{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nZ kawałka materiału o kształcie i wymiarach\nczworokąta ABCD (patrz na rysunek obok)\nwycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm.\nOblicz, ile procent całego materiału stanowi\njego niewykorzystana część. Wynik podaj\nz dokładnością do 0,01 procenta.\n\n10\nArkusz I\nZ kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunek obok) wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm.Oblicz, ile procent całego materiału stanowi jego niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością 0,01 procenta.","answer":null,"answer_text":"8.1\nWykorzystanie warunku dla czworokąta opisanego\nna okręgu (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za oblicze-\nnia):\n16,3\nAB\nDC\ndm\n,\n2p\n8.2\nObliczenie pola\nABCD\nS\nczworokąta:\n2\n48,9\nABCD\nS\ndm\n1 p\n8.3\nObliczenie pola\nk\nS koła:\n2\n27\n28\n9\ndm\n,\nSk\n≈\n= π\nlub\n2\n26\n,\n28\ndm\nSk ≈\n1 p\n8\n8.4\nObliczenie pola\nrS niewykorzystanej części materiału:\n2\n63\n,\n20\ndm\nSr ≈\nlub\n2\n64\n,\n20\ndm\nSr ≈\n1 p\n3\n8.5\nObliczenie, ile procent\nABCD\nS\nstanowi\nrS z dokładno-\nścią do 0,01:\n%\n19\n,\n42\n%\n100\n≈\n⋅\nABCD\nr\nS\nS\nlub\n%\n21\n,\n42\n%\n100\n≈\n⋅\nABCD\nr\nS\nS\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: ≈ 42,19%\n\nCzworokąt \\(ABCD\\) to trapez z \\(BC \\parallel AD\\), w który wpisano okrąg o promieniu \\(r = 3\\) dm. Dane: \\(|BC| = 10\\) dm, \\(|AD| = 6{,}3\\) dm.\n\n## Sposób 1 - Pole trapezu przez wysokość \\(h = 2r\\)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Okrąg wpisany w trapez dotyka obu równoległych podstaw od wewnątrz - odległość między nimi (wysokość trapezu) musi być równa dokładnie średnicy okręgu.\n\n\\[h = 2r = 2 \\cdot 3 = 6 \\text{ dm}\\]\n\n**Pole trapezu** (wzór ze strony 20 karty CKE):\n\\[P_{ABCD} = \\frac{|BC| + |AD|}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6{,}3}{2} \\cdot 6 = \\frac{16{,}3}{2} \\cdot 6 = 8{,}15 \\cdot 6 = 48{,}9 \\text{ dm}^2\\]\n\n**Pole serwetki** (koła):\n\\[P_{\\odot} = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi \\approx 3{,}1416 \\cdot 9 \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^2\\]\n\n**Pole niewykorzystanego materiału:**\n\\[P_{\\text{niew}} = P_{ABCD} - P_{\\odot} = 48{,}9 - 28{,}27 = 20{,}63 \\text{ dm}^2\\]\n\n**Procent całego materiału:**\n\\[\\% = \\frac{P_{\\text{niew}}}{P_{ABCD}} \\cdot 100\\% = \\frac{20{,}63}{48{,}9} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{42{,}19\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole czworokąta wpisanego na okrąg (wzór \\(P = r \\cdot s\\))\n\nKażdy czworokąt, w który można wpisać okrąg (czworokąt styczny), spełnia:\n\\[\\text{pole} = r \\cdot s\\]\ngdzie \\(s\\) - półobwód.\n\n**Własność styczna:** Suma naprzeciwległych boków jest równa:\n\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD| = 10 + 6{,}3 = 16{,}3 \\text{ dm}\\]\n\n**Półobwód:**\n\\[s = \\frac{|AB| + |BC| + |CD| + |AD|}{2} = \\frac{(|AB| + |CD|) + (|BC| + |AD|)}{2} = \\frac{16{,}3 + 16{,}3}{2} = 16{,}3 \\text{ dm}\\]\n\n**Pole trapezu:**\n\\[P_{ABCD} = r \\cdot s = 3 \\cdot 16{,}3 = 48{,}9 \\text{ dm}^2\\]\n\nPole serwetki i wynik - identycznie jak w Sposobie 1:\n\n\\[\\% = \\frac{48{,}9 - 9\\pi}{48{,}9} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{42{,}19\\%}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - wzajemne potwierdzenie. