{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nDane są zbiory:\n{\n}\n:\n4\n7\nA\nx\nR\nx\n∈\n≥\n,\n{\n}\n2\n:\n0\nB\nx\nR\nx\n∈\n>\n. Zaznacz na osi liczbowej:\na) zbiór A,\nb) zbiór B,\nc) zbiór\nC\nB A.\na)\nx\n1\n0\nb)\nx\n1\n0\nc)\nx\n1\n0\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n3\nDane są zbiory: A={x: |x-4|>=7}, B={x: x^2>0}. Zaznacz na osi liczbowej: a) zbiór A, b) zbiór B, c) zbiór C=B \\ A","answer":null,"answer_text":"1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania\n1 - 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu\nnadzorującego egzamin.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\)\n\nb) \\(B = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\) (czyli \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}\\))\n\nc) \\(C = B \\setminus A = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\)\n\n## Sposób 1 - analityczne wyznaczenie każdego zbioru\n\n### a) Zbiór A\n\nRozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - 4| \\geq 7\\]\n\nZ własności wartości bezwzględnej (dla \\(r \\geq 0\\)): \\(|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r\\) lub \\(x \\geq a + r\\)\n\nTutaj \\(a = 4\\), \\(r = 7\\), więc:\n\\[x \\leq 4 - 7 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 4 + 7\\]\n\\[x \\leq -3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 11\\]\n\n**Wynik:** \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\)\n\nNa osi: zamalowane strzałki w lewo od \\(-3\\) (z kropką pełną) i w prawo od \\(11\\) (z kropką pełną).\n\n### b) Zbiór B\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\[x^2 > 0\\]\n\nKwadrat liczby jest zawsze nieujemny: \\(x^2 \\geq 0\\). Równa się zero tylko gdy \\(x = 0\\).\n\nZatem \\(x^2 > 0\\) dla **wszystkich \\(x \\neq 0\\)**.\n\n**Wynik:** \\(B = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\), czyli cała oś rzeczywista z wyłączeniem punktu \\(0\\)\n\nNa osi: cała prosta zaznaczona, z pustą kropką (wyjęty punkt) w \\(0\\).\n\n### c) Zbiór C = B \\ A\n\nRóżnica zbiorów \\(B \\setminus A\\) to elementy, które **należą do B**, ale **nie należą do A**.\n\nWyznaczamy dopełnienie A (względem \\(\\mathbb{R}\\)):\n\\[A^C = (-3, 11)\\]\n\nZatem:\n\\[C = B \\setminus A = B \\cap A^C\\]\n\\[C = \\big[(-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\big] \\cap (-3, 11)\\]\n\nPrzecinamy:\n- \\((-\\infty, 0) \\cap (-3, 11) = (-3, 0)\\)\n- \\((0, +\\infty) \\cap (-3, 11) = (0, 11)\\)\n\n**Wynik:** \\(C = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\)\n\nNa osi: odcinek od \\(-3\\) do \\(11\\), z pustymi kropkami (otwarte końce) przy \\(-3\\), \\(0\\) i \\(11\\).\n\n## Sposób 2 - geometryczny (przez szkic na osi)\n\nZamiast liczyć algebraicznie, rysujemy kolejne zbiory i odczytujemy wynik graficznie.\n\n**Krok 1.** Narysuj A: \\(|x - 4| \\geq 7\\) to odległość od punktu \\(4\\) na osi co najmniej \\(7\\). Odliczamy \\(7\\) w lewo: \\(4 - 7 = -3\\), i \\(7\\) w prawo: \\(4 + 7 = 11\\). Zaznaczamy dwie strzałki na zewnątrz - A to \"ogon\" osi po obu stronach.\n\n**Krok 2.** Narysuj B: \\(x^2 > 0\\) - jedynym problemem jest \\(x = 0\\), bo \\(0^2 = 0 \\not> 0\\). Cała prosta poza zerem.\n\n**Krok 3.** Wyznacz \\(C = B \\setminus A\\): zamaluj co jest w B, a wykreśl część A.\n\n\\[\n\\underbrace{(-\\infty,-3\\rangle}_{\\in A} \\quad \\underbrace{(-3,0)}_{\\in B, \\notin A} \\quad \\underbrace{\\{0\\}}_{\\notin B} \\quad \\underbrace{(0,11)}_{\\in B, \\notin A} \\quad \\underbrace{\\langle 11, +\\infty)}_{\\in A}\n\\]\n\nZostaje: \\(C = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\text{ lub } x \\geq a + r\\]\nUżyliśmy tego w punkcie a) do wyznaczenia zbioru A.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - punkt b) wymaga tylko znajomości własności \\(x^2\\), a punkt c) to operacja teoriomnogościowa.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(|x - 4| \\geq 7\\) pamiętaj, że środek przedziału to \\(4\\), nie \\(0\\)! Częsty błąd to liczenie \\(-7 \\leq x \\leq 7\\) - to byłoby dla \\(|x| \\leq 7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór B to **nie jest** \\(\\mathbb{R}\\)! Warunek \\(x^2 > 0\\) wyklucza dokładnie jeden punkt - \\(x = 0\\). Łatwo ten punkt przeoczyć i nieprawidłowo narysować B jako całą prostą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zbiorze C końce przedziału są **otwarte**: \\(-3\\) i \\(11\\) nie należą do C (bo \\(-3, 11 \\in A\\)), a \\(0\\) nie należy do C (bo \\(0 \\notin B\\)). Na osi zawsze zaznaczaj puste kółka przy punktach wyjętych!\n\n**Rozwiązanie (3 pkt)**\n\n### a) Zbiór \\(A = \\{x \\in R : |x-4| \\ge 7\\}\\)\nZapisuję nierówność \\(|x-4| \\ge 7\\) w postaci alternatywy:\n\\[x-4 \\le -7 \\quad \\text{lub} \\quad x-4 \\ge 7.\\]\nRozwiązuję każdą z nich:\n\\[x \\le -3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\ge 11.\\]\nZatem \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) - końce \\(-3\\) i \\(11\\) **zamalowane** (zamknięte).\n\n### b) Zbiór \\(B = \\{x \\in R : x^{2} > 0\\}\\)\nNierówność \\(x^2 > 0\\) spełniona jest dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera:\n\\[B = R \\setminus \\{0\\} = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty).\\]\nNa osi liczbowej - cała oś z wykluczonym punktem \\(x = 0\\) (kółko puste).\n\n### c) Zbiór \\(C = B \\setminus A\\)\nTo zbiór tych \\(x \\in B\\), które **nie należą** do \\(A\\), czyli \\(-3 < x < 11\\) oraz \\(x \\ne 0\\):\n\\[C = (-3, 0) \\cup (0, 11).\\]\nWszystkie końce **otwarte** (puste kółka w \\(-3\\), \\(0\\), \\(11\\)).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (3 pkt)
Dane są zbiory:
{
}
:
4
7
A
x
R
x
∈
≥
,
{
}
2
:
0
B
x
R
x
∈

