{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nLiczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu\n30\n2\n)\n(\n2\n3\nbx\nax\nx\nx\nW\na) Wyznacz wartości współczynników a i b.\nb) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\n10.5.\n10.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n12\nLiczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu W(x)=2x^3+ax^2+bx+30. a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.","answer":null,"answer_text":"10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.\nZamaluj\npola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne\nzaznaczenie otocz kółkiem\ni zaznacz właściwe.\nŻyczymy powodzenia!\nARKUSZ I\nMAJ\nROK 2006\nZa rozwiązanie\nwszystkich zadań\nmożna otrzymać\nłącznie\n50 punktów\nWypełnia zdający przed\nrozpoczęciem pracy\nPESEL ZDAJĄCEGO\nKOD\nZDAJĄCEGO\nMiejsce\nna naklejkę\nz kodem szkoły\nArkusz I\n2\nZadanie 1. (3 pkt)\nDane są zbiory:\n{\n}\n:\n4\n7\nA\nx\nR\nx\n∈\n≥\n,\n{\n}\n2\n:\n0\nB\nx\nR\nx\n∈\n>\n. Zaznacz na osi liczbowej:\na) zbiór A,\nb) zbiór B,\nc) zbiór\nC\nB A.\na)\nZapisuję nierówność\n4\n7\nx -\n≥\nw postaci alternatywy nierówności:\n4\n7\nx -\n≤- lub\n4\n7\nx -\n≥\ni rozwiązuję każdą z nich.\n3\nx ≤- lub\n11\nx ≥\nZaznaczam na osi liczbowej zbiór A.\nb)\nRozwiązuję nierówność\n2\n0\nx >\n0\nx ≠\nZaznaczam na osi liczbowej zbiór B.\nc)\nZaznaczam na osi liczbowej zbiór C.\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a = -14\\), \\(b = 14\\)\n\n**b)** Trzeci pierwiastek: \\(x_3 = 5\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie pierwiastków do równania (układ równań)\n\n**Kluczowy fakt:** jeśli \\(x_0\\) jest pierwiastkiem wielomianu, to \\(W(x_0) = 0\\).\n\nKorzystamy z tego dla obu znanych pierwiastków.\n\n**Pierwiastek \\(x = 3\\):**\n\n\\[W(3) = 2 \\cdot 27 + a \\cdot 9 + b \\cdot 3 + 30 = 0\\]\n\\[54 + 9a + 3b + 30 = 0\\]\n\\[9a + 3b = -84\\]\n\\[3a + b = -28 \\quad \\text{(równanie I)}\\]\n\n**Pierwiastek \\(x = -1\\):**\n\n\\[W(-1) = 2 \\cdot (-1) + a \\cdot 1 + b \\cdot (-1) + 30 = 0\\]\n\\[-2 + a - b + 30 = 0\\]\n\\[a - b = -28 \\quad \\text{(równanie II)}\\]\n\n**Rozwiązujemy układ:**\n\n\\[\\begin{cases} 3a + b = -28 \\\\ a - b = -28 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy stronami:\n\\[4a = -56 \\implies \\boxed{a = -14}\\]\n\nPodstawiamy do równania II:\n\\[-14 - b = -28 \\implies \\boxed{b = 14}\\]\n\nWielomian ma postać: \\(W(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30\\)\n\n**Szybka weryfikacja:**\n\\[W(3) = 54 - 126 + 42 + 30 = 0 \\checkmark\\]\n\\[W(-1) = -2 - 14 - 14 + 30 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Część b) - trzeci pierwiastek ze wzorów Viète'a:**\n\nDla wielomianu \\(2x^3 + ax^2 + bx + c\\) o pierwiastkach \\(x_1, x_2, x_3\\) zachodzi:\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -\\frac{a}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 = -\\frac{c}{2} = -\\frac{30}{2} = -15\\]\n\nMamy \\(x_1 = 3\\), \\(x_2 = -1\\), zatem:\n\\[3 + (-1) + x_3 = 7 \\implies \\boxed{x_3 = 5}\\]\n\nSprawdzenie iloczynem: \\(3 \\cdot (-1) \\cdot 5 = -15\\) ✓\n\n## Sposób 2 - dzielenie wielomianu przez iloczyn \\((x-3)(x+1)\\)\n\nSkoro \\(3\\) i \\(-1\\) są pierwiastkami, to wielomian dzieli się przez:\n\\[(x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3\\]\n\nDzielimy \\(W(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30\\) przez \\(x^2 - 2x - 3\\).