{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nW poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów,\ndotyczącego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadań domowych.\nCzas\n(w godzinach)\n1\n2\n3\n4\nLiczba\nuczniów\n5\n10\n15\n10\na) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący\nwyniki tego sondażu.\nb) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką\nuczniowie\nprzeznaczają\ndziennie\nna\nprzygotowanie zadań domowych.\nc) Oblicz\nwariancję\ni\nodchylenie\nstandardowe\nczasu\nprzeznaczonego\ndziennie\nna\nprzygotowanie\nzadań\ndomowych. Wynik podaj z dokładnością\ndo 0,01.\n\n9\nArkusz I\nW poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowywanie zadań domowych.","answer":null,"answer_text":"7.1\nNaszkicowanie diagramu:\nCzas w godzinach\n1 p\n7.2\nObliczenie średniej liczby godzin: 2,75\n1 p\n7.3\nObliczenie wariancji (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p.\nza obliczenia): 0,94\n2 p\n7\n7.4\nObliczenie odchylenia standardowego: 0,97\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Diagram słupkowy (szkic poniżej)\n**b)** Średnia \\(\\bar{x} = 2{,}75\\) h\n**c)** Wariancja \\(\\sigma^2 \\approx 0{,}94\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}97\\) h\n\n## Sposób 1 - wzory definicyjne (krok po kroku)\n\n### Dane wyjściowe\n\n| Czas \\(x_i\\) (h) | Liczba uczniów \\(n_i\\) |\n|:-:|:-:|\n| \\(1\\) | \\(5\\) |\n| \\(2\\) | \\(10\\) |\n| \\(3\\) | \\(15\\) |\n| \\(4\\) | \\(10\\) |\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 5 + 10 + 15 + 10 = 40\\]\n\n### a) Diagram słupkowy\n\nOś pozioma: czas (1, 2, 3, 4 h). Oś pionowa: liczba uczniów. Słupki o wysokościach 5, 10, 15, 10.\n\n15 | ██\n10 | ██ ██ ██\n5 | ██ ██ ██ ██\n+--+--+--+--→\n1 2 3 4 (h)\n\nSłupki muszą być równej szerokości, oddzielone, z podpisaną osią i tytułem.\n\n### b) Średnia arytmetyczna (ważona)\n\nKażdy czas \\(x_i\\) pojawia się \\(n_i\\) razy, więc liczymy **średnią ważoną**:\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3 + x_4 n_4}{n}\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{1 \\cdot 5 + 2 \\cdot 10 + 3 \\cdot 15 + 4 \\cdot 10}{40} = \\frac{5 + 20 + 45 + 40}{40} = \\frac{110}{40}\\]\n\n\\[\\boxed{\\bar{x} = 2{,}75 \\text{ h}}\\]\n\n### c) Wariancja i odchylenie standardowe\n\nWariancja to **średnia kwadratów odchyleń** od średniej. Liczymy odchylenia \\((x_i - \\bar{x})^2\\):\n\n| \\(x_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^2\\) | \\(n_i\\) | \\((x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i\\) |\n|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|\n| \\(1\\) | \\(1 - 2{,}75 = -1{,}75\\) | \\(3{,}0625\\) | \\(5\\) | \\(15{,}3125\\) |\n| \\(2\\) | \\(2 - 2{,}75 = -0{,}75\\) | \\(0{,}5625\\) | \\(10\\) | \\(5{,}6250\\) |\n| \\(3\\) | \\(3 - 2{,}75 = 0{,}25\\) | \\(0{,}0625\\) | \\(15\\) | \\(0{,}9375\\) |\n| \\(4\\) | \\(4 - 2{,}75 = 1{,}25\\) | \\(1{,}5625\\) | \\(10\\) | \\(15{,}6250\\) |\n| | | | **Suma:** | **\\(37{,}5\\)** |\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum (x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i}{n} = \\frac{37{,}5}{40} = 0{,}9375\\]\n\n\\[\\boxed{\\sigma^2 \\approx 0{,}94}\\]\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}9683\\]\n\n\\[\\boxed{\\sigma \\approx 0{,}97 \\text{ h}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór skrócony na wariancję \\(\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\)\n\nZamiast liczyć odchylenia od średniej, można użyć równoważnego wzoru:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum x_i^2 \\cdot n_i}{n} - \\bar{x}^2\\]\n\n**Krok 1** - oblicz \\(\\overline{x^2}\\) (średnią kwadratów):\n\\[\\overline{x^2} = \\frac{1^2 \\cdot 5 + 2^2 \\cdot 10 + 3^2 \\cdot 15 + 4^2 \\cdot 10}{40} = \\frac{5 + 40 + 135 + 160}{40} = \\frac{340}{40} = 8{,}5\\]\n\n**Krok 2** - odejmij kwadrat średniej:\n\\[\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2 = 8{,}5 - (2{,}75)^2 = 8{,}5 - 7{,}5625 = 0{,}9375\\]\n\n**Ten sam wynik** - wzór skrócony jest szybszy, gdy wartości \\(x_i\\) są duże lub gdy \\(\\bar{x}\\) jest ułamkiem trudnym do odejmowania.