{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nRodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono\nw banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde\nz dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem\nspadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części\nspadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między\nrodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.\n\n11\nArkusz I\nRodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonane obliczenia.","answer":null,"answer_text":"9.1\nWprowadzenie oznaczeń dla obu części spadku i zapi-\nsanie zależność między nimi: np.: x - kwota wpłacona\ndla ośmioletniego dziecka, y - kwota wpłacona\ndla dziesięcioletniego dziecka,\n84100\n+ y\nx\n1 p\n9.2\nZa stosowanie w obliczeniach procentu składanego\n1 p\n9.3\nUłożenie układu równań:\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n\n\n\n\n\n+\n11\n13\n20\n1\n1\n20\n1\n1\n84100\ny\nx\ny\nx\n1 p\n9.4\nPrzekształcenie układu równań do postaci:\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\ny\nx\ny\nx\n2\n20\n1\n1\n84100\n1 p\n9\n9.5\nRozwiązanie układu równań i sformułowanie odpo-\nwiedzi (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za poprawne\nobliczenia): x = 40000 zł, y = 44100 zł\n2 p","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n8-letniemu dziecku: \\(x = 40\\,000\\) zł; 10-letniemu dziecku: \\(y = 44\\,100\\) zł.\n\n## Sposób 1 - Równanie z procentem składanym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Każde dziecko czeka na wypłatę do ukończenia 21 lat.\n- 8-latek czeka: \\(21 - 8 = 13\\) lat\n- 10-latek czeka: \\(21 - 10 = 11\\) lat\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(x\\) - część spadku dla 8-latka (zł)\n- \\(y\\) - część spadku dla 10-latka (zł)\n\n**Układ równań:**\n\nWarunek I - suma podziału:\n\\[x + y = 84\\,100\\]\n\nWarunek II - obie wypłacone kwoty są równe. Stosujemy wzór procentu składanego \\(K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\) z \\(p = 5\\):\n\\[x \\cdot (1{,}05)^{13} = y \\cdot (1{,}05)^{11}\\]\n\n**Upraszczamy warunek II** - dzielimy obie strony przez \\((1{,}05)^{11}\\):\n\\[x \\cdot (1{,}05)^{2} = y\\]\n\\[x \\cdot 1{,}1025 = y\\]\n\n**Podstawiamy** do warunku I:\n\\[x + 1{,}1025x = 84\\,100\\]\n\\[2{,}1025x = 84\\,100\\]\n\\[x = \\frac{84\\,100}{2{,}1025} = 40\\,000\\]\n\n**Wyznaczamy** \\(y\\):\n\\[y = 84\\,100 - 40\\,000 = 44\\,100\\]\n\n**Wynik: 8-letniemu dziecku należy przekazać \\(40\\,000\\) zł, a 10-letniemu \\(44\\,100\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: obliczenie rzeczywistych wypłat\n\nSprawdzamy, czy obie wypłaty są rzeczywiście równe.\n\n**Dla 8-latka** (kwota \\(40\\,000\\) zł rośnie przez 13 lat):\n\\[K_{13} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^{13}\\]\n\n**Dla 10-latka** (kwota \\(44\\,100\\) zł rośnie przez 11 lat):\n\\[K_{11} = 44\\,100 \\cdot (1{,}05)^{11}\\]\n\nPodstawiamy \\(44\\,100 = 40\\,000 \\cdot 1{,}1025 = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^2\\):\n\\[K_{11} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^2 \\cdot (1{,}05)^{11} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^{13} = K_{13}\\]\n\nObliczamy wartość numeryczną:\n\\[(1{,}05)^{13} \\approx 1{,}8856\\]\n\\[K_{13} = 40\\,000 \\cdot 1{,}8856 \\approx 75\\,423 \\text{ zł}\\]\n\nObie wypłaty wynoszą po około \\(75\\,423\\) zł - **wynik zweryfikowany.