{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nW wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę.\nWychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz\nprawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające\nokolicę.\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n4\nW wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.","answer":null,"answer_text":"2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to\nprzeznaczonym.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie układów typów\n\n**Oznaczenia:** P = reklama proszku do prania (3 reklamy), Z = reklama pasty do zębów (2 reklamy).\n\n**Przestrzeń zdarzeń** - wszystkie kolejności 5 reklam (są od siebie różne):\n\\[\\left|\\Omega\\right| = 5! = 120\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające** - żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie sąsiadują ze sobą, tzn. żadne dwie P nie są obok siebie ORAZ żadne dwie Z nie są obok siebie.\n\nSzukamy wszystkich ustawień typów (P lub Z) spełniających oba warunki. Mamy do rozlokowania 3 P i 2 Z w 5 miejscach. Sprawdzamy wszystkie \\(\\binom{5}{2} = 10\\) sposobów rozmieszczenia Z's:\n\n| Pozycje Z | Ciąg typów | Ocena |\n| (1,2) | Z Z P P P | ✗ Z sąsiadują |\n| (1,3) | Z P Z P P | ✗ P na poz. 4,5 sąsiadują |\n| (1,4) | Z P P Z P | ✗ P na poz. 2,3 sąsiadują |\n| (1,5) | Z P P P Z | ✗ P sąsiadują |\n| (2,3) | P Z Z P P | ✗ Z sąsiadują |\n| **(2,4)** | **P Z P Z P** | **✓ brak sąsiedztw!** |\n| (2,5) | P Z P P Z | ✗ P na poz. 3,4 sąsiadują |\n| (3,4) | P P Z Z P | ✗ P i Z sąsiadują |\n| (3,5) | P P Z P Z | ✗ P na poz. 1,2 sąsiadują |\n| (4,5) | P P P Z Z | ✗ wielokrotne sąsiedztwa |\n\n**Jedyny poprawny układ typów to P Z P Z P** - ściśle naprzemienny.\n\nTeraz liczymy konkretne reklamy w tym układzie:\n- 3 reklamy proszków na pozycjach 1, 3, 5: \\(3! = 6\\) sposobów\n- 2 reklamy past na pozycjach 2, 4: \\(2! = 2\\) sposoby\n\n\\[|A| = 1 \\times 3! \\times 2! = 1 \\times 6 \\times 2 = 12\\]\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{120} = \\frac{1}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wstawianie past między proszkami\n\n**Krok 1.** Ustawiamy 3 reklamy proszków w pewnej kolejności - to tworzy szkielet:\n\n\\[3! = 6 \\text{ sposobów}\\]\n\nMiędzy nimi (i na krańcach) powstają 4 luki:\n\n\\[\\underbrace{\\_}_{(1)} \\; P \\; \\underbrace{\\_}_{(2)} \\; P \\; \\underbrace{\\_}_{(3)} \\; P \\; \\underbrace{\\_}_{(4)}\\]\n\n**Krok 2.** Chcemy umieścić 2 reklamy past tak, by żadne dwa P nie sąsiadowały i żadne dwa Z nie sąsiadowały.\n\n- Aby P nie sąsiadowały - **każda ze środkowych luk (2) i (3) musi dostać co najmniej jedno Z**.\n- Mamy tylko 2 Z-ki, więc każda ze środkowych luk dostaje dokładnie jedno Z - luki (1) i (4) muszą pozostać puste.\n- Wtedy automatycznie Z-ki nie sąsiadują ze sobą (oddziela je P).\n\nObie pasty trafiają do luk (2) i (3) - można je przypisać na \\(2! = 2\\) sposoby.\n\n\\[|A| = 3! \\times 2! = 6 \\times 2 = 12\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{12}{5!} = \\frac{12}{120} = \\boxed{\\frac{1}{10}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - permutacje i kombinacje:\n\n\\[n! = 1 \\cdot 2 \\cdot \\ldots \\cdot n, \\qquad \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nUżyliśmy \\(5! = 120\\) jako liczby wszystkich ustawień (przestrzeń zdarzeń) oraz \\(\\binom{5}{2} = 10\\) w Sposobie 1 do wyliczenia możliwych rozmieszczień past.