\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx \\boxed{0{,}97}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna (ważona):\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyliśmy tego w punkcie b) - wagami \\(w_i\\) są liczby uczniów \\(n_i\\).\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\nUżyliśmy (w wersji ważonej) w punkcie c) - Sposób 1.\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\n> Karta nie podaje wprost wzoru skróconego \\(\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\), ale wynika on bezpośrednio z definicji wariancji - można go wyprowadzić na egzaminie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie ma dane w formie tabelki (częstości), więc **nie wolno** liczyć średniej jako \\(\\frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\\) - to byłoby poprawne tylko, gdyby każdy czas wystąpił jednakowo często. Tutaj musimy uwzględnić **wagi** (liczby uczniów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wariancji pamiętaj dzielić przez \\(n = 40\\) (całkowita liczba uczniów), **nie** przez liczbę grup (tu: 4). Błąd podziału przez 4 zamiast 40 to jedna z najczęstszych pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sigma^2 = 0{,}9375\\) zaokrąglamy do \\(0{,}94\\) dopiero **na końcu**. Jeśli zaokrąglisz wcześniej i policzysz \\(\\sigma = \\sqrt{0{,}94}\\), dostaniesz \\(\\approx 0{,}9695\\), co zaokrąglone daje \\(0{,}97\\) - tu wychodzi dobrze, ale w ogólności zaokrąglaj tylko wynik końcowy!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(\\bar{x} = 2{,}75\\) h; \\(\\sigma^{2} \\approx 0{,}94\\); \\(\\sigma \\approx 0{,}97\\) h.\n\n### Sposób 1 - Wzory klasyczne ze średnią ważoną\n**a) Diagram słupkowy:** oś pozioma - czas (h): \\(1, 2, 3, 4\\); oś pionowa - liczba uczniów: \\(5, 10, 15, 10\\).\n\n**b) Średnia liczba godzin:**\nSuma wszystkich uczniów: \\(N = 5 + 10 + 15 + 10 = 40\\).\n\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{1\\cdot 5 + 2\\cdot 10 + 3\\cdot 15 + 4\\cdot 10}{40} = \\dfrac{5 + 20 + 45 + 40}{40} = \\dfrac{110}{40} = 2{,}75.\\]\n\n**c) Wariancja (wzór: \\(\\sigma^{2} = \\dfrac{\\sum n_i (x_i - \\bar{x})^{2}}{N}\\)):**\n\n| \\(x_i\\) | \\(n_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^{2}\\) | \\(n_i(x_i-\\bar{x})^{2}\\) |\n| 1 | 5 | \\(-1{,}75\\) | \\(3{,}0625\\) | \\(15{,}3125\\) |\n| 2 | 10 | \\(-0{,}75\\) | \\(0{,}5625\\) | \\(5{,}625\\) |\n| 3 | 15 | \\(0{,}25\\) | \\(0{,}0625\\) | \\(0{,}9375\\) |\n| 4 | 10 | \\(1{,}25\\) | \\(1{,}5625\\) | \\(15{,}625\\) |\n| **Suma** | \\(40\\) | | | \\(37{,}5\\) |\n\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{37{,}5}{40} = 0{,}9375 \\approx 0{,}94.\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}9683 \\approx 0{,}97.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skrócony dla wariancji\n\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2}.\\]\n\n\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{1^{2}\\cdot 5 + 2^{2}\\cdot 10 + 3^{2}\\cdot 15 + 4^{2}\\cdot 10}{40} = \\dfrac{5 + 40 + 135 + 160}{40} = \\dfrac{340}{40} = 8{,}5.\\]\n\n\\[\\bar{x}^{2} = 2{,}75^{2} = 7{,}5625.\\]\n\n\\[\\sigma^{2} = 8{,}5 - 7{,}5625 = 0{,}9375 \\approx 0{,}94.\\]\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}97.\\]\n\n### Komentarz\nW odpowiedzi CKE występują wartości \\(0{,}94\\) dla wariancji (po zaokrągleniu z \\(0{,}9375\\)) oraz \\(0{,}97\\) dla odchylenia standardowego. Warto zachować dokładność przed zaokrągleniem - zaokrąglenie wariancji i potem liczenie pierwiastka wprowadziłoby błąd.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (5 pkt)
W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów,
dotyczącego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadań domowych.
Czas
(w godzinach)
1
2
3
4
Liczba
uczniów
5
10
15
10
a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący
wyniki tego sondażu.
b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką
uczniowie
przeznaczają
dziennie
na
przygotowanie zadań domowych.
c) Oblicz
wariancję
i
odchylenie
standardowe
czasu
przeznaczonego
dziennie
na
przygotowanie
zadań
domowych. Wynik podaj z dokładnością
do 0,01.