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\nUżyliśmy tego wzoru do zapisania kwot, jakie każde dziecko otrzyma po \\(n\\) latach. Dla \\(p = 5\\%\\) czynnik wzrostu to \\(1{,}05^n\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy tego przy upraszczaniu równania \\(x \\cdot (1{,}05)^{13} = y \\cdot (1{,}05)^{11}\\) - dzielenie obu stron przez \\((1{,}05)^{11}\\) daje \\((1{,}05)^{13-11} = (1{,}05)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas oczekiwania to **nie** wiek dziecka, lecz różnica \\(21 - \\text{wiek}\\). Łatwo wstawić do wzoru 8 i 10 zamiast 13 i 11 - to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielenie sumy 84 100 zł po równo (po 42 050 zł) to błąd - 10-latek czeka krócej, więc musi dostać **więcej** na start, żeby obie wypłaty były równe. Intuicja finansowa pomaga tu sprawdzić, czy wynik „ma sens\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((1{,}05)^{13}\\) nie używamy kalkulatora na egzaminie w sposób bezpośredni do rozwiązania - kluczowe jest **algebraiczne** skrócenie potęg. Obliczenia numeryczne służą jedynie do weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź:** 8-latek otrzymuje \\(40{\\,}000\\) zł, 10-latek otrzymuje \\(44{\\,}100\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Układ równań z procentem składanym\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - kwota wpłacona dla 8-latka,\n- \\(y\\) - kwota wpłacona dla 10-latka,\n- \\(p = 5\\% = 0{,}05\\), czynnik kapitalizacji \\(= 1{,}05 = 1 + \\tfrac{1}{20}\\).\n\n**Czas do wypłaty:**\n- 8-latek: \\(21 - 8 = 13\\) lat,\n- 10-latek: \\(21 - 10 = 11\\) lat.\n\n**Warunki zadania:**\n\\[\\begin{cases} x + y = 84{\\,}100 \\\\ x\\left(1 + \\tfrac{1}{20}\\right)^{13} = y\\left(1 + \\tfrac{1}{20}\\right)^{11} \\end{cases}\\]\n\n**Upraszczamy drugie równanie** dzieląc obie strony przez \\(\\left(1+\\tfrac{1}{20}\\right)^{11}\\):\n\\[x\\cdot\\left(\\tfrac{21}{20}\\right)^{2} = y \\Rightarrow y = x\\cdot\\dfrac{441}{400}.\\]\n\n**Podstawiamy do równania pierwszego:**\n\\[x + \\dfrac{441}{400}x = 84{\\,}100\\]\n\\[\\dfrac{400 + 441}{400}x = 84{\\,}100\\]\n\\[\\dfrac{841}{400}x = 84{\\,}100\\]\n\\[x = \\dfrac{84{\\,}100\\cdot 400}{841} = 100\\cdot 400 = 40{\\,}000.\\]\n\n**Stąd:** \\(y = 84{\\,}100 - 40{\\,}000 = 44{\\,}100\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Intuicyjnie: starsze dziecko dostaje więcej (bo ma krótszy czas oszczędzania)\nObaj dostają tyle samo pieniędzy po osiągnięciu 21 lat. Ponieważ **dłuższy czas oszczędzania** pozwala zgromadzić więcej z mniejszej kwoty początkowej, 8-latek (mający więcej czasu) wpłaca mniej.\n\nStosunek \\(\\dfrac{y}{x} = 1{,}05^{2} = \\dfrac{441}{400} = 1{,}1025\\).\n\nJeśli \\(x = 40{\\,}000\\), to \\(y = 44{\\,}100\\). Sprawdzenie sumy: \\(40{\\,}000 + 44{\\,}100 = 84{\\,}100\\) ✓.\n\n### Sprawdzenie końcowe\nPo osiągnięciu 21. roku życia:\n- 8-latek: \\(40{\\,}000\\cdot 1{,}05^{13} \\approx 40{\\,}000\\cdot 1{,}8856 \\approx 75{\\,}424{,}20\\) zł.\n- 10-latek: \\(44{\\,}100\\cdot 1{,}05^{11} \\approx 44{\\,}100\\cdot 1{,}7103 \\approx 75{\\,}424{,}27\\) zł.\n\nRóżnica < \\(1\\) zł (po zaokrągleniu do 1 zł - obie kwoty równe) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa obserwacja: \\(1{,}05 = 1 + \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{21}{20}\\), więc \\(1{,}05^{2} = \\dfrac{441}{400}\\). Stąd \\(\\dfrac{841}{400}x = 84{\\,}100\\) prowadzi do ładnej liczby \\(40{\\,}000\\).","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (6 pkt)
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono
w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde
z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem
spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części
spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między
rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.

