{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"4","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (7 pkt)\nTrójkąt prostokątny ABC , w którym\n90\nBCA =\nD\n)\ni\n30\nCAB =\nD\n)\n, jest opisany na okręgu\no promieniu\n3 . Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu\nz przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7","answer":null,"answer_text":"4.1\nSporządzenie poprawnego rysunku, na którym, np.:\nD oznacza punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną,\nE ,F są punktami styczności przyprostokątnych AC i BC trójkąta\nz okręgiem.\n(odcinek CD nie zawiera średnicy okręgu wpisanego w dany\ntrójkąt).\n1\nZdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z\nzaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym\nokręgiem.\n4.2\nWykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży\nw punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. FBO\nΔ\njest\nprostokątny i\n30\nFBO =\nD\n)\n3\nOF =\nstąd\n2 3\nOB =\n1\n4.3 Obliczenie długość odcinka FB z FBO\nΔ\n:\n3\nFB =\n1\n4.4 Obliczenie długość odcinka CB:\n3\n3\nCB\nCF\nFB\n1\n4.\n4.5 Obliczenie długość odcinka DB:\n3\nDB\nBF\nZ własności trójkąta opisanego na okręgu.\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w CBD\nΔ\ndo obliczenie długości\nodcinka CD:\n2\n2\n2\n2\ncos60\nCD\nCB\nDB\nCB\nDB\n⋅\nD,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n3\n3\n3\n2\n3\n3\n3\n12","solution":"$|CD| = \\sqrt{12 + 3\\sqrt{3}}$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 4. (7 pkt)
Trójkąt prostokątny ABC , w którym
90
BCA =
D
)
i
30
CAB =
D
)
, jest opisany na okręgu
o promieniu
3 . Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu
z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
7

","answer_text_html":"

4.1
Sporządzenie poprawnego rysunku, na którym, np.:
D oznacza punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną,
E ,F są punktami styczności przyprostokątnych AC i BC trójkąta
z okręgiem.
(odcinek CD nie zawiera średnicy okręgu wpisanego w dany
trójkąt).
1
Zdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z
zaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym
okręgiem.
4.2
Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży
w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. FBO
Δ
jest
prostokątny i
30
FBO =
D
)
3
OF =
stąd
2 3
OB =
1
4.3 Obliczenie długość odcinka FB z FBO
Δ
:
3
FB =
1
4.4 Obliczenie długość odcinka CB:
3
3
CB
CF
FB
1
4.
4.5 Obliczenie długość odcinka DB:
3
DB
BF
Z własności trójkąta opisanego na okręgu.
1
A
B
D
O
E
C
F
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
5
4.6
Zastosowanie wzoru cosinusów w CBD
Δ
do obliczenie długości
odcinka CD:
2
2
2
2
cos60
CD
CB
DB
CB
DB
⋅
D,
(
)
(
)
2
2
2
1
3
3
3
2
3
3
3
12

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

|CD|=12+33

"}]}