\n

9
Arkusz I
W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowywanie zadań domowych.

","answer_text_html":"

7.1
Naszkicowanie diagramu:
Czas w godzinach
1 p
7.2
Obliczenie średniej liczby godzin: 2,75
1 p
7.3
Obliczenie wariancji (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p.
za obliczenia): 0,94
2 p
7
7.4
Obliczenie odchylenia standardowego: 0,97
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Diagram słupkowy (szkic poniżej)
b) Średnia \\(\\bar{x} = 2{,}75\\) h
c) Wariancja \\(\\sigma^2 \\approx 0{,}94\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}97\\) h

\n

Sposób 1 - wzory definicyjne (krok po kroku)

\n
Dane wyjściowe
\n
Czas \\(x_i\\) (h)Liczba uczniów \\(n_i\\)
\\(1\\)\\(5\\)
\\(2\\)\\(10\\)
\\(3\\)\\(15\\)
\\(4\\)\\(10\\)
\n

Łączna liczba uczniów:
\\[n = 5 + 10 + 15 + 10 = 40\\]

\n
a) Diagram słupkowy
\n

Oś pozioma: czas (1, 2, 3, 4 h). Oś pionowa: liczba uczniów. Słupki o wysokościach 5, 10, 15, 10.

\n

15 | ██
10 | ██ ██ ██
5 | ██ ██ ██ ██
+--+--+--+--→
1 2 3 4 (h)

\n

Słupki muszą być równej szerokości, oddzielone, z podpisaną osią i tytułem.

\n
b) Średnia arytmetyczna (ważona)
\n

Każdy czas \\(x_i\\) pojawia się \\(n_i\\) razy, więc liczymy średnią ważoną:
\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3 + x_4 n_4}{n}\\]

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{1 \\cdot 5 + 2 \\cdot 10 + 3 \\cdot 15 + 4 \\cdot 10}{40} = \\frac{5 + 20 + 45 + 40}{40} = \\frac{110}{40}\\]

\n

\\[\\boxed{\\bar{x} = 2{,}75 \\text{ h}}\\]

\n
c) Wariancja i odchylenie standardowe
\n

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej. Liczymy odchylenia \\((x_i - \\bar{x})^2\\):

\n
\\(x_i\\)\\(x_i - \\bar{x}\\)\\((x_i - \\bar{x})^2\\)\\(n_i\\)\\((x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i\\)
\\(1\\)\\(1 - 2{,}75 = -1{,}75\\)\\(3{,}0625\\)\\(5\\)\\(15{,}3125\\)
\\(2\\)\\(2 - 2{,}75 = -0{,}75\\)\\(0{,}5625\\)\\(10\\)\\(5{,}6250\\)
\\(3\\)\\(3 - 2{,}75 = 0{,}25\\)\\(0{,}0625\\)\\(15\\)\\(0{,}9375\\)
\\(4\\)\\(4 - 2{,}75 = 1{,}25\\)\\(1{,}5625\\)\\(10\\)\\(15{,}6250\\)
Suma:\\(37{,}5\\)
\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum (x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i}{n} = \\frac{37{,}5}{40} = 0{,}9375\\]

\n

\\[\\boxed{\\sigma^2 \\approx 0{,}94}\\]

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}9683\\]

\n

\\[\\boxed{\\sigma \\approx 0{,}97 \\text{ h}}\\]

\n

Sposób 2 - wzór skrócony na wariancję \\(\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\)

\n

Zamiast liczyć odchylenia od średniej, można użyć równoważnego wzoru:
\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum x_i^2 \\cdot n_i}{n} - \\bar{x}^2\\]

\n

Krok 1 - oblicz \\(\\overline{x^2}\\) (średnią kwadratów):
\\[\\overline{x^2} = \\frac{1^2 \\cdot 5 + 2^2 \\cdot 10 + 3^2 \\cdot 15 + 4^2 \\cdot 10}{40} = \\frac{5 + 40 + 135 + 160}{40} = \\frac{340}{40} = 8{,}5\\]

\n

Krok 2 - odejmij kwadrat średniej:
\\[\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2 = 8{,}5 - (2{,}75)^2 = 8{,}5 - 7{,}5625 = 0{,}9375\\]

\n

Ten sam wynik - wzór skrócony jest szybszy, gdy wartości \\(x_i\\) są duże lub gdy \\(\\bar{x}\\) jest ułamkiem trudnym do odejmowania.

