{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nWyznacz\nwszystkie\nwartości\nR\nk ∈\n,\ndla\nktórych\npierwiastki\nwielomianu\n( ) (\n) (\n)\nk\nx\nx\nx\nx\nW\n⋅\n12\n8\n2\nsą\ntrzema\nkolejnymi\nwyrazami\nrosnącego\nciągu\ngeometrycznego.\n\n4\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"2 3\n3\n3\n3\n1\nBC\na\n1\n4.4 Obliczenie\n3 3\n3\nAC =\n+ , np. z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych w trójkącie ABC.\n1\n4.5 Obliczenie\n3\n2 3\nAE\nAD\n1\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CDA i obliczenie\ndługości CD :\n2\n2\n2\n2\ncos30\nCD\nAC\nAD\nAC\nAD\n⋅\n⋅\nD ,\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n3\n3\n3 3\n3\n2 3\n2 3\n3 3\n3\n2 3\n12\n3 3\n2\nCD\n12\n3 3\nCD =\n2\n4.\n4.1\nIII sposób rozwiązania ( z wykorzystaniem\nCOD\n)\n).\nSporządzenie rysunku.\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7\n4.2\nObliczenie miary\nFOD\n)\n:\n(wykorzystanie miary kątów czworokąta FODB)\n2 90\n60\n360\nFOD + ⋅\nD\nD\nD\n)\n,\n120\nFOD =\nD\n)\n1\n4.3\nZauważenie, że\n45\nFOC =\nD\n)\ni obliczenie\n45\n120\n165\nCOD =\nD\nD\nD\n)\n1\n4.4\nObliczenie długości odcinka OC.\n(OC przekątna kwadratu o boku długości 3 ).\n3\n2\n6\nOC =\n⋅\n1\n4.5 Wykorzystanie wzoru redukcyjnego: cos165\ncos15\nD\nD .\n1\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w COD\nΔ\n:\n2\n2\n2\n2\ncos165\nCD\nOC\nOD\nOC\nOD\n-⋅\n⋅\nD .\nObliczenie długości odcinka CD:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nCD\n6\n3\n2\n6\n3 cos15\n+ ⋅\n⋅\n⋅\nD ,\n2\nCD\n9\n6 2 cos15\nD .\n2\nZdający może pozostawić wynik w takiej\npostaci: 9\n6 2 cos15\nD , lub odczytać wartość\ncosinusa z tablic i podać wynik liczbowy.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8\n4.1\nIV sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.2\nOznaczmy AB\na\n. Z własności trójkąta ABC wynika, że\n2\na\nBC =\n,\n3\n2\na\nAC =\n1\n4.3\nWyznaczenie pola trójkąta ABC (z zastosowaniem wzoru: S\npr\n,\ngdzie\n(\n)\n1\n2\np\na\nb\nc\ni r jest promieniem okręgu wpisanego w\nten trójkąt):\n2\n3\n3\n3\n2\n2\n2\n2\n8\nAC\nBC\na\na\na\na\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n4.4\nWyznaczenie AB\na\nz powyższej równości:\n2\n3\n3\n4\n2\n2\na\na\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\n6\n2 3\nAB\na\n1\n4.\n4.5\nWyznaczenie długości odcinka BD:\n3\n3\n3\n3\n2\na\nBD\nBF\nCF\n1\nA\nB\nD\nO\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CBD do wyznaczenia\ndługości odcinka CD:\n2\n2\n2\n2\ncos60\nCD\nCB\nBD\nCB\nBD\n⋅\nD.\n2\n4.1\nV sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.2\nWykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt\nleży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Wyznaczenie\nAD z trójkąta AOD:\n3\ntg15\nOD\nAD\nAD\nDstąd\n3\ntg15\nAD =\nD .\n1\n4.3\nWyznaczenie BD z trójkąta BOD:\n3\ntg30\nDO\nBD\nBD\nD stąd\n3\nBD =\n1\n4.\n4.4\n1\n3\n2\n2tg15\nPD\nAD\nD\n(z trójkąta prostokątnego PDA, w którym\n60\nPDA =\nD\n)\n).\n1\nA\nB\nD\nO\nP\nC\nR\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10\n4.5\n3\n3 3\n2\n2\nBD\nDR\n⋅\n(z trójkąta prostokątnego BDR, w którym\n60\nDBR =\nD\n)\n).\n1\n4.6\nWyznaczenie długości odcinka CD z trójkąta prostokątnego CDR:\n2\n2\n2\n3\n27\n4tg 15\n4\nCD\nRD\nRC\nD\n2\n4.1\nVI sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.2 Obliczenie miary kąta DON:\n30\nDON =\nD\n)\n1\n4.3\nWyznaczenia DN z trójkąta prostokątnego OND:\nsin30\nDN\nOD =\nD ,\n3\n2\nDN =\ni\n1\n3\n3\n2\n2\nON\nOD\n⋅\n1\n4.\n4.4\n3\n3\n3\n2\nCM\nCF\nFM\nON\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nM\nN\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\n4.5\n3\n3 3\n2\n2\nDM\nDN\nMN\nOF\n1\n4.6\nWyznaczenie CD z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CMD:\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3 3\n3\n12\n3 3\n2\n2\nCD\nCM\nDM\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n,\n12\n3 3\nCD =\n2\n4.1\nVII sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\nZdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z\nzaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym\nokręgiem.\n4.2\nWykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt\nleży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów.\nFBO\nΔ\n(lub BDO\nΔ\n) jest prostokątny i\n30\nFBO =\nD\n)\n3\nOF =\nstąd\n2 3\nOB =\n1\n4.3\nObliczenie długości odcinków FB z FBO\nΔ\ni BD z BDO\nΔ\n:\n3\nFB =\ni\n3\nBD\n1\n4.\n4.4 Obliczenie długość odcinka CB:\n3\n3\nCB\nCF\nFB\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nG\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12\n4.5\nObliczenie długości odcinków BG i CG i DG:\n2\n3\n3\n2\n1\nBC\nBG\n,\n2\n3\n3\n3\n2\n3\nBC\nCG\n,\n2\n3\n3-\nBG\nBD\nGD\n1\n4.6\nZastosowanie twierdzenia Pitagorasa BGC\nΔ\ndo obliczenie\ndługości odcinka CD:\n2\n2\n2\nGD\nCG\nCD\n3\n3\n12\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n3\n3\n3\n2\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\nCD\n,\n12\n3 3\nCD =\n2\n5.1\nSporządzenie wykresu funkcji\n(skorzystanie z definicji wartości bezwzględnej i sporządzenie\nwykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji\n2\n( )\n2\ng x\nx\nx\n,\na następnie naszkicowanie wykresu funkcji\n( )\n(\n)\nf x\ng x\n).\n2\nZdający\nmoże\nrozpatrzyć\ndwa\nprzypadki\ni za każdy poprawnie rozwiązany otrzymuje 1 pkt.\nJeśli\njest\nprawidłowy\nrysunek\nto\nzdający\notrzymuje 2 pkt.\nPrzyznajemy 1 punkt jeśli, np.\n- rysunek jest prawidłowy tylko po jednej stronie\nosi Oy,\n- gdy zdający nie wybrał tej części wykresu, która\njest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części\nwykresu).\n5.\n5.2\nWskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne\nfunkcji f i określenie rodzaju ekstremum:\nminimum lokalne dla\n0\nx =\n,\nmaksimum lokalne dla\n1\nx = - oraz\n1\nx = .\n1\n6.1 Wyznaczenie współrzędnych punktu D:\n(\n)\n0 6\nD\n,\n1\n6.2\nWyznaczenie współrzędnych punktów A i B:\n(\n)\n(\n)\n3 0\n6 0\nA\n,\n,\nB\n,\n1\n6.3 Wyznaczenie długości odcinka CD:\n3\nCD =\n1\n6.\n6.4 Obliczenie pola trapezu:\n9\n3 6\n36\n2\nABCD\nP\n⋅\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13","solution":"$k = \\dfrac{2}{3}$ lub $k = 2\\sqrt{3}$ lub $k = 18$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz
wszystkie
wartości
R
k ∈
,
dla
których
pierwiastki
wielomianu
( ) (
) (
)
k
x
x
x
x
W
⋅
12
8
2
są
trzema
kolejnymi
wyrazami
rosnącego
ciągu
geometrycznego.

