x < 24\\), więc \\(x = 16\\).\n\nWtedy \\(a_3 = \\dfrac{576}{16} = 36\\).\n\n**Odpowiedź:** górna \\(= 16\\), dolna \\(= 36\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(16 + 24 + 36 = 76\\) ✓; iloraz \\(q = \\dfrac{24}{16} = \\dfrac{3}{2}\\); \\(24\\cdot\\dfrac{3}{2} = 36\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Równanie z ilorazem \\(q\\)\nNiech \\(q\\) - iloraz ciągu, \\(a_2 = 24\\). Wtedy \\(a_1 = \\dfrac{24}{q}\\), \\(a_3 = 24q\\).\n\nSuma:\n\\[\\dfrac{24}{q} + 24 + 24q = 76 \\quad |\\cdot q\\]\n\\[24 + 24q + 24q^{2} = 76q\\]\n\\[24q^{2} - 52q + 24 = 0 \\quad |\\div 4\\]\n\\[6q^{2} - 13q + 6 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 169 - 144 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 5\\):\n\\[q = \\dfrac{13\\pm 5}{12} \\Rightarrow q_1 = \\dfrac{3}{2}, \\quad q_2 = \\dfrac{2}{3}.\\]\n\nCiąg **rosnący** ⇒ \\(q > 1\\) ⇒ \\(q = \\dfrac{3}{2}\\).\n\n\\[a_1 = \\dfrac{24}{3/2} = 16, \\quad a_3 = 24\\cdot\\dfrac{3}{2} = 36.\\]\n\n### Komentarz\nPominięcie warunku „ciąg rosnący\" prowadzi do alternatywnego rozwiązania \\(x = 36\\), \\(q = \\dfrac{2}{3}\\), czyli ciągu **malejącego** \\((36, 24, 16)\\) - ten sam zestaw liczb, ale w odwrotnej kolejności.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (5 pkt)
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach
górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją
24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.

\n

6
Arkusz I
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.

","answer_text_html":"

4.1
Wprowadzenie oznaczeń wskazujących, że liczby two-
rzą ciąg geometryczny,
np. x - liczba płyt ustawionych na górnej półce, gdzie
∈
〈
N
x
i
x 24
24- liczba płyt ustawionych na środkowej półce,
x
24
24⋅

\n\n

1 p
4.2
Wykorzystanie sumy trzech wyrazów ciągu geome-
trycznego i ułożenie równania z niewiadomą x:
76
576
24
x
x
(*)
1 p
4.3
Przekształcenie równania (*) do postaci
(**):
0
576
52
2
x
x
(**)
1 p
4.4
Rozwiązanie równania (**):
36
,
16
2
1
x
x
1 p
4
4.5
Zapisanie odpowiedzi zgodnie z warunkami zadania.
Na górnej półce jest 16 płyt, zaś na dolnej półce jest
ich 36.
1 p
2

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Na górnej półce: 16 płyt, na dolnej półce: 36 płyt.

\n

Sposób 1 - Układ równań z własnościami ciągu geometrycznego

\n

Co wiemy:

\n\n

Krok 1: Oznaczenia

\n

Niech wyraz środkowy to \\(a_2 = 24\\), a iloraz ciągu to \\(q\\). Wtedy:
\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{24}{q}, \\quad a_3 = a_2 \\cdot q = 24q\\]

\n

Krok 2: Skorzystaj z sumy

\n

\\[\\frac{24}{q} + 24 + 24q = 76\\]

\n

Odejmij 24 od obu stron:
\\[\\frac{24}{q} + 24q = 52\\]

\n

Podziel przez 4:
\\[\\frac{6}{q} + 6q = 13\\]

\n

Pomnóż obustronnie przez \\(q\\) (zakładamy \\(q \\neq 0\\)):
\\[6 + 6q^2 = 13q\\]
\\[6q^2 - 13q + 6 = 0\\]

\n

Krok 3: Rozwiąż równanie kwadratowe

\n

\\[\\Delta = (-13)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 6 = 169 - 144 = 25\\]
\\[q_{1,2} = \\frac{13 \\pm \\sqrt{25}}{12} = \\frac{13 \\pm 5}{12}\\]

\n

\\[q_1 = \\frac{18}{12} = \\frac{3}{2}, \\quad q_2 = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Krok 4: Wybierz właściwe \\(q\\)

\n

Ciąg ma być rosnący, więc \\(q > 1\\). Zatem \\(q = \\frac{3}{2}\\).

\n

Krok 5: Oblicz wyrazy

\n

\\[a_1 = \\frac{24}{q} = \\frac{24}{\\frac{3}{2}} = 24 \\cdot \\frac{2}{3} = 16\\]
\\[a_3 = 24 \\cdot \\frac{3}{2} = 36\\]

\n

Wynik: górna półka - 16 płyt, dolna półka - 36 płyt.