\n

\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx \\boxed{0{,}97}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n

Średnia arytmetyczna (ważona):
\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]
Użyliśmy tego w punkcie b) - wagami \\(w_i\\) są liczby uczniów \\(n_i\\).

\n

Wariancja:
\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]
Użyliśmy (w wersji ważonej) w punkcie c) - Sposób 1.

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]

\n
Karta nie podaje wprost wzoru skróconego \\(\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\), ale wynika on bezpośrednio z definicji wariancji - można go wyprowadzić na egzaminie.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: To zadanie ma dane w formie tabelki (częstości), więc nie wolno liczyć średniej jako \\(\\frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\\) - to byłoby poprawne tylko, gdyby każdy czas wystąpił jednakowo często. Tutaj musimy uwzględnić wagi (liczby uczniów).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wariancji pamiętaj dzielić przez \\(n = 40\\) (całkowita liczba uczniów), nie przez liczbę grup (tu: 4). Błąd podziału przez 4 zamiast 40 to jedna z najczęstszych pomyłek.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\sigma^2 = 0{,}9375\\) zaokrąglamy do \\(0{,}94\\) dopiero na końcu. Jeśli zaokrąglisz wcześniej i policzysz \\(\\sigma = \\sqrt{0{,}94}\\), dostaniesz \\(\\approx 0{,}9695\\), co zaokrąglone daje \\(0{,}97\\) - tu wychodzi dobrze, ale w ogólności zaokrąglaj tylko wynik końcowy!
\n

Poprawne odpowiedzi: \\(\\bar{x} = 2{,}75\\) h; \\(\\sigma^{2} \\approx 0{,}94\\); \\(\\sigma \\approx 0{,}97\\) h.

\n
Sposób 1 - Wzory klasyczne ze średnią ważoną
\n

a) Diagram słupkowy: oś pozioma - czas (h): \\(1, 2, 3, 4\\); oś pionowa - liczba uczniów: \\(5, 10, 15, 10\\).

\n

b) Średnia liczba godzin:
Suma wszystkich uczniów: \\(N = 5 + 10 + 15 + 10 = 40\\).

\n

\\[\\bar{x} = \\dfrac{1\\cdot 5 + 2\\cdot 10 + 3\\cdot 15 + 4\\cdot 10}{40} = \\dfrac{5 + 20 + 45 + 40}{40} = \\dfrac{110}{40} = 2{,}75.\\]

\n

c) Wariancja (wzór: \\(\\sigma^{2} = \\dfrac{\\sum n_i (x_i - \\bar{x})^{2}}{N}\\)):

\n

| \\(x_i\\) | \\(n_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^{2}\\) | \\(n_i(x_i-\\bar{x})^{2}\\) |
| 1 | 5 | \\(-1{,}75\\) | \\(3{,}0625\\) | \\(15{,}3125\\) |
| 2 | 10 | \\(-0{,}75\\) | \\(0{,}5625\\) | \\(5{,}625\\) |
| 3 | 15 | \\(0{,}25\\) | \\(0{,}0625\\) | \\(0{,}9375\\) |
| 4 | 10 | \\(1{,}25\\) | \\(1{,}5625\\) | \\(15{,}625\\) |
| Suma | \\(40\\) | | | \\(37{,}5\\) |

\n

\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{37{,}5}{40} = 0{,}9375 \\approx 0{,}94.\\]

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}9683 \\approx 0{,}97.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór skrócony dla wariancji
\n

\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2}.\\]

\n

\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{1^{2}\\cdot 5 + 2^{2}\\cdot 10 + 3^{2}\\cdot 15 + 4^{2}\\cdot 10}{40} = \\dfrac{5 + 40 + 135 + 160}{40} = \\dfrac{340}{40} = 8{,}5.\\]

\n

\\[\\bar{x}^{2} = 2{,}75^{2} = 7{,}5625.\\]

\n

\\[\\sigma^{2} = 8{,}5 - 7{,}5625 = 0{,}9375 \\approx 0{,}94.\\]

\n

\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}97.\\]

\n
Komentarz
\n

W odpowiedzi CKE występują wartości \\(0{,}94\\) dla wariancji (po zaokrągleniu z \\(0{,}9375\\)) oraz \\(0{,}97\\) dla odchylenia standardowego. Warto zachować dokładność przed zaokrągleniem - zaokrąglenie wariancji i potem liczenie pierwiastka wprowadziłoby błąd.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Średnia: 2,75, wariancja: 0,94, odchylenie standardowe: 0,97

"}]}