{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nSumę\n307\n304\n3\n304\n301\n3\n10\n7\n3\n7\n4\n3\n4\n1\n3\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nS\nmożna obliczyć w następujący sposób:\na) sumę S zapisujemy w postaci\n4\n1\n7\n4\n10\n7\n304\n301\n307\n304\n4 1\n7 4\n10 7\n304 301\n307 304\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nS\nb) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n304\n307\n304\n304\n307\n307\n301\n304\n301\n301\n304\n304\n7\n10\n7\n7\n10\n10\n4\n7\n4\n4\n7\n7\n1\n4\n1\n1\n4\n4\nS\nstąd\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛-\n307\n1\n304\n1\n304\n1\n301\n1\n10\n1\n7\n1\n7\n1\n4\n1\n4\n1\n1\nS\nwięc\n307\n1\n304\n1\n304\n1\n301\n1\n10\n1\n7\n1\n7\n1\n4\n1\n4\n1\n1\nS\nc) obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim\n1\n306\n1\n307\n307\nS\nPostępując w analogiczny sposób, oblicz sumę\n1\n4\n4\n4\n4\n1 5\n5 9\n9 13\n281 285\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nS\n\nArkusz I\n13\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n14\nBRUDNOPIS\nSumę można obliczyć w następujący sposób: a) sumę S zapisujemy w postaci b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków c) obliczamy sumę redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S_1 = \\dfrac{284}{285}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na różnicę ułamków (teleskop)\n\n**Obserwacja:** Mianowniki kolejnych składników tworzą ciąg arytmetyczny: \\(1, 5, 9, 13, \\ldots, 281, 285\\) o różnicy \\(4\\). Ogólny wyraz sumy to:\n\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}, \\quad k = 1, 2, 3, \\ldots\\]\n\n**Kluczowy rozkład** (analogiczny do wskazówki w zadaniu):\n\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\]\n\nSprawdzamy: \\(\\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1} = \\frac{(4k+1)-(4k-3)}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}\\) ✓\n\n**Ile jest wyrazów?** Ostatni wyraz ma \\(4k - 3 = 281\\), czyli \\(k = 71\\). Suma ma **71 wyrazów**.\n\n**Zapisujemy sumę teleskopową:**\n\\[S_1 = \\sum_{k=1}^{71}\\left(\\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\right)\\]\n\nRozwijamy kolejne składniki:\n\n\\[\n\\left(\\frac{1}{1} - \\frac{1}{5}\\right)\n+ \\left(\\frac{1}{5} - \\frac{1}{9}\\right)\n+ \\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{13}\\right)\n+ \\ldots\n+ \\left(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{285}\\right)\n\\]\n\nKażdy wyraz oprócz pierwszego i ostatniego **canceluje się** z sąsiednim:\n\n\\[S_1 = \\frac{1}{1} - \\frac{1}{285} = 1 - \\frac{1}{285}\\]\n\n\\[\\boxed{S_1 = \\frac{285 - 1}{285} = \\frac{284}{285}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pierwsze wyrazy (rozkład częściowy)\n\nSprawdzamy poprawność rozkładu na ułamki proste. Szukamy \\(A, B\\) takich, że:\n\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{A}{4k-3} + \\frac{B}{4k+1}\\]\n\nPrzemnażamy obie strony przez \\((4k-3)(4k+1)\\):\n\\[4 = A(4k+1) + B(4k-3)\\]\n\n- Podstawiamy \\(4k-3 = 0\\), tj. \\(k = \\frac{3}{4}\\): \\(4 = A \\cdot 4 \\Rightarrow A = 1\\)\n- Podstawiamy \\(4k+1 = 0\\), tj. \\(k = -\\frac{1}{4}\\): \\(4 = B \\cdot (-4) \\Rightarrow B = -1\\)\n\nZatem: \\(\\dfrac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\dfrac{1}{4k-3} - \\dfrac{1}{4k+1}\\) ✓\n\n**Weryfikacja liczbowa na 3 wyrazach:**\n\\[\n\\frac{4}{1\\cdot 5} + \\frac{4}{5\\cdot 9} + \\frac{4}{9\\cdot 13}\n= \\left(1 - \\frac{1}{5}\\right) + \\left(\\frac{1}{5} - \\frac{1}{9}\\right) + \\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{13}\\right)\n= 1 - \\frac{1}{13} = \\frac{12}{13}\n\\]\n\nSprawdzamy bezpośrednio: \\(\\frac{4}{5} + \\frac{4}{45} + \\frac{4}{117} = \\frac{4 \\cdot 9 \\cdot 13 + 4 \\cdot 13 + 4 \\cdot 5}{585} = \\frac{468 + 52 + 20}{585} = \\frac{540}{585} = \\frac{12}{13}\\) ✓\n\nMechanizm teleskopowy działa poprawnie - wynik dla całej sumy to \\(\\dfrac{284}{285}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne rozkładanie na ułamki proste i obserwacja struktury sumy teleskopowej. Jedyne narzędzie to podstawowe działania na ułamkach oraz rozpoznanie różnicy jako sumy \"składanej\" (teleskop).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić co do **ostatniego wyrazu** sumy. Trzeba sprawdzić, że \\(281 = 4k-3\\) daje \\(k = 71\\), więc ostatni wyraz teleskopowy to \\(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{285}\\), a nie \\(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{284}\\) czy inne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma **nie** wynosi \\(\\frac{280}{281}\\) - to błąd wynikający z wzięcia za ostatni element mianownik \\(281\\) zamiast \\(285\\). Zawsze sprawdź, jaką wartość przyjmuje *drugi czynnik* w ostatnim mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krok \\(\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\) działa **tylko dlatego**, że różnica między czynnikami w mianowniku wynosi dokładnie \\(4\\) (tyle samo, co licznik). W przykładzie wzorcowym było analogicznie: różnica \\(4-1=3\\) i licznik \\(3\\).\n\n**Rozwiązanie (3 pkt)**\n\n### Zapisuję licznik \\(4\\) jako różnicę\nZauważam, że \\(4 = 5-1 = 9-5 = 13-9 = \\ldots = 285-281\\). Zatem\n\\[S_{1} = \\dfrac{5-1}{1\\cdot 5} + \\dfrac{9-5}{5\\cdot 9} + \\dfrac{13-9}{9\\cdot 13} + \\ldots + \\dfrac{285-281}{281\\cdot 285}.\\]\n\n### Każdy składnik jako różnica ułamków\n\\[\\dfrac{5-1}{1\\cdot 5} = \\dfrac{5}{5\\cdot 1} - \\dfrac{1}{5\\cdot 1} = 1 - \\dfrac{1}{5},\\]\n\\[\\dfrac{9-5}{5\\cdot 9} = \\dfrac{1}{5} - \\dfrac{1}{9},\\]\n\\[\\dfrac{13-9}{9\\cdot 13} = \\dfrac{1}{9} - \\dfrac{1}{13}, \\ldots\\]\n\\[\\dfrac{285-281}{281\\cdot 285} = \\dfrac{1}{281} - \\dfrac{1}{285}.\\]\n\n### Sumuję (suma teleskopowa)\n\\[S_{1} = \\left(1 - \\dfrac{1}{5}\\right) + \\left(\\dfrac{1}{5} - \\dfrac{1}{9}\\right) + \\left(\\dfrac{1}{9} - \\dfrac{1}{13}\\right) + \\ldots + \\left(\\dfrac{1}{281} - \\dfrac{1}{285}\\right).\\]\nRedukując parami wyrazy sąsiednie (oprócz pierwszego i ostatniego):\n\\[S_{1} = 1 - \\dfrac{1}{285} = \\dfrac{284}{285}.\\]\n\n**Odp.:** \\(S_{1} = \\dfrac{284}{285}\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (3 pkt)
Sumę
307
304
3
304
301
3
10
7
3
7
4
3
4
1
3
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
S
można obliczyć w następujący sposób:
a) sumę S zapisujemy w postaci
4
1
7
4
10
7
304
301
307
304
4 1
7 4
10 7
304 301
307 304
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
S
b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
304
307
304
304
307
307
301
304
301
301
304
304
7
10
7
7
10
10
4
7
4
4
7
7
1
4
1
1
4
4
S
stąd
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛-
307
1
304
1
304
1
301
1
10
1
7
1
7
1
4
1
4
1
1
S
więc
307
1
304
1
304
1
301
1
10
1
7
1
7
1
4
1
4
1
1
S
c) obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim
1
306
1
307
307
S
Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę
1
4
4
4
4
1 5
5 9
9 13
281 285
⋅
⋅
⋅
⋅
S