\n\nSzukamy \\(q(x) = 2x + r\\) takiego, że:\n\\[(x^2 - 2x - 3)(2x + r) = 2x^3 + (r-4)x^2 + (-2r-6)x - 3r\\]\n\nPorównujemy współczynniki:\n\\[r - 4 = -14 \\implies r = -10\\]\n\\[-2(-10) - 6 = 14 \\checkmark\\]\n\\[-3(-10) = 30 \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[W(x) = (x^2 - 2x - 3)(2x - 10) = 2(x-3)(x+1)(x-5)\\]\n\nTrzeci pierwiastek to \\(\\boxed{x_3 = 5}\\), bo \\(W(5) = 2(5-3)(5+1)(5-5) = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nNa maturze karta podaje je dla trójmianu kwadratowego, ale zasada uogólnia się na wielomiany wyższych stopni - dla \\(2x^3 + ax^2 + bx + c\\):\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -\\frac{a}{2}, \\quad x_1 x_2 x_3 = -\\frac{c}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_3\\).\n\n> Wzorów Viète'a dla wielomianów stopnia 3 karta nie zawiera wprost - warto je znać jako rozszerzenie wzorów dla kwadratyków!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(W(-1)\\) bardzo łatwo zgubić znak - pamiętaj, że \\((-1)^2 = 1\\), ale \\((-1)^3 = -1\\). Sprawdź każdy wyraz osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory Viète'a dla wielomianu \\(2x^3 + ax^2 + \\ldots\\) mają **mianownik 2** (współczynnik wiodący), nie 1. Zapomnienie o tym daje błędny wynik \\(x_1 + x_2 + x_3 = -a\\) zamiast \\(-\\frac{a}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 uważaj na znak przy \\(b\\) - równanie z \\(W(-1) = 0\\) daje \\(-b\\), nie \\(+b\\). To klasyczne źródło błędu w znaku.\n\n**Rozwiązanie (6 pkt)**\n\n### a) Wyznaczanie \\(a, b\\) - twierdzenie Bézouta\nSkoro \\(3\\) i \\(-1\\) są pierwiastkami, to \\(W(3) = 0\\) i \\(W(-1) = 0\\).\n\n\\[W(3) = 2\\cdot 27 + 9a + 3b + 30 = 54 + 9a + 3b + 30 = 9a + 3b + 84 = 0.\\]\n\\[W(-1) = -2 + a - b + 30 = a - b + 28 = 0.\\]\n\n### Rozwiązuję układ równań\n\\[\\begin{cases} 9a + 3b + 84 = 0 \\\\ a - b + 28 = 0 \\end{cases}\\]\nZ drugiego równania: \\(b = a + 28\\). Podstawiam do pierwszego:\n\\[9a + 3(a + 28) + 84 = 0\\]\n\\[9a + 3a + 84 + 84 = 0 \\Rightarrow 12a = -168 \\Rightarrow a = -14.\\]\n\\[b = -14 + 28 = 14.\\]\n\n**Wniosek:** \\(a = -14\\), \\(b = 14\\), stąd \\(W(x) = 2x^{3} - 14x^{2} + 14x + 30\\).\n\n### b) Trzeci pierwiastek\nWielomian \\(W(x)\\) dzielimy przez \\((x-3)(x+1) = x^{2} - 2x - 3\\):\n\\[(2x^{3} - 14x^{2} + 14x + 30) : (x^{2} - 2x - 3) = 2x - 10.\\]\n\nTrzeci pierwiastek z równania \\(2x - 10 = 0\\):\n\\[x = 5.\\]\n\n**Odp.:** \\(a = -14\\), \\(b = 14\\); trzeci pierwiastek to \\(x = 5\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (6 pkt)
Liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu
30
2
)
(
2
3
bx
ax
x
x
W
a) Wyznacz wartości współczynników a i b.
b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Nr czynności
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
12
Liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu W(x)=2x^3+ax^2+bx+30. a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