\n

4
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

2 3
3
3
3
1
BC
a
1
4.4 Obliczenie
3 3
3
AC =

\n\n

trygonometrycznych w trójkącie ABC.
1
4.5 Obliczenie
3
2 3
AE
AD
1
4.6
Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CDA i obliczenie
długości CD :
2
2
2
2
cos30
CD
AC
AD
AC
AD
⋅
⋅
D ,
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
3
3
3 3
3
2 3
2 3
3 3
3
2 3
12
3 3
2
CD
12
3 3
CD =
2
4.
4.1
III sposób rozwiązania ( z wykorzystaniem
COD
)
).
Sporządzenie rysunku.
1
A
B
D
O
E
C
F
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
7
4.2
Obliczenie miary
FOD
)
:
(wykorzystanie miary kątów czworokąta FODB)
2 90
60
360
FOD + ⋅
D
D
D
)
,
120
FOD =
D
)
1
4.3
Zauważenie, że
45
FOC =
D
)
i obliczenie
45
120
165
COD =
D
D
D
)
1
4.4
Obliczenie długości odcinka OC.
(OC przekątna kwadratu o boku długości 3 ).
3
2
6
OC =
⋅
1
4.5 Wykorzystanie wzoru redukcyjnego: cos165
cos15
D
D .
1
4.6
Zastosowanie wzoru cosinusów w COD
Δ
:
2
2
2
2
cos165
CD
OC
OD
OC
OD
-⋅
⋅
D .
Obliczenie długości odcinka CD:
(
)
(
)
2
2
2
CD
6
3
2
6
3 cos15

