{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (4 pkt)\nW dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys. 1).\nZapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:\nKorzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:\nMN\nMA\nAB\nBN\nuuuur\nuuur\nuuur\nuuur\n(1)\noraz\nMN\nMC\nCN\nuuuur\nuuuur\nuuur\n(2)\nPo dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:\n2 MN\nMA\nMC\nAB\nBN\nCN\n⋅\nuuuur\nuuur\nuuuur\nuuur\nuuur\nuuur\nPonieważ MC\nMA\nuuuur\nuuur\noraz CN\nBN\nuuur\nuuur\n, więc:\n2 MN\nMA\nMA\nAB\nBN\nBN\n⋅\nuuuur\nuuur\nuuur\nuuur\nuuur\nuuur\n2\n0\n0\nMN\nAB\n⋅\nuuuur\nr\nuuur\nr\n1\n2\nMN\nAB\n⋅\nuuuur\nuuur\nWykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można\nzinterpretować następująco:\nodcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego\nboku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.\nPrzeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem MN\nuuuur\noraz\nwektorami AB\nuuur\ni DC\nuuur\n, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty\nM i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).\nPodaj interpretację otrzymanego wyniku.\nRys. 1\nRys. 2\n\n7\nArkusz II\n\n8\nArkusz II\nPrzeprowadzając anologiczne rozumowanie, ustal związek między wektorem MN oraz wektorami AB i DC, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).","answer":null,"answer_text":"15.1\nZapisanie wektora\n→\nMN jako sumy odpowiednich wektorów:\n( )1\n→\n→\n→\n→\nBN\nAB\nMA\nMN\n( )\n2\n→\n→\n→\n→\nCN\nDC\nMD\nMN\n1 p\n15.2\nDodanie równości (1) i (2) stronami\n1 p\n15.3\nPrzekształcenie wyniku do prostej postaci:\n\n\n\n\n\n\n→\n→\n⋅\n→\nDC\nAB\nMN\n2\n1\n1 p\n15\n15.4\nZinterpretowanie otrzymanego wyniku\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (4 pkt)
W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys. 1).
Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:
Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:
MN
MA
AB
BN
uuuur
uuur
uuur
uuur
(1)
oraz
MN
MC
CN
uuuur
uuuur
uuur
(2)
Po dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:
2 MN
MA
MC
AB
BN
CN
⋅
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
Ponieważ MC
MA
uuuur
uuur
oraz CN
BN
uuur
uuur
, więc:
2 MN
MA
MA
AB
BN
BN
⋅
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
0
0
MN
AB
⋅
uuuur
r
uuur
r
1
2
MN
AB
⋅
uuuur
uuur
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można
zinterpretować następująco:
odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego
boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem MN
uuuur
oraz
wektorami AB
uuur
i DC
uuur
, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty
M i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).
Podaj interpretację otrzymanego wyniku.
Rys. 1
Rys. 2

\n

7
Arkusz II

\n

8
Arkusz II
Przeprowadzając anologiczne rozumowanie, ustal związek między wektorem MN oraz wektorami AB i DC, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).

","answer_text_html":"

15.1
Zapisanie wektora
→
MN jako sumy odpowiednich wektorów:
( )1
→
→
→
→
BN
AB
MA
MN
( )
2
→
→
→
→
CN
DC
MD
MN
1 p
15.2
Dodanie równości (1) i (2) stronami
1 p
15.3
Przekształcenie wyniku do prostej postaci:






→
→
⋅
→
DC
AB
MN
2
1
1 p
15
15.4
Zinterpretowanie otrzymanego wyniku
1 p

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg"}]}