{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nSklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk\nmiesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki\no 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić\nsprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy?\n\n7\nArkusz I\nSklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy? Zadanie tekstowe. Zadanie optymalizacyjne z funkcji kwadratowej. Wierzchołek funkcji kwadratowej.","answer":null,"answer_text":"5.1\nWprowadzenie oznaczeń, np.:\nx - liczba kolejnych obniżek ceny jednej kurtki,\n(\n)\nx\n60\n- zysk ze sprzedaży jednej kurtki,\n(\n)\nx\n40\n- liczba sprzedanych kurtek\n1 p\n5.2\nOkreślenie funkcji f opisującej miesięczny zysk:\n( )\n(\n)(\n)\nx\nx\nx\nf\n40\n60\nlub ( )\n2400\n20\n2\nx\nx\nx\nf\n1 p\n5.3\nWyznaczenie wartości argumentu\nw\nx , dla której funk-\ncja przyjmuje największą wartość:\n10\nw\nx\n1 p\n5\n5.4\nWyznaczenie szukanej ceny: 150 zł\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: Cena kurtki powinna wynosić **150 zł**\n\n## Sposób 1 - Funkcja kwadratowa (wzór na wierzchołek)\n\n**Wprowadzamy zmienną.** Niech \\(x\\) oznacza liczbę obniżek ceny o 1 zł. Zakładamy \\(x \\geq 0\\) i \\(x\\) całkowite (ale rozwiązujemy na \\(\\mathbb{R}\\), bo wynik i tak wyjdzie całkowity).\n\n**Ustalamy wyrażenia:**\n- Cena sprzedaży: \\(160 - x\\) [zł]\n- Liczba sprzedanych kurtek: \\(40 + x\\) [sztuk]\n- Zysk na jednej kurtce: \\((160 - x) - 100 = 60 - x\\) [zł]\n\n**Funkcja zysku miesięcznego:**\n\\[W(x) = (60 - x)(40 + x)\\]\n\n**Rozkładamy nawiasy:**\n\\[W(x) = 2400 + 60x - 40x - x^2\\]\n\\[W(x) = -x^2 + 20x + 2400\\]\n\nJest to **parabola skierowana ramionami w dół** (\\(a = -1 < 0\\)), więc ma **maksimum** w wierzchołku.\n\n**Wyznaczamy odciętą wierzchołka:**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{20}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{20}{-2} = 10\\]\n\nZatem **optymalna liczba obniżek to \\(x = 10\\)**.\n\n**Optymalna cena:**\n\\[160 - 10 = \\mathbf{150 \\text{ zł}}\\]\n\n**Maksymalny zysk miesięczny:**\n\\[W(10) = (60 - 10)(40 + 10) = 50 \\cdot 50 = \\mathbf{2500 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - Pochodna (metoda różniczkowania)\n\nMamy tę samą funkcję zysku:\n\\[W(x) = -x^2 + 20x + 2400\\]\n\n**Liczymy pochodną:**\n\\[W'(x) = -2x + 20\\]\n\n**Przyrównujemy do zera** (warunek konieczny ekstremum):\n\\[W'(x) = 0\\]\n\\[-2x + 20 = 0\\]\n\\[x = 10\\]\n\n**Sprawdzamy, czy to maksimum** (druga pochodna):\n\\[W''(x) = -2 < 0\\]\n\nPonieważ \\(W''(10) = -2 < 0\\), punkt \\(x = 10\\) jest **maksimum**.\n\n**Optymalna cena:** \\(160 - 10 = \\mathbf{150 \\text{ zł}}\\)\n**Zysk:** \\(W(10) = -(10)^2 + 20 \\cdot 10 + 2400 = -100 + 200 + 2400 = \\mathbf{2500 \\text{ zł}}\\)\n\nWyniki obu sposobów są zgodne. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** - parabola skierowana w dół osiąga maksimum w wierzchołku, którego odciętą wyliczyliśmy z wzoru na \\(p\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna wielomianu:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}, \\quad (ax+b)' = a, \\quad (c)' = 0\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 2** do wyznaczenia ekstremum funkcji zysku.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja zysku to NIE jest sama cena ani sam przychód - to **zysk = (cena - koszt zakupu) × liczba sztuk**. Bardzo częsty błąd to maksymalizowanie przychodu \\((160-x)(40+x)\\) zamiast zysku \\((60-x)(40+x)\\). Prowadzi to do innego \\(x\\) i błędnej ceny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek paraboli - skoro \\(a = -1 < 0\\), parabola ma ramiona skierowane **w dół**, więc wierzchołek to **maksimum**, a nie minimum. Gdybyśmy szukali minimum, ta metoda by nie działała dla tego zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x\\) to **liczba obniżek**, a szukana **cena** to \\(160 - x = 150\\) zł. Podanie \\(x = 10\\) jako odpowiedzi (bez przeliczenia na cenę) to błąd formalny na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** cena \\(150\\) zł; maksymalny zysk \\(2500\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Funkcja zysku kwadratowa, wierzchołek\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba obniżek po \\(1\\) zł (\\(x \\ge 0\\)),\n- cena sprzedaży: \\(160 - x\\) zł,\n- liczba sprzedanych sztuk: \\(40 + x\\),\n- zysk na jednej kurtce: \\((160 - x) - 100 = 60 - x\\) zł.\n\nMiesięczny zysk:\n\\[f(x) = (60 - x)(40 + x) = 2400 + 60x - 40x - x^{2} = -x^{2} + 20x + 2400.\\]\n\nFunkcja kwadratowa z \\(a = -1 < 0\\) - ramiona w dół, maksimum w wierzchołku:\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{20}{-2} = 10.\\]\n\n**Interpretacja:** \\(x = 10\\) oznacza \\(10\\) obniżek po \\(1\\) zł, cena:\n\\[160 - 10 = 150 \\text{ zł}.\\]\n\nMaksymalny zysk:\n\\[f(10) = -100 + 200 + 2400 = 2500 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = -(x^{2} - 20x) + 2400 = -(x^{2} - 20x + 100) + 100 + 2400 = -(x-10)^{2} + 2500.\\]\n\nMaksimum: \\(f(10) = 2500\\); dla \\(x = 10\\) → cena \\(150\\) zł.\n\n### Sposób 3 - Pochodna (jeśli dostępna)\n\\[f'(x) = -2x + 20 = 0 \\Rightarrow x = 10.\\]\n\\[f''(x) = -2 < 0 \\Rightarrow \\text{maksimum.}\\]\n\nCena: \\(160 - 10 = 150\\) zł.\n\n### Weryfikacja i kontrola założeń\n- Dla \\(x = 10\\): sprzedanych kurtek \\(40 + 10 = 50\\); zysk na jednej \\((150-100) = 50\\) zł; całkowity \\(50\\cdot 50 = 2500\\) zł ✓.\n- Dla \\(x = 9\\): \\(49\\cdot 51 = 2499\\) zł < \\(2500\\) ✓.\n- Dla \\(x = 11\\): \\(49\\cdot 51 = 2499\\) zł < \\(2500\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nDla obniżki większej niż \\(60\\) zł (\\(x > 60\\)) marża staje się ujemna (cena sprzedaży < cena zakupu). Dziedzina naturalna: \\(x \\in [0, 60]\\); wierzchołek \\(x = 10\\) mieści się w tym przedziale.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"optymalizacja","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (4 pkt)
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk
miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki
o 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić
sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy?