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria - Czworokąty, s. 20-21)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) - długości podstaw, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia pola trapezu \\(ABCD\\) po ustaleniu, że \\(h = 2r = 6\\) dm.\n\n**Dział 10 (Planimetria - Koło, s. 18)** - pole koła:\n\\[P = \\pi r^2\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia pola wyciętej serwetki: \\(P_{\\odot} = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpopularniejszy błąd - nie korzystanie z faktu, że \\(h = 2r\\). Uczniowie próbują wyliczyć wysokość z danych o kątach, zamiast zauważyć, że okrąg wpisany narzuca od razu \\(h = 6\\) dm.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejny błąd - obliczenie pola koła z \\(r = 6\\) (zamiast \\(r = 3\\)), myląc promień z wysokością. Zawsze sprawdź: pole koła to \\(\\pi r^2 = 9\\pi\\), nie \\(36\\pi\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rounding \\(\\pi\\). Dokładne obliczenie daje \\((48{,}9 - 9\\pi)/48{,}9 \\approx 42{,}18\\%\\), natomiast po zaokrągleniu \\(9\\pi \\approx 28{,}27\\) (do 2 miejsc po przecinku) wychodzi \\(42{,}19\\%\\). Na egzaminie CKE obie wartości będą uznane - ważne, by zaznaczyć, jak zaokrąglono \\(\\pi\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** niewykorzystana część \\(\\approx 42{,}19\\%\\) materiału.\n\n### Sposób 1 - Wykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu\n**Krok 1 - obwód i pole czworokąta opisanego na okręgu.**\n\nDla czworokąta opisanego na okręgu zachodzi:\n\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.\\]\n\nZ danych: \\(|AD| = 6{,}3\\) dm, \\(|BC| = 10\\) dm. Stąd:\n\\[|AB| + |CD| = 10 + 6{,}3 = 16{,}3 \\text{ dm}.\\]\n\n**Krok 2 - pole czworokąta przez pole opisanego wielokąta.**\n\nDla wielokąta opisanego na okręgu o promieniu \\(r\\) i obwodzie \\(L\\):\n\\[S = \\dfrac{1}{2}\\cdot L \\cdot r.\\]\n\nObwód: \\(L = |AB|+|BC|+|CD|+|DA| = 16{,}3 + 10 + 6{,}3 = 32{,}6\\) dm.\n\n\\[S_{ABCD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 32{,}6 \\cdot 3 = 48{,}9 \\text{ dm}^{2}.\\]\n\n**Krok 3 - pole koła.**\n\\[S_k = \\pi r^{2} = 9\\pi \\approx 28{,}2743 \\text{ dm}^{2} \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^{2}.\\]\n\n**Krok 4 - pole niewykorzystane.**\n\\[S_r = S_{ABCD} - S_k = 48{,}9 - 28{,}2743 \\approx 20{,}6257 \\text{ dm}^{2}.\\]\n\n**Krok 5 - procent.**\n\\[\\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\\cdot 100\\% = \\dfrac{20{,}6257}{48{,}9}\\cdot 100\\% \\approx 42{,}19\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni wzór procentowy\n\\[\\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\\cdot 100\\% = \\left(1 - \\dfrac{S_k}{S_{ABCD}}\\right)\\cdot 100\\%.\\]\n\n\\[= \\left(1 - \\dfrac{9\\pi}{48{,}9}\\right)\\cdot 100\\% \\approx (1 - 0{,}57820)\\cdot 100\\% \\approx 42{,}18\\% - 42{,}21\\%\\]\n\n(wartość zależy od stopnia zaokrąglenia \\(\\pi\\)).\n\n### Alternatywne wyniki (wg CKE)\nW zależności od zaokrągleń pośrednich odpowiedź \\(42{,}19\\%\\) lub \\(42{,}21\\%\\) - obie są uznawane przez CKE.\n\n### Komentarz\nKluczową własnością jest twierdzenie: **w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe** (\\(a + c = b + d\\)). Bez znajomości tej własności nie da się obliczyć obwodu, bo znamy tylko dwa boki.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (6 pkt)
Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach
czworokąta ABCD (patrz na rysunek obok)
wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm.
Oblicz, ile procent całego materiału stanowi
jego niewykorzystana część. Wynik podaj
z dokładnością do 0,01 procenta.