\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy wprost: \\(P(A) = \\frac{12}{120}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to policzenie tylko warunku „żadne dwa proszki nie sąsiadują\" i zapomnienie o warunku dla past. Gdybyśmy wymagali tylko, żeby proszki nie sąsiadowały - wyników byłoby więcej i odpowiedź byłaby błędna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi, że reklamy są **różne** (różnych proszków, różnych past) - dlatego poprawna przestrzeń to \\(5! = 120\\), a nie \\(\\binom{5}{3}\\) (które liczyłoby nieuporządkowane rozmieszczenia typów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynym możliwym wzorcem typów jest P-Z-P-Z-P. Uczniowie często próbują liczyć dopełnienie (ile układów jest „złych\") - tu jednak łatwiej policzyć wprost, bo dobrych jest bardzo mało.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).\n\n### Sposób 1 - Model klasyczny (wszystkie permutacje 5 reklam)\n\n**Moc przestrzeni zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\):**\nLosujemy dowolną kolejność 5 różnych reklam:\n\\[|\\Omega| = 5! = 120.\\]\n\n**Moc zdarzenia \\(A\\) - reklamy tego samego rodzaju nie sąsiadują:**\nAby żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie były obok siebie, proszki (P) i pasty (Z) muszą się przeplatać. Mamy 3 proszki i 2 pasty (3 + 2 = 5). Jedyny możliwy schemat (naprzemienny), który unika sąsiednich proszków i sąsiednich past:\n\\[P\\,Z\\,P\\,Z\\,P.\\]\n\n(Schemat \\(ZPZPP\\) ma dwa P obok siebie na końcu, więc odrzucamy; podobnie każda inna sekwencja z 3 P i 2 Z w 5 miejscach zawierałaby co najmniej dwa P sąsiadujące, ponieważ aby rozdzielić 3 P potrzeba co najmniej 2 „przerw\", a wypełniamy je wszystkimi 2 Z - stąd dokładnie jeden układ typu P-Z-P-Z-P).\n\nW tym układzie:\n- 3 proszki można ustawić na 3 pozycjach P na \\(3! = 6\\) sposobów,\n- 2 pasty na 2 pozycjach Z na \\(2! = 2\\) sposoby.\n\n\\[|A| = 3!\\cdot 2! = 6\\cdot 2 = 12.\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{12}{120} = \\dfrac{1}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa (wybieramy kolejno reklamy typu)\nTraktujemy losowanie jako wybór pozycji dla proszków/past. Liczymy prawdopodobieństwo, że uzyskamy schemat \\(PZPZP\\):\n\\[P(PZPZP) = \\dfrac{3}{5}\\cdot\\dfrac{2}{4}\\cdot\\dfrac{2}{3}\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{1} = \\dfrac{3\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 1\\cdot 1}{5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1} = \\dfrac{12}{120} = \\dfrac{1}{10}.\\]\n\nJest to jedyny możliwy schemat prowadzący do sukcesu, zatem \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).\n\n### Sposób 3 - Wzór Newtona (pozycje dla pasty)\nWybieramy 2 pozycje dla past spośród 5: \\(\\binom{5}{2} = 10\\) możliwości. Wszystkie rozkłady proszków/past są równoprawdopodobne (bo reklamy w obrębie rodzaju są różne - ale model pozycji rodzaju jest symetryczny). Aby 3 proszki nie sąsiadowały, pozycje past muszą rozdzielić proszki - jest dokładnie 1 taki układ pozycji past: {2, 4}. Stąd prawdopodobieństwo schematu \\(PZPZP\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{10}.\\]\n\n### Weryfikacja\nWymieniamy wszystkie 10 wyborów pozycji past \\(\\{i, j\\}\\): \\(\\{1,2\\}, \\{1,3\\}, \\{1,4\\}, \\{1,5\\}, \\{2,3\\}, \\{2,4\\}, \\{2,5\\}, \\{3,4\\}, \\{3,5\\}, \\{4,5\\}\\). Tylko \\(\\{2,4\\}\\) rozdziela 3 proszki - potwierdza \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (3 pkt)<br>W wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę.<br>Wychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz<br>prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające<br>okolicę.<br>Nr czynności<br>2.1.<br>2.2.<br>2.3.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Arkusz I<br>4<br>W wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.</p>","answer_text_html":"<ol><li>Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to</li></ol>\n<p>przeznaczonym.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{10}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie układów typów</h4>\n<p><strong>Oznaczenia:</strong> P = reklama proszku do prania (3 reklamy), Z = reklama pasty do zębów (2 reklamy).