","answer_text_html":"
  1. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
\n

Zamaluj
pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
Życzymy powodzenia!
ARKUSZ I
MAJ
ROK 2006
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
Arkusz I
2
Zadanie 1. (3 pkt)
Dane są zbiory:
{
}
:
4
7
A
x
R
x
∈
≥
,
{
}
2
:
0
B
x
R
x
∈

\n
\n

. Zaznacz na osi liczbowej:
a) zbiór A,
b) zbiór B,
c) zbiór
C
B A.
a)
Zapisuję nierówność
4
7
x -
≥
w postaci alternatywy nierówności:
4
7
x -
≤- lub
4
7
x -
≥
i rozwiązuję każdą z nich.
3
x ≤- lub
11
x ≥
Zaznaczam na osi liczbowej zbiór A.
b)
Rozwiązuję nierówność
2
0
x >
0
x ≠
Zaznaczam na osi liczbowej zbiór B.
c)
Zaznaczam na osi liczbowej zbiór C.
Nr czynności
1.1.
1.2.
1.3.
Maks. liczba pkt
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(a = -14\\), \\(b = 14\\)

\n

b) Trzeci pierwiastek: \\(x_3 = 5\\)

\n

Sposób 1 - podstawienie pierwiastków do równania (układ równań)

\n

Kluczowy fakt: jeśli \\(x_0\\) jest pierwiastkiem wielomianu, to \\(W(x_0) = 0\\).

\n

Korzystamy z tego dla obu znanych pierwiastków.

\n

Pierwiastek \\(x = 3\\):

\n

\\[W(3) = 2 \\cdot 27 + a \\cdot 9 + b \\cdot 3 + 30 = 0\\]
\\[54 + 9a + 3b + 30 = 0\\]
\\[9a + 3b = -84\\]
\\[3a + b = -28 \\quad \\text{(równanie I)}\\]

\n

Pierwiastek \\(x = -1\\):

\n

\\[W(-1) = 2 \\cdot (-1) + a \\cdot 1 + b \\cdot (-1) + 30 = 0\\]
\\[-2 + a - b + 30 = 0\\]
\\[a - b = -28 \\quad \\text{(równanie II)}\\]

\n

Rozwiązujemy układ:

\n

\\[\\begin{cases} 3a + b = -28 \\\\ a - b = -28 \\end{cases}\\]

\n

Dodajemy stronami:
\\[4a = -56 \\implies \\boxed{a = -14}\\]

\n

Podstawiamy do równania II:
\\[-14 - b = -28 \\implies \\boxed{b = 14}\\]

\n

Wielomian ma postać: \\(W(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30\\)

\n

Szybka weryfikacja:
\\[W(3) = 54 - 126 + 42 + 30 = 0 \\checkmark\\]
\\[W(-1) = -2 - 14 - 14 + 30 = 0 \\checkmark\\]

\n

Część b) - trzeci pierwiastek ze wzorów Viète'a:

\n

Dla wielomianu \\(2x^3 + ax^2 + bx + c\\) o pierwiastkach \\(x_1, x_2, x_3\\) zachodzi:
\\[x_1 + x_2 + x_3 = -\\frac{a}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]
\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 = -\\frac{c}{2} = -\\frac{30}{2} = -15\\]

\n

Mamy \\(x_1 = 3\\), \\(x_2 = -1\\), zatem:
\\[3 + (-1) + x_3 = 7 \\implies \\boxed{x_3 = 5}\\]

\n

Sprawdzenie iloczynem: \\(3 \\cdot (-1) \\cdot 5 = -15\\) ✓

\n

Sposób 2 - dzielenie wielomianu przez iloczyn \\((x-3)(x+1)\\)

\n

Skoro \\(3\\) i \\(-1\\) są pierwiastkami, to wielomian dzieli się przez:
\\[(x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3\\]

\n

Dzielimy \\(W(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30\\) przez \\(x^2 - 2x - 3\\).