\n

10
Arkusz I
Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunek obok) wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm.Oblicz, ile procent całego materiału stanowi jego niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością 0,01 procenta.

","answer_text_html":"

8.1
Wykorzystanie warunku dla czworokąta opisanego
na okręgu (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za oblicze-
nia):
16,3
AB
DC
dm
,
2p
8.2
Obliczenie pola
ABCD
S
czworokąta:
2
48,9
ABCD
S
dm
1 p
8.3
Obliczenie pola
k
S koła:
2
27
28
9
dm
,
Sk
≈
= π
lub
2
26
,
28
dm
Sk ≈
1 p
8
8.4
Obliczenie pola
rS niewykorzystanej części materiału:
2
63
,
20
dm
Sr ≈
lub
2
64
,
20
dm
Sr ≈
1 p
3
8.5
Obliczenie, ile procent
ABCD
S
stanowi
rS z dokładno-
ścią do 0,01:
%
19
,
42
%
100
≈
⋅
ABCD
r
S
S
lub
%
21
,
42
%
100
≈
⋅
ABCD
r
S
S
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: ≈ 42,19%

\n

Czworokąt \\(ABCD\\) to trapez z \\(BC \\parallel AD\\), w który wpisano okrąg o promieniu \\(r = 3\\) dm. Dane: \\(|BC| = 10\\) dm, \\(|AD| = 6{,}3\\) dm.

\n

Sposób 1 - Pole trapezu przez wysokość \\(h = 2r\\)

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Okrąg wpisany w trapez dotyka obu równoległych podstaw od wewnątrz - odległość między nimi (wysokość trapezu) musi być równa dokładnie średnicy okręgu.

\n

\\[h = 2r = 2 \\cdot 3 = 6 \\text{ dm}\\]

\n

Pole trapezu (wzór ze strony 20 karty CKE):
\\[P_{ABCD} = \\frac{|BC| + |AD|}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6{,}3}{2} \\cdot 6 = \\frac{16{,}3}{2} \\cdot 6 = 8{,}15 \\cdot 6 = 48{,}9 \\text{ dm}^2\\]

\n

Pole serwetki (koła):
\\[P_{\\odot} = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi \\approx 3{,}1416 \\cdot 9 \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^2\\]

\n

Pole niewykorzystanego materiału:
\\[P_{\\text{niew}} = P_{ABCD} - P_{\\odot} = 48{,}9 - 28{,}27 = 20{,}63 \\text{ dm}^2\\]

\n

Procent całego materiału:
\\[\\% = \\frac{P_{\\text{niew}}}{P_{ABCD}} \\cdot 100\\% = \\frac{20{,}63}{48{,}9} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{42{,}19\\%}\\]

\n

Sposób 2 - Pole czworokąta wpisanego na okrąg (wzór \\(P = r \\cdot s\\))

\n

Każdy czworokąt, w który można wpisać okrąg (czworokąt styczny), spełnia:
\\[\\text{pole} = r \\cdot s\\]
gdzie \\(s\\) - półobwód.

\n

Własność styczna: Suma naprzeciwległych boków jest równa:
\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD| = 10 + 6{,}3 = 16{,}3 \\text{ dm}\\]

\n

Półobwód:
\\[s = \\frac{|AB| + |BC| + |CD| + |AD|}{2} = \\frac{(|AB| + |CD|) + (|BC| + |AD|)}{2} = \\frac{16{,}3 + 16{,}3}{2} = 16{,}3 \\text{ dm}\\]

\n

Pole trapezu:
\\[P_{ABCD} = r \\cdot s = 3 \\cdot 16{,}3 = 48{,}9 \\text{ dm}^2\\]

\n

Pole serwetki i wynik - identycznie jak w Sposobie 1:

\n

\\[\\% = \\frac{48{,}9 - 9\\pi}{48{,}9} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{42{,}19\\%}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - wzajemne potwierdzenie. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria - Czworokąty, s. 20-21) - pole trapezu:
\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]
gdzie \\(a, b\\) - długości podstaw, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia pola trapezu \\(ABCD\\) po ustaleniu, że \\(h = 2r = 6\\) dm.