\n
\n

. Zaznacz na osi liczbowej:
a) zbiór A,
b) zbiór B,
c) zbiór
C
B A.
a)
x
1
0
b)
x
1
0
c)
x
1
0
Nr czynności
1.1.
1.2.
1.3.
Maks. liczba pkt
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
3
Dane są zbiory: A={x: |x-4|>=7}, B={x: x^2>0}. Zaznacz na osi liczbowej: a) zbiór A, b) zbiór B, c) zbiór C=B \\ A

","answer_text_html":"
  1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania
\n

1 - 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\)

\n

b) \\(B = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\) (czyli \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}\\))

\n

c) \\(C = B \\setminus A = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\)

\n

Sposób 1 - analityczne wyznaczenie każdego zbioru

\n
a) Zbiór A
\n

Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:
\\[|x - 4| \\geq 7\\]

\n

Z własności wartości bezwzględnej (dla \\(r \\geq 0\\)): \\(|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r\\) lub \\(x \\geq a + r\\)

\n

Tutaj \\(a = 4\\), \\(r = 7\\), więc:
\\[x \\leq 4 - 7 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 4 + 7\\]
\\[x \\leq -3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 11\\]

\n

Wynik: \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\)

\n

Na osi: zamalowane strzałki w lewo od \\(-3\\) (z kropką pełną) i w prawo od \\(11\\) (z kropką pełną).

\n
b) Zbiór B
\n

Rozwiązujemy nierówność:
\\[x^2 > 0\\]

\n

Kwadrat liczby jest zawsze nieujemny: \\(x^2 \\geq 0\\). Równa się zero tylko gdy \\(x = 0\\).

\n

Zatem \\(x^2 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\neq 0\\).

\n

Wynik: \\(B = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\), czyli cała oś rzeczywista z wyłączeniem punktu \\(0\\)

\n

Na osi: cała prosta zaznaczona, z pustą kropką (wyjęty punkt) w \\(0\\).