\n

7
Arkusz I
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy? Zadanie tekstowe. Zadanie optymalizacyjne z funkcji kwadratowej. Wierzchołek funkcji kwadratowej.

","answer_text_html":"

5.1
Wprowadzenie oznaczeń, np.:
x - liczba kolejnych obniżek ceny jednej kurtki,
(
)
x
60

\n\n

(
)
x
40

\n\n

1 p
5.2
Określenie funkcji f opisującej miesięczny zysk:
( )
(
)(
)
x
x
x
f
40
60
lub ( )
2400
20
2
x
x
x
f
1 p
5.3
Wyznaczenie wartości argumentu
w
x , dla której funk-
cja przyjmuje największą wartość:
10
w
x
1 p
5
5.4
Wyznaczenie szukanej ceny: 150 zł
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Cena kurtki powinna wynosić 150 zł

\n

Sposób 1 - Funkcja kwadratowa (wzór na wierzchołek)

\n

Wprowadzamy zmienną. Niech \\(x\\) oznacza liczbę obniżek ceny o 1 zł. Zakładamy \\(x \\geq 0\\) i \\(x\\) całkowite (ale rozwiązujemy na \\(\\mathbb{R}\\), bo wynik i tak wyjdzie całkowity).

\n

Ustalamy wyrażenia:

\n\n

Funkcja zysku miesięcznego:
\\[W(x) = (60 - x)(40 + x)\\]

\n

Rozkładamy nawiasy:
\\[W(x) = 2400 + 60x - 40x - x^2\\]
\\[W(x) = -x^2 + 20x + 2400\\]

\n

Jest to parabola skierowana ramionami w dół (\\(a = -1 < 0\\)), więc ma maksimum w wierzchołku.