\n

Arkusz I
13
Nr czynności
11.1.
11.2.
11.3.
Maks. liczba pkt
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
14
BRUDNOPIS
Sumę można obliczyć w następujący sposób: a) sumę S zapisujemy w postaci b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków c) obliczamy sumę redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(S_1 = \\dfrac{284}{285}\\)

\n

Sposób 1 - Rozkład na różnicę ułamków (teleskop)

\n

Obserwacja: Mianowniki kolejnych składników tworzą ciąg arytmetyczny: \\(1, 5, 9, 13, \\ldots, 281, 285\\) o różnicy \\(4\\). Ogólny wyraz sumy to:
\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}, \\quad k = 1, 2, 3, \\ldots\\]

\n

Kluczowy rozkład (analogiczny do wskazówki w zadaniu):
\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\]

\n

Sprawdzamy: \\(\\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1} = \\frac{(4k+1)-(4k-3)}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}\\) ✓

\n

Ile jest wyrazów? Ostatni wyraz ma \\(4k - 3 = 281\\), czyli \\(k = 71\\). Suma ma 71 wyrazów.

\n

Zapisujemy sumę teleskopową:
\\[S_1 = \\sum_{k=1}^{71}\\left(\\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\right)\\]

\n

Rozwijamy kolejne składniki:

\n

\\[
\\left(\\frac{1}{1} - \\frac{1}{5}\\right)

\n\n

\\]

\n

Każdy wyraz oprócz pierwszego i ostatniego canceluje się z sąsiednim:

\n

\\[S_1 = \\frac{1}{1} - \\frac{1}{285} = 1 - \\frac{1}{285}\\]

\n

\\[\\boxed{S_1 = \\frac{285 - 1}{285} = \\frac{284}{285}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez pierwsze wyrazy (rozkład częściowy)

\n

Sprawdzamy poprawność rozkładu na ułamki proste. Szukamy \\(A, B\\) takich, że:
\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{A}{4k-3} + \\frac{B}{4k+1}\\]

\n

Przemnażamy obie strony przez \\((4k-3)(4k+1)\\):
\\[4 = A(4k+1) + B(4k-3)\\]

\n\n

Zatem: \\(\\dfrac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\dfrac{1}{4k-3} - \\dfrac{1}{4k+1}\\) ✓

\n

Weryfikacja liczbowa na 3 wyrazach:
\\[
\\frac{4}{1\\cdot 5} + \\frac{4}{5\\cdot 9} + \\frac{4}{9\\cdot 13}
= \\left(1 - \\frac{1}{5}\\right) + \\left(\\frac{1}{5} - \\frac{1}{9}\\right) + \\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{13}\\right)
= 1 - \\frac{1}{13} = \\frac{12}{13}
\\]

\n

Sprawdzamy bezpośrednio: \\(\\frac{4}{5} + \\frac{4}{45} + \\frac{4}{117} = \\frac{4 \\cdot 9 \\cdot 13 + 4 \\cdot 13 + 4 \\cdot 5}{585} = \\frac{468 + 52 + 20}{585} = \\frac{540}{585} = \\frac{12}{13}\\) ✓

\n

Mechanizm teleskopowy działa poprawnie - wynik dla całej sumy to \\(\\dfrac{284}{285}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie korzystamy z konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne rozkładanie na ułamki proste i obserwacja struktury sumy teleskopowej. Jedyne narzędzie to podstawowe działania na ułamkach oraz rozpoznanie różnicy jako sumy "składanej" (teleskop).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się pomylić co do ostatniego wyrazu sumy. Trzeba sprawdzić, że \\(281 = 4k-3\\) daje \\(k = 71\\), więc ostatni wyraz teleskopowy to \\(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{285}\\), a nie \\(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{284}\\) czy inne.
\n
⚠️ Uwaga: Suma nie wynosi \\(\\frac{280}{281}\\) - to błąd wynikający z wzięcia za ostatni element mianownik \\(281\\) zamiast \\(285\\). Zawsze sprawdź, jaką wartość przyjmuje drugi czynnik w ostatnim mianowniku.
\n
⚠️ Uwaga: Krok \\(\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\) działa tylko dlatego, że różnica między czynnikami w mianowniku wynosi dokładnie \\(4\\) (tyle samo, co licznik). W przykładzie wzorcowym było analogicznie: różnica \\(4-1=3\\) i licznik \\(3\\).
\n

Rozwiązanie (3 pkt)

\n
Zapisuję licznik \\(4\\) jako różnicę
\n

Zauważam, że \\(4 = 5-1 = 9-5 = 13-9 = \\ldots = 285-281\\). Zatem
\\[S_{1} = \\dfrac{5-1}{1\\cdot 5} + \\dfrac{9-5}{5\\cdot 9} + \\dfrac{13-9}{9\\cdot 13} + \\ldots + \\dfrac{285-281}{281\\cdot 285}.\\]

\n
Każdy składnik jako różnica ułamków
\n

\\[\\dfrac{5-1}{1\\cdot 5} = \\dfrac{5}{5\\cdot 1} - \\dfrac{1}{5\\cdot 1} = 1 - \\dfrac{1}{5},\\]
\\[\\dfrac{9-5}{5\\cdot 9} = \\dfrac{1}{5} - \\dfrac{1}{9},\\]
\\[\\dfrac{13-9}{9\\cdot 13} = \\dfrac{1}{9} - \\dfrac{1}{13}, \\ldots\\]
\\[\\dfrac{285-281}{281\\cdot 285} = \\dfrac{1}{281} - \\dfrac{1}{285}.\\]

\n
Sumuję (suma teleskopowa)
\n

\\[S_{1} = \\left(1 - \\dfrac{1}{5}\\right) + \\left(\\dfrac{1}{5} - \\dfrac{1}{9}\\right) + \\left(\\dfrac{1}{9} - \\dfrac{1}{13}\\right) + \\ldots + \\left(\\dfrac{1}{281} - \\dfrac{1}{285}\\right).\\]
Redukując parami wyrazy sąsiednie (oprócz pierwszego i ostatniego):
\\[S_{1} = 1 - \\dfrac{1}{285} = \\dfrac{284}{285}.\\]

\n

Odp.: \\(S_{1} = \\dfrac{284}{285}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$S_{1} = \\dfrac{284}{285}$

"}]}