Zadanie 6. (6 pkt)
Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
{
}
:
2
3
A
x
x
〈
(
)
{
}
3
3
2
:
2
1
8
13
6
3
B
x
x
x
x
x
≤
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory
,
, B
A
B
A ∩
oraz
A
B -
8
Arkusz I
Dane są zbiory liczb rzeczywistych. A={x:|x+2|<3}, B={x:(2x-1)^3 8x^3-13x^2+6x+3 } Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, AuB, oraz B-A.
6.1
Rozwiązanie nierówności:
3
2 〈
x
i wyznaczenie
zbioru A
(w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia):
(
)1;5
A
2 p
6.2
Rozwiązanie nierówności:
(
)
3
6
13
8
1
2
2
3
3
≤
x
x
x
x
i wyznaczenie zbioru B:
2;2
B
(w tym 1 p. za doprowadzenie nierówności do postaci
2
4
x ≤
oraz 1 p. za rozwiązanie otrzymanej nierówno-
ści kwadratowej
2 p
6.3
Wyznaczenie zbioru
B
A ∩
:
)1;2
∩B
A
1 p
6
6.4
Wyznaczenie zbioru
A
B -
:
2;1
-A
B
1 p
\\(A = (-5,\\, 1)\\), \\(B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle\\), \\(A \\cap B = \\langle -2,\\, 1 \\rangle\\), \\(B - A = \\langle 1,\\, 2 \\rangle\\)
\nZ karty wzorów (dział 1): \\(|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\)
\nTutaj \\(a = -2\\), \\(r = 3\\):
\\[-2 - 3 < x < -2 + 3\\]
\\[\\boxed{A = (-5,\\, 1)}\\]
Krok 1. Rozwiń lewą stronę wzorem \\((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\) (dział 6, s. 7):
\\[(2x-1)^3 = 8x^3 - 3 \\cdot 4x^2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 2x \\cdot 1 - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\\]
Krok 2. Przenieś lewą stronę na prawą (odejmij \\((2x-1)^3\\) od obu stron):
\\[0 \\leq (8x^3 - 13x^2 + 6x + 3) - (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1)\\]
\\[0 \\leq -x^2 + 4\\]
Krok 3. Rozwiąż nierówność kwadratową:
\\[x^2 - 4 \\leq 0\\]
\\[(x-2)(x+2) \\leq 0\\]
Iloczyn \\(\\leq 0\\) gdy czynniki mają różne znaki (lub jeden = 0):
\n| Przedział | \\(x-2\\) | \\(x+2\\) | iloczyn |
| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) | \\(-\\) lub \\(0\\) | \\(+\\) lub \\(0\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
\\[\\boxed{B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle}\\]
\n\\[A = (-5,\\, 1), \\quad B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle\\]
\nCzęść wspólna to liczby należące do obu zbiorów jednocześnie. Patrzymy na oś liczbową:
\n\\[A \\cap B = \\langle -2,\\, 1)\\]
\nLewa granica: \\(-2\\) należy do \\(B\\) (nawias ostrokątny domknięty) i należy do \\(A\\) (bo \\(-2 \\in (-5,1)\\)), więc \\(-2\\) jest w zbiorze → nawias domknięty.
\nPrawa granica: \\(1\\) nie należy do \\(A\\) (bo \\(A\\) jest otwarty z prawej) → nawias otwarty.
\n\\[\\boxed{A \\cap B = \\langle -2,\\, 1 \\rangle}\\]
\n\\(B - A\\) to elementy należące do \\(B\\), ale nie należące do \\(A\\):
\\[B - A = \\{x : x \\in B \\text{ i } x \\notin A\\}\\]
\\(x \\notin A\\) oznacza \\(x \\leq -5\\) lub \\(x \\geq 1\\).
\nŁączymy z warunkiem \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\):
\n\\[\\boxed{B - A = \\langle 1,\\, 2 \\rangle}\\]
\nZamiast rozwijać \\((2x-1)^3\\), zauważamy, że prawą stronę można zapisać jako:
\\[8x^3 - 13x^2 + 6x + 3 = (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) + (-x^2 + 4) = (2x-1)^3 + (4 - x^2)\\]
Wtedy nierówność przyjmuje postać:
\\[(2x-1)^3 \\leq (2x-1)^3 + (4 - x^2)\\]
Odejmujemy \\((2x-1)^3\\) od obu stron:
\\[0 \\leq 4 - x^2\\]
\\[x^2 \\leq 4\\]
\\[|x| \\leq 2\\]
Stąd bezpośrednio (dział 1, własność \\(|x| \\leq r \\iff -r \\leq x \\leq r\\)):
\\[B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle\\]
Ten sposób jest szybszy - nie trzeba mozolnie mnożyć sześcianu.