\n\n

⋅
⋅
D ,
2
CD
9
6 2 cos15
D .
2
Zdający może pozostawić wynik w takiej
postaci: 9
6 2 cos15
D , lub odczytać wartość
cosinusa z tablic i podać wynik liczbowy.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
8
4.1
IV sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
1
4.2
Oznaczmy AB
a
. Z własności trójkąta ABC wynika, że
2
a
BC =
,
3
2
a
AC =
1
4.3
Wyznaczenie pola trójkąta ABC (z zastosowaniem wzoru: S
pr
,
gdzie
(
)
1
2
p
a
b
c
i r jest promieniem okręgu wpisanego w
ten trójkąt):
2
3
3
3
2
2
2
2
8
AC
BC
a
a
a
a
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
4.4
Wyznaczenie AB
a
z powyższej równości:
2
3
3
4
2
2
a
a
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
,
6
2 3
AB
a
1
4.
4.5
Wyznaczenie długości odcinka BD:
3
3
3
3
2
a
BD
BF
CF
1
A
B
D
O
C
F
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
9
4.6
Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CBD do wyznaczenia
długości odcinka CD:
2
2
2
2
cos60
CD
CB
BD
CB
BD
⋅
D.
2
4.1
V sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
1
4.2
Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt
leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Wyznaczenie
AD z trójkąta AOD:
3
tg15
OD
AD
AD
Dstąd
3
tg15
AD =
D .
1
4.3
Wyznaczenie BD z trójkąta BOD:
3
tg30
DO
BD
BD
D stąd
3
BD =
1
4.
4.4
1
3
2
2tg15
PD
AD
D
(z trójkąta prostokątnego PDA, w którym
60
PDA =
D
)
).
1
A
B
D
O
P
C
R
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
10
4.5
3
3 3
2
2
BD
DR
⋅
(z trójkąta prostokątnego BDR, w którym
60
DBR =
D
)
).
1
4.6
Wyznaczenie długości odcinka CD z trójkąta prostokątnego CDR:
2
2
2
3
27
4tg 15
4
CD
RD
RC
D
2
4.1
VI sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
1
4.2 Obliczenie miary kąta DON:
30
DON =
D
)
1
4.3
Wyznaczenia DN z trójkąta prostokątnego OND:
sin30
DN
OD =
D ,
3
2
DN =
i
1
3
3
2
2
ON
OD
⋅
1
4.
4.4
3
3
3
2
CM
CF
FM
ON
1
A
B
D
O
E
C
F
M
N
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
11
4.5
3
3 3
2
2
DM
DN
MN
OF
1
4.6
Wyznaczenie CD z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CMD:
2
2
2
2
2
3
3 3
3
12
3 3
2
2
CD
CM
DM
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
,
12
3 3
CD =
2
4.1
VII sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
1
Zdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z
zaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym
okręgiem.
4.2
Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt
leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów.
FBO
Δ
(lub BDO
Δ
) jest prostokątny i
30
FBO =
D
)
3
OF =
stąd
2 3
OB =
1
4.3
Obliczenie długości odcinków FB z FBO
Δ
i BD z BDO
Δ
:
3
FB =
i
3
BD
1
4.
4.4 Obliczenie długość odcinka CB:
3
3
CB
CF
FB
1
A
B
D
O
E
C
F
G
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
12
4.5
Obliczenie długości odcinków BG i CG i DG:
2
3
3
2
1
BC
BG
,
2
3
3
3
2
3
BC
CG
,
2
3
3-
BG
BD
GD
1
4.6
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa BGC
Δ
do obliczenie
długości odcinka CD:
2
2
2
GD
CG
CD
3
3
12
2
2
3
3
2
2
3
3
3
2
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
CD
,
12
3 3
CD =
2
5.1
Sporządzenie wykresu funkcji
(skorzystanie z definicji wartości bezwzględnej i sporządzenie
wykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji
2
( )
2
g x
x
x
,
a następnie naszkicowanie wykresu funkcji
( )
(
)
f x
g x
).
2
Zdający
może
rozpatrzyć
dwa
przypadki
i za każdy poprawnie rozwiązany otrzymuje 1 pkt.
Jeśli
jest
prawidłowy
rysunek
to
zdający
otrzymuje 2 pkt.
Przyznajemy 1 punkt jeśli, np.

\n\n

osi Oy,

\n\n

jest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części
wykresu).
5.
5.2
Wskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne
funkcji f i określenie rodzaju ekstremum:
minimum lokalne dla
0
x =
,
maksimum lokalne dla
1
x = - oraz
1
x = .
1
6.1 Wyznaczenie współrzędnych punktu D:
(
)
0 6
D
,
1
6.2
Wyznaczenie współrzędnych punktów A i B:
(
)
(
)
3 0
6 0
A
,
,
B
,
1
6.3 Wyznaczenie długości odcinka CD:
3
CD =
1
6.
6.4 Obliczenie pola trapezu:
9
3 6
36
2
ABCD
P
⋅
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
13

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

k=23 lub k=23 lub k=18

"}]}