\n

Szukamy \\(q(x) = 2x + r\\) takiego, że:
\\[(x^2 - 2x - 3)(2x + r) = 2x^3 + (r-4)x^2 + (-2r-6)x - 3r\\]

\n

Porównujemy współczynniki:
\\[r - 4 = -14 \\implies r = -10\\]
\\[-2(-10) - 6 = 14 \\checkmark\\]
\\[-3(-10) = 30 \\checkmark\\]

\n

Zatem:
\\[W(x) = (x^2 - 2x - 3)(2x - 10) = 2(x-3)(x+1)(x-5)\\]

\n

Trzeci pierwiastek to \\(\\boxed{x_3 = 5}\\), bo \\(W(5) = 2(5-3)(5+1)(5-5) = 0\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Na maturze karta podaje je dla trójmianu kwadratowego, ale zasada uogólnia się na wielomiany wyższych stopni - dla \\(2x^3 + ax^2 + bx + c\\):
\\[x_1 + x_2 + x_3 = -\\frac{a}{2}, \\quad x_1 x_2 x_3 = -\\frac{c}{2}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_3\\).

\n
Wzorów Viète'a dla wielomianów stopnia 3 karta nie zawiera wprost - warto je znać jako rozszerzenie wzorów dla kwadratyków!
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(W(-1)\\) bardzo łatwo zgubić znak - pamiętaj, że \\((-1)^2 = 1\\), ale \\((-1)^3 = -1\\). Sprawdź każdy wyraz osobno.
\n
⚠️ Uwaga: Wzory Viète'a dla wielomianu \\(2x^3 + ax^2 + \\ldots\\) mają mianownik 2 (współczynnik wiodący), nie 1. Zapomnienie o tym daje błędny wynik \\(x_1 + x_2 + x_3 = -a\\) zamiast \\(-\\frac{a}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 uważaj na znak przy \\(b\\) - równanie z \\(W(-1) = 0\\) daje \\(-b\\), nie \\(+b\\). To klasyczne źródło błędu w znaku.
\n

Rozwiązanie (6 pkt)

\n
a) Wyznaczanie \\(a, b\\) - twierdzenie Bézouta
\n

Skoro \\(3\\) i \\(-1\\) są pierwiastkami, to \\(W(3) = 0\\) i \\(W(-1) = 0\\).

\n

\\[W(3) = 2\\cdot 27 + 9a + 3b + 30 = 54 + 9a + 3b + 30 = 9a + 3b + 84 = 0.\\]
\\[W(-1) = -2 + a - b + 30 = a - b + 28 = 0.\\]

\n
Rozwiązuję układ równań
\n

\\[\\begin{cases} 9a + 3b + 84 = 0 \\\\ a - b + 28 = 0 \\end{cases}\\]
Z drugiego równania: \\(b = a + 28\\). Podstawiam do pierwszego:
\\[9a + 3(a + 28) + 84 = 0\\]
\\[9a + 3a + 84 + 84 = 0 \\Rightarrow 12a = -168 \\Rightarrow a = -14.\\]
\\[b = -14 + 28 = 14.\\]

\n

Wniosek: \\(a = -14\\), \\(b = 14\\), stąd \\(W(x) = 2x^{3} - 14x^{2} + 14x + 30\\).

\n
b) Trzeci pierwiastek
\n

Wielomian \\(W(x)\\) dzielimy przez \\((x-3)(x+1) = x^{2} - 2x - 3\\):
\\[(2x^{3} - 14x^{2} + 14x + 30) : (x^{2} - 2x - 3) = 2x - 10.\\]

\n

Trzeci pierwiastek z równania \\(2x - 10 = 0\\):
\\[x = 5.\\]

\n

Odp.: \\(a = -14\\), \\(b = 14\\); trzeci pierwiastek to \\(x = 5\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = -14$, $b = 14$, trzeci pierwiastek: $x = 5$

"}]}