\n

Wyznaczamy odciętą wierzchołka:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{20}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{20}{-2} = 10\\]

\n

Zatem optymalna liczba obniżek to \\(x = 10\\).

\n

Optymalna cena:
\\[160 - 10 = \\mathbf{150 \\text{ zł}}\\]

\n

Maksymalny zysk miesięczny:
\\[W(10) = (60 - 10)(40 + 10) = 50 \\cdot 50 = \\mathbf{2500 \\text{ zł}}\\]

\n

Sposób 2 - Pochodna (metoda różniczkowania)

\n

Mamy tę samą funkcję zysku:
\\[W(x) = -x^2 + 20x + 2400\\]

\n

Liczymy pochodną:
\\[W'(x) = -2x + 20\\]

\n

Przyrównujemy do zera (warunek konieczny ekstremum):
\\[W'(x) = 0\\]
\\[-2x + 20 = 0\\]
\\[x = 10\\]

\n

Sprawdzamy, czy to maksimum (druga pochodna):
\\[W''(x) = -2 < 0\\]

\n

Ponieważ \\(W''(10) = -2 < 0\\), punkt \\(x = 10\\) jest maksimum.

\n

Optymalna cena: \\(160 - 10 = \\mathbf{150 \\text{ zł}}\\)
Zysk: \\(W(10) = -(10)^2 + 20 \\cdot 10 + 2400 = -100 + 200 + 2400 = \\mathbf{2500 \\text{ zł}}\\)

\n

Wyniki obu sposobów są zgodne. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - parabola skierowana w dół osiąga maksimum w wierzchołku, którego odciętą wyliczyliśmy z wzoru na \\(p\\).

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - pochodna wielomianu:
\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}, \\quad (ax+b)' = a, \\quad (c)' = 0\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia ekstremum funkcji zysku.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Funkcja zysku to NIE jest sama cena ani sam przychód - to zysk = (cena - koszt zakupu) × liczba sztuk. Bardzo częsty błąd to maksymalizowanie przychodu \\((160-x)(40+x)\\) zamiast zysku \\((60-x)(40+x)\\). Prowadzi to do innego \\(x\\) i błędnej ceny.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kierunek paraboli - skoro \\(a = -1 < 0\\), parabola ma ramiona skierowane w dół, więc wierzchołek to maksimum, a nie minimum. Gdybyśmy szukali minimum, ta metoda by nie działała dla tego zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(x\\) to liczba obniżek, a szukana cena to \\(160 - x = 150\\) zł. Podanie \\(x = 10\\) jako odpowiedzi (bez przeliczenia na cenę) to błąd formalny na egzaminie.
\n

Poprawna odpowiedź: cena \\(150\\) zł; maksymalny zysk \\(2500\\) zł.

\n
Sposób 1 - Funkcja zysku kwadratowa, wierzchołek
\n

Oznaczenia:

\n\n

Miesięczny zysk:
\\[f(x) = (60 - x)(40 + x) = 2400 + 60x - 40x - x^{2} = -x^{2} + 20x + 2400.\\]

\n

Funkcja kwadratowa z \\(a = -1 < 0\\) - ramiona w dół, maksimum w wierzchołku:
\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{20}{-2} = 10.\\]

\n

Interpretacja: \\(x = 10\\) oznacza \\(10\\) obniżek po \\(1\\) zł, cena:
\\[160 - 10 = 150 \\text{ zł}.\\]

\n

Maksymalny zysk:
\\[f(10) = -100 + 200 + 2400 = 2500 \\text{ zł}.\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

\\[f(x) = -(x^{2} - 20x) + 2400 = -(x^{2} - 20x + 100) + 100 + 2400 = -(x-10)^{2} + 2500.\\]

\n

Maksimum: \\(f(10) = 2500\\); dla \\(x = 10\\) → cena \\(150\\) zł.

\n
Sposób 3 - Pochodna (jeśli dostępna)
\n

\\[f'(x) = -2x + 20 = 0 \\Rightarrow x = 10.\\]
\\[f''(x) = -2 < 0 \\Rightarrow \\text{maksimum.}\\]

\n

Cena: \\(160 - 10 = 150\\) zł.

\n
Weryfikacja i kontrola założeń
\n\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Dla obniżki większej niż \\(60\\) zł (\\(x > 60\\)) marża staje się ujemna (cena sprzedaży < cena zakupu). Dziedzina naturalna: \\(x \\in [0, 60]\\); wierzchołek \\(x = 10\\) mieści się w tym przedziale.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

150 zł

"}]}