\n

Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

Kluczowa własność: W ciągu geometrycznym wyraz środkowy jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów:
\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]

\n

Krok 1: Zapisz układ równań

\n

\\[\\begin{cases} a_1 \\cdot a_3 = a_2^2 = 24^2 = 576 \\\\ a_1 + a_3 = 76 - 24 = 52 \\end{cases}\\]

\n

Krok 2: Rozwiąż układ

\n

Mamy sumę i iloczyn - to są wzory Viète'a! Liczby \\(a_1\\) i \\(a_3\\) są pierwiastkami równania:
\\[t^2 - 52t + 576 = 0\\]

\n

\\[\\Delta = 52^2 - 4 \\cdot 576 = 2704 - 2304 = 400\\]
\\[t_{1,2} = \\frac{52 \\pm \\sqrt{400}}{2} = \\frac{52 \\pm 20}{2}\\]

\n

\\[t_1 = \\frac{72}{2} = 36, \\quad t_2 = \\frac{32}{2} = 16\\]

\n

Krok 3: Przyporządkowanie

\n

Ciąg jest rosnący, więc mniejsza wartość jest na górnej półce:
\\[a_1 = 16, \\quad a_3 = 36\\]

\n

Wynik: górna półka - 16 płyt, dolna półka - 36 płyt. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 - kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów.

\n

Wzór ogólny ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyrażenia \\(a_1\\) i \\(a_3\\) przez \\(q\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[t_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Wzory Viète'a:
\\[t_1 + t_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad t_1 \\cdot t_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy ich w obu sposobach przy rozwiązywaniu równania kwadratowego.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi, że ciąg jest rosnący - to eliminuje rozwiązanie \\(q = \\frac{2}{3}\\) w Sposobie 1 oraz zamienia kolejność wyrazów w Sposobie 2. Bez tego warunku mielibyśmy dwa rozwiązania!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, która półka jest górna (mniejsza liczba płyt), a która dolna (większa). Skoro ciąg jest rosnący i zaczyna się od góry, górna = 16, dolna = 36.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2, gdy zapisujesz \\(a_1 + a_3 = 52\\), pamiętaj odejmować \\(a_2 = 24\\) od sumy 76, nie mnożyć! Częsty błąd to zostawienie 76 zamiast 52.
\n

Poprawna odpowiedź: półka górna - \\(16\\) płyt, półka dolna - \\(36\\) płyt.

\n
Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (zmienna = górna półka)
\n

Oznaczenia:

\n\n

Dla ciągu geometrycznego: \\(a_2^{2} = a_1 \\cdot a_3\\), więc:
\\[24^{2} = x \\cdot a_3 \\Rightarrow a_3 = \\dfrac{576}{x}.\\]

\n

Suma:
\\[x + 24 + \\dfrac{576}{x} = 76\\]
\\[x + \\dfrac{576}{x} = 52 \\quad |\\cdot x\\]
\\[x^{2} - 52x + 576 = 0.\\]

\n

\\(\\Delta = 2704 - 2304 = 400\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 20\\):
\\[x_1 = \\dfrac{52-20}{2} = 16, \\quad x_2 = \\dfrac{52+20}{2} = 36.\\]

\n

Ponieważ ciąg jest rosnący, \\(x < 24\\), więc \\(x = 16\\).

\n

Wtedy \\(a_3 = \\dfrac{576}{16} = 36\\).

\n

Odpowiedź: górna \\(= 16\\), dolna \\(= 36\\).

\n

Sprawdzenie: \\(16 + 24 + 36 = 76\\) ✓; iloraz \\(q = \\dfrac{24}{16} = \\dfrac{3}{2}\\); \\(24\\cdot\\dfrac{3}{2} = 36\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Równanie z ilorazem \\(q\\)
\n

Niech \\(q\\) - iloraz ciągu, \\(a_2 = 24\\). Wtedy \\(a_1 = \\dfrac{24}{q}\\), \\(a_3 = 24q\\).

\n

Suma:
\\[\\dfrac{24}{q} + 24 + 24q = 76 \\quad |\\cdot q\\]
\\[24 + 24q + 24q^{2} = 76q\\]
\\[24q^{2} - 52q + 24 = 0 \\quad |\\div 4\\]
\\[6q^{2} - 13q + 6 = 0.\\]

\n

\\(\\Delta = 169 - 144 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 5\\):
\\[q = \\dfrac{13\\pm 5}{12} \\Rightarrow q_1 = \\dfrac{3}{2}, \\quad q_2 = \\dfrac{2}{3}.\\]

\n

Ciąg rosnący ⇒ \\(q > 1\\) ⇒ \\(q = \\dfrac{3}{2}\\).

\n

\\[a_1 = \\dfrac{24}{3/2} = 16, \\quad a_3 = 24\\cdot\\dfrac{3}{2} = 36.\\]

\n
Komentarz
\n

Pominięcie warunku „ciąg rosnący" prowadzi do alternatywnego rozwiązania \\(x = 36\\), \\(q = \\dfrac{2}{3}\\), czyli ciągu malejącego \\((36, 24, 16)\\) - ten sam zestaw liczb, ale w odwrotnej kolejności.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Na górnej półce jest 16 płyt, zaś na dolnej 36.

"}]}