\n

11
Arkusz I
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonane obliczenia.

","answer_text_html":"

9.1
Wprowadzenie oznaczeń dla obu części spadku i zapi-
sanie zależność między nimi: np.: x - kwota wpłacona
dla ośmioletniego dziecka, y - kwota wpłacona
dla dziesięcioletniego dziecka,
84100

\n\n

x
1 p
9.2
Za stosowanie w obliczeniach procentu składanego
1 p
9.3
Ułożenie układu równań:








+





+
11
13
20
1
1
20
1
1
84100
y
x
y
x
1 p
9.4
Przekształcenie układu równań do postaci:








+
y
x
y
x
2
20
1
1
84100
1 p
9
9.5
Rozwiązanie układu równań i sformułowanie odpo-
wiedzi (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za poprawne
obliczenia): x = 40000 zł, y = 44100 zł
2 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

8-letniemu dziecku: \\(x = 40\\,000\\) zł; 10-letniemu dziecku: \\(y = 44\\,100\\) zł.

\n

Sposób 1 - Równanie z procentem składanym

\n

Kluczowa obserwacja: Każde dziecko czeka na wypłatę do ukończenia 21 lat.

\n\n

Oznaczenia:

\n\n

Układ równań:

\n

Warunek I - suma podziału:
\\[x + y = 84\\,100\\]

\n

Warunek II - obie wypłacone kwoty są równe. Stosujemy wzór procentu składanego \\(K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\) z \\(p = 5\\):
\\[x \\cdot (1{,}05)^{13} = y \\cdot (1{,}05)^{11}\\]

\n

Upraszczamy warunek II - dzielimy obie strony przez \\((1{,}05)^{11}\\):
\\[x \\cdot (1{,}05)^{2} = y\\]
\\[x \\cdot 1{,}1025 = y\\]

\n

Podstawiamy do warunku I:
\\[x + 1{,}1025x = 84\\,100\\]
\\[2{,}1025x = 84\\,100\\]
\\[x = \\frac{84\\,100}{2{,}1025} = 40\\,000\\]

\n

Wyznaczamy \\(y\\):
\\[y = 84\\,100 - 40\\,000 = 44\\,100\\]

\n

Wynik: 8-letniemu dziecku należy przekazać \\(40\\,000\\) zł, a 10-letniemu \\(44\\,100\\) zł.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: obliczenie rzeczywistych wypłat

\n

Sprawdzamy, czy obie wypłaty są rzeczywiście równe.

\n

Dla 8-latka (kwota \\(40\\,000\\) zł rośnie przez 13 lat):
\\[K_{13} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^{13}\\]

\n

Dla 10-latka (kwota \\(44\\,100\\) zł rośnie przez 11 lat):
\\[K_{11} = 44\\,100 \\cdot (1{,}05)^{11}\\]

\n

Podstawiamy \\(44\\,100 = 40\\,000 \\cdot 1{,}1025 = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^2\\):
\\[K_{11} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^2 \\cdot (1{,}05)^{11} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^{13} = K_{13}\\]

\n

Obliczamy wartość numeryczną:
\\[(1{,}05)^{13} \\approx 1{,}8856\\]
\\[K_{13} = 40\\,000 \\cdot 1{,}8856 \\approx 75\\,423 \\text{ zł}\\]