\n

Dział 10 (Planimetria - Koło, s. 18) - pole koła:
\\[P = \\pi r^2\\]
Użyliśmy tego do obliczenia pola wyciętej serwetki: \\(P_{\\odot} = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^2\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najpopularniejszy błąd - nie korzystanie z faktu, że \\(h = 2r\\). Uczniowie próbują wyliczyć wysokość z danych o kątach, zamiast zauważyć, że okrąg wpisany narzuca od razu \\(h = 6\\) dm.
\n
⚠️ Uwaga: Kolejny błąd - obliczenie pola koła z \\(r = 6\\) (zamiast \\(r = 3\\)), myląc promień z wysokością. Zawsze sprawdź: pole koła to \\(\\pi r^2 = 9\\pi\\), nie \\(36\\pi\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Rounding \\(\\pi\\). Dokładne obliczenie daje \\((48{,}9 - 9\\pi)/48{,}9 \\approx 42{,}18\\%\\), natomiast po zaokrągleniu \\(9\\pi \\approx 28{,}27\\) (do 2 miejsc po przecinku) wychodzi \\(42{,}19\\%\\). Na egzaminie CKE obie wartości będą uznane - ważne, by zaznaczyć, jak zaokrąglono \\(\\pi\\).
\n

Poprawna odpowiedź: niewykorzystana część \\(\\approx 42{,}19\\%\\) materiału.

\n
Sposób 1 - Wykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu
\n

Krok 1 - obwód i pole czworokąta opisanego na okręgu.

\n

Dla czworokąta opisanego na okręgu zachodzi:
\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.\\]

\n

Z danych: \\(|AD| = 6{,}3\\) dm, \\(|BC| = 10\\) dm. Stąd:
\\[|AB| + |CD| = 10 + 6{,}3 = 16{,}3 \\text{ dm}.\\]

\n

Krok 2 - pole czworokąta przez pole opisanego wielokąta.

\n

Dla wielokąta opisanego na okręgu o promieniu \\(r\\) i obwodzie \\(L\\):
\\[S = \\dfrac{1}{2}\\cdot L \\cdot r.\\]

\n

Obwód: \\(L = |AB|+|BC|+|CD|+|DA| = 16{,}3 + 10 + 6{,}3 = 32{,}6\\) dm.

\n

\\[S_{ABCD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 32{,}6 \\cdot 3 = 48{,}9 \\text{ dm}^{2}.\\]

\n

Krok 3 - pole koła.
\\[S_k = \\pi r^{2} = 9\\pi \\approx 28{,}2743 \\text{ dm}^{2} \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^{2}.\\]

\n

Krok 4 - pole niewykorzystane.
\\[S_r = S_{ABCD} - S_k = 48{,}9 - 28{,}2743 \\approx 20{,}6257 \\text{ dm}^{2}.\\]

\n

Krok 5 - procent.
\\[\\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\\cdot 100\\% = \\dfrac{20{,}6257}{48{,}9}\\cdot 100\\% \\approx 42{,}19\\%.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośredni wzór procentowy
\n

\\[\\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\\cdot 100\\% = \\left(1 - \\dfrac{S_k}{S_{ABCD}}\\right)\\cdot 100\\%.\\]

\n

\\[= \\left(1 - \\dfrac{9\\pi}{48{,}9}\\right)\\cdot 100\\% \\approx (1 - 0{,}57820)\\cdot 100\\% \\approx 42{,}18\\% - 42{,}21\\%\\]

\n

(wartość zależy od stopnia zaokrąglenia \\(\\pi\\)).

\n
Alternatywne wyniki (wg CKE)
\n

W zależności od zaokrągleń pośrednich odpowiedź \\(42{,}19\\%\\) lub \\(42{,}21\\%\\) - obie są uznawane przez CKE.

\n
Komentarz
\n

Kluczową własnością jest twierdzenie: w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe (\\(a + c = b + d\\)). Bez znajomości tej własności nie da się obliczyć obwodu, bo znamy tylko dwa boki.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

ok. $42,19\\%$ lub $42,21\\%$

"}]}