\nDział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)
\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]
\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]
Użyliśmy do rozwiązania nierówności definiującej zbiór \\(A\\). Tutaj \\(a = -2\\), \\(r = 3\\).
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)
\\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]
Użyliśmy do rozwinięcia \\((2x-1)^3\\) w Sposobie 1.
⚠️ Uwaga: Przy \\(|x+2| < 3\\) łatwo pomylić kierunek nierówności - pamiętaj, że wynik to przedział otwarty \\((-5, 1)\\), bo mamy ostry znak \\(<\\), nie \\(\\leq\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy różnicy zbiorów \\(B - A\\) uczniowie często mylą ją z \\(A - B\\) albo piszą dopełnienie. \\(B - A\\) to "co jest w \\(B\\), a nie ma w \\(A\\)" - pamiętaj o kolejności!\n
⚠️ Uwaga: Przy nierówności kwadratowej \\(x^2 \\leq 4\\) nie wolno dzielić przez \\(x^2\\) - trzeba przenieść na jedną stronę i sfaktoryzować jako \\((x-2)(x+2) \\leq 0\\), a następnie przeanalizować znaki. Pomyłka w znaku nierówności po przeniesieniu to klasyczny błąd!\n
Poprawne odpowiedzi: \\(A = (-5, 1)\\), \\(B = \\langle-2, 2\\rangle\\), \\(A\\cap B = \\langle-2, 1)\\), \\(B-A = \\langle 1, 2\\rangle\\).
\nZbiór A: \\(|x+2| < 3\\) oznacza \\(-3 < x+2 < 3\\), czyli:
\\[-3 - 2 < x < 3 - 2 \\Rightarrow -5 < x < 1.\\]
\\[A = (-5, 1).\\]
Zbiór B: Rozwijamy \\((2x-1)^{3}\\) wzorem \\((a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\\):
\\[(2x-1)^{3} = 8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1.\\]
Podstawiamy do nierówności:
\\[8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1 \\le 8x^{3} - 13x^{2} + 6x + 3\\]
\\[-12x^{2} - 1 \\le -13x^{2} + 3\\]
\\[x^{2} \\le 4\\]
\\[|x| \\le 2\\]
\\[-2 \\le x \\le 2.\\]
\\[B = \\langle-2, 2\\rangle.\\]
Przecięcie \\(A \\cap B\\): szukamy \\(x\\) spełniających obie nierówności:
\\[-5 < x < 1 \\text{ oraz } -2 \\le x \\le 2.\\]
Iloczyn logiczny: \\(-2 \\le x < 1\\), czyli:
\\[A\\cap B = \\langle-2, 1).\\]
Różnica \\(B - A\\): elementy \\(B\\) nienależące do \\(A\\):
\\[B = \\langle-2, 2\\rangle, \\quad A = (-5, 1).\\]
Usuwamy z \\(B\\) elementy należące do \\(A\\), czyli przedział \\(\\langle-2, 1)\\) (część wspólna):
\\[B - A = \\langle 1, 2\\rangle.\\]
Na osi zaznaczamy:
\nCzęść wspólna: od \\(-2\\) (z \\(B\\) - zamknięty) do \\(1\\) (z \\(A\\) - otwarty) → \\(\\langle-2, 1)\\).
\nRóżnica \\(B\\setminus A\\): elementy \\(B\\), które NIE są w \\(A\\). Punkt \\(1\\) nie należy do \\(A\\) (otwarty z prawej), ale należy do \\(B\\); punkty z przedziału \\((1, 2\\rangle\\) też tylko do \\(B\\). Razem: \\(\\langle 1, 2\\rangle\\).
\nUwaga do końca \\(1\\) w \\(B-A\\): \\(1 \\in B\\) (bo \\(1^{2} = 1 \\le 4\\)) i \\(1 \\notin A\\) (bo nierówność ostra \\(x < 1\\)). Zatem \\(1 \\in B-A\\). Końcu \\(2\\) podobnie: \\(2 \\in B\\), \\(2 \\notin A\\) (bo \\(2 > 1\\)), więc \\(2 \\in B-A\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$A \\cap B = \\langle -2; 1)$, $B - A = \\langle 1; 2 \\rangle$
"}]}