\n

Obie wypłaty wynoszą po około \\(75\\,423\\) zł - wynik zweryfikowany.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - procent składany:
\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]
Użyliśmy tego wzoru do zapisania kwot, jakie każde dziecko otrzyma po \\(n\\) latach. Dla \\(p = 5\\%\\) czynnik wzrostu to \\(1{,}05^n\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]
Użyliśmy tego przy upraszczaniu równania \\(x \\cdot (1{,}05)^{13} = y \\cdot (1{,}05)^{11}\\) - dzielenie obu stron przez \\((1{,}05)^{11}\\) daje \\((1{,}05)^{13-11} = (1{,}05)^2\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Czas oczekiwania to nie wiek dziecka, lecz różnica \\(21 - \\text{wiek}\\). Łatwo wstawić do wzoru 8 i 10 zamiast 13 i 11 - to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Podzielenie sumy 84 100 zł po równo (po 42 050 zł) to błąd - 10-latek czeka krócej, więc musi dostać więcej na start, żeby obie wypłaty były równe. Intuicja finansowa pomaga tu sprawdzić, czy wynik „ma sens".
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\((1{,}05)^{13}\\) nie używamy kalkulatora na egzaminie w sposób bezpośredni do rozwiązania - kluczowe jest algebraiczne skrócenie potęg. Obliczenia numeryczne służą jedynie do weryfikacji.
\n

Poprawna odpowiedź: 8-latek otrzymuje \\(40{\\,}000\\) zł, 10-latek otrzymuje \\(44{\\,}100\\) zł.

\n
Sposób 1 - Układ równań z procentem składanym
\n

Oznaczenia:

\n\n

Czas do wypłaty:

\n\n

Warunki zadania:
\\[\\begin{cases} x + y = 84{\\,}100 \\\\ x\\left(1 + \\tfrac{1}{20}\\right)^{13} = y\\left(1 + \\tfrac{1}{20}\\right)^{11} \\end{cases}\\]

\n

Upraszczamy drugie równanie dzieląc obie strony przez \\(\\left(1+\\tfrac{1}{20}\\right)^{11}\\):
\\[x\\cdot\\left(\\tfrac{21}{20}\\right)^{2} = y \\Rightarrow y = x\\cdot\\dfrac{441}{400}.\\]

\n

Podstawiamy do równania pierwszego:
\\[x + \\dfrac{441}{400}x = 84{\\,}100\\]
\\[\\dfrac{400 + 441}{400}x = 84{\\,}100\\]
\\[\\dfrac{841}{400}x = 84{\\,}100\\]
\\[x = \\dfrac{84{\\,}100\\cdot 400}{841} = 100\\cdot 400 = 40{\\,}000.\\]

\n

Stąd: \\(y = 84{\\,}100 - 40{\\,}000 = 44{\\,}100\\) zł.

\n
Sposób 2 - Intuicyjnie: starsze dziecko dostaje więcej (bo ma krótszy czas oszczędzania)
\n

Obaj dostają tyle samo pieniędzy po osiągnięciu 21 lat. Ponieważ dłuższy czas oszczędzania pozwala zgromadzić więcej z mniejszej kwoty początkowej, 8-latek (mający więcej czasu) wpłaca mniej.

\n

Stosunek \\(\\dfrac{y}{x} = 1{,}05^{2} = \\dfrac{441}{400} = 1{,}1025\\).

\n

Jeśli \\(x = 40{\\,}000\\), to \\(y = 44{\\,}100\\). Sprawdzenie sumy: \\(40{\\,}000 + 44{\\,}100 = 84{\\,}100\\) ✓.

\n
Sprawdzenie końcowe
\n

Po osiągnięciu 21. roku życia:

\n\n

Różnica < \\(1\\) zł (po zaokrągleniu do 1 zł - obie kwoty równe) ✓.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Kluczowa obserwacja: \\(1{,}05 = 1 + \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{21}{20}\\), więc \\(1{,}05^{2} = \\dfrac{441}{400}\\). Stąd \\(\\dfrac{841}{400}x = 84{\\,}100\\) prowadzi do ładnej liczby \\(40{\\,}000\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 40000 \\text{ zł}, y = 44100 \\text{ zł}$

"}]}