\n
c) Zbiór C = B \\ A
\n

Różnica zbiorów \\(B \\setminus A\\) to elementy, które należą do B, ale nie należą do A.

\n

Wyznaczamy dopełnienie A (względem \\(\\mathbb{R}\\)):
\\[A^C = (-3, 11)\\]

\n

Zatem:
\\[C = B \\setminus A = B \\cap A^C\\]
\\[C = \\big[(-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\big] \\cap (-3, 11)\\]

\n

Przecinamy:

\n\n

Wynik: \\(C = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\)

\n

Na osi: odcinek od \\(-3\\) do \\(11\\), z pustymi kropkami (otwarte końce) przy \\(-3\\), \\(0\\) i \\(11\\).

\n

Sposób 2 - geometryczny (przez szkic na osi)

\n

Zamiast liczyć algebraicznie, rysujemy kolejne zbiory i odczytujemy wynik graficznie.

\n

Krok 1. Narysuj A: \\(|x - 4| \\geq 7\\) to odległość od punktu \\(4\\) na osi co najmniej \\(7\\). Odliczamy \\(7\\) w lewo: \\(4 - 7 = -3\\), i \\(7\\) w prawo: \\(4 + 7 = 11\\). Zaznaczamy dwie strzałki na zewnątrz - A to "ogon" osi po obu stronach.

\n

Krok 2. Narysuj B: \\(x^2 > 0\\) - jedynym problemem jest \\(x = 0\\), bo \\(0^2 = 0 \\not> 0\\). Cała prosta poza zerem.

\n

Krok 3. Wyznacz \\(C = B \\setminus A\\): zamaluj co jest w B, a wykreśl część A.

\n

\\[
\\underbrace{(-\\infty,-3\\rangle}{\\in A} \\quad \\underbrace{(-3,0)}{\\in B, \\notin A} \\quad \\underbrace{\\{0\\}}{\\notin B} \\quad \\underbrace{(0,11)}{\\in B, \\notin A} \\quad \\underbrace{\\langle 11, +\\infty)}_{\\in A}
\\]

\n

Zostaje: \\(C = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - nierówność z wartością bezwzględną:
\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\text{ lub } x \\geq a + r\\]
Użyliśmy tego w punkcie a) do wyznaczenia zbioru A.

\n

W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - punkt b) wymaga tylko znajomości własności \\(x^2\\), a punkt c) to operacja teoriomnogościowa.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(|x - 4| \\geq 7\\) pamiętaj, że środek przedziału to \\(4\\), nie \\(0\\)! Częsty błąd to liczenie \\(-7 \\leq x \\leq 7\\) - to byłoby dla \\(|x| \\leq 7\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zbiór B to nie jest \\(\\mathbb{R}\\)! Warunek \\(x^2 > 0\\) wyklucza dokładnie jeden punkt - \\(x = 0\\). Łatwo ten punkt przeoczyć i nieprawidłowo narysować B jako całą prostą.
\n
⚠️ Uwaga: W zbiorze C końce przedziału są otwarte: \\(-3\\) i \\(11\\) nie należą do C (bo \\(-3, 11 \\in A\\)), a \\(0\\) nie należy do C (bo \\(0 \\notin B\\)). Na osi zawsze zaznaczaj puste kółka przy punktach wyjętych!
\n

Rozwiązanie (3 pkt)

\n
a) Zbiór \\(A = \\{x \\in R : |x-4| \\ge 7\\}\\)
\n

Zapisuję nierówność \\(|x-4| \\ge 7\\) w postaci alternatywy:
\\[x-4 \\le -7 \\quad \\text{lub} \\quad x-4 \\ge 7.\\]
Rozwiązuję każdą z nich:
\\[x \\le -3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\ge 11.\\]
Zatem \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) - końce \\(-3\\) i \\(11\\) zamalowane (zamknięte).

\n
b) Zbiór \\(B = \\{x \\in R : x^{2} > 0\\}\\)
\n

Nierówność \\(x^2 > 0\\) spełniona jest dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera:
\\[B = R \\setminus \\{0\\} = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty).\\]
Na osi liczbowej - cała oś z wykluczonym punktem \\(x = 0\\) (kółko puste).

\n
c) Zbiór \\(C = B \\setminus A\\)
\n

To zbiór tych \\(x \\in B\\), które nie należą do \\(A\\), czyli \\(-3 < x < 11\\) oraz \\(x \\ne 0\\):
\\[C = (-3, 0) \\cup (0, 11).\\]
Wszystkie końce otwarte (puste kółka w \\(-3\\), \\(0\\), \\(11\\)).

"}]}