</p>\n<p><strong>Przestrzeń zdarzeń</strong> - wszystkie kolejności 5 reklam (są od siebie różne):<br>\\[\\left|\\Omega\\right| = 5! = 120\\]</p>\n<p><strong>Zdarzenie sprzyjające</strong> - żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie sąsiadują ze sobą, tzn. żadne dwie P nie są obok siebie ORAZ żadne dwie Z nie są obok siebie.</p>\n<p>Szukamy wszystkich ustawień typów (P lub Z) spełniających oba warunki. Mamy do rozlokowania 3 P i 2 Z w 5 miejscach. Sprawdzamy wszystkie \\(\\binom{5}{2} = 10\\) sposobów rozmieszczenia Z&#x27;s:</p>\n<p>| Pozycje Z | Ciąg typów | Ocena |<br>| (1,2) | Z Z P P P | ✗ Z sąsiadują |<br>| (1,3) | Z P Z P P | ✗ P na poz. 4,5 sąsiadują |<br>| (1,4) | Z P P Z P | ✗ P na poz. 2,3 sąsiadują |<br>| (1,5) | Z P P P Z | ✗ P sąsiadują |<br>| (2,3) | P Z Z P P | ✗ Z sąsiadują |<br>| <strong>(2,4)</strong> | <strong>P Z P Z P</strong> | <strong>✓ brak sąsiedztw!</strong> |<br>| (2,5) | P Z P P Z | ✗ P na poz. 3,4 sąsiadują |<br>| (3,4) | P P Z Z P | ✗ P i Z sąsiadują |<br>| (3,5) | P P Z P Z | ✗ P na poz. 1,2 sąsiadują |<br>| (4,5) | P P P Z Z | ✗ wielokrotne sąsiedztwa |</p>\n<p><strong>Jedyny poprawny układ typów to P Z P Z P</strong> - ściśle naprzemienny.</p>\n<p>Teraz liczymy konkretne reklamy w tym układzie:</p>\n<ul><li>3 reklamy proszków na pozycjach 1, 3, 5: \\(3! = 6\\) sposobów</li><li>2 reklamy past na pozycjach 2, 4: \\(2! = 2\\) sposoby</li></ul>\n<p>\\[|A| = 1 \\times 3! \\times 2! = 1 \\times 6 \\times 2 = 12\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{120} = \\frac{1}{10}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wstawianie past między proszkami</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Ustawiamy 3 reklamy proszków w pewnej kolejności - to tworzy szkielet:</p>\n<p>\\[3! = 6 \\text{ sposobów}\\]</p>\n<p>Między nimi (i na krańcach) powstają 4 luki:</p>\n<p>\\[\\underbrace{\\<em>}</em>{(1)} \\; P \\; \\underbrace{\\<em>}</em>{(2)} \\; P \\; \\underbrace{\\<em>}</em>{(3)} \\; P \\; \\underbrace{\\<em>}</em>{(4)}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Chcemy umieścić 2 reklamy past tak, by żadne dwa P nie sąsiadowały i żadne dwa Z nie sąsiadowały.</p>\n<ul><li>Aby P nie sąsiadowały - <strong>każda ze środkowych luk (2) i (3) musi dostać co najmniej jedno Z</strong>.</li><li>Mamy tylko 2 Z-ki, więc każda ze środkowych luk dostaje dokładnie jedno Z - luki (1) i (4) muszą pozostać puste.</li><li>Wtedy automatycznie Z-ki nie sąsiadują ze sobą (oddziela je P).</li></ul>\n<p>Obie pasty trafiają do luk (2) i (3) - można je przypisać na \\(2! = 2\\) sposoby.</p>\n<p>\\[|A| = 3! \\times 2! = 6 \\times 2 = 12\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{12}{5!} = \\frac{12}{120} = \\boxed{\\frac{1}{10}}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - permutacje i kombinacje:</p>\n<p>\\[n! = 1 \\cdot 2 \\cdot \\ldots \\cdot n, \\qquad \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]</p>\n<p>Użyliśmy \\(5! = 120\\) jako liczby wszystkich ustawień (przestrzeń zdarzeń) oraz \\(\\binom{5}{2} = 10\\) w Sposobie 1 do wyliczenia możliwych rozmieszczień past.</p>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]</p>\n<p>Użyliśmy wprost: \\(P(A) = \\frac{12}{120}\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Częsty błąd to policzenie tylko warunku „żadne dwa proszki nie sąsiadują&quot; i zapomnienie o warunku dla past. Gdybyśmy wymagali tylko, żeby proszki nie sąsiadowały - wyników byłoby więcej i odpowiedź byłaby błędna.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie mówi, że reklamy są <strong>różne</strong> (różnych proszków, różnych past) - dlatego poprawna przestrzeń to \\(5! = 120\\), a nie \\(\\binom{5}{3}\\) (które liczyłoby nieuporządkowane rozmieszczenia typów).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jedynym możliwym wzorcem typów jest P-Z-P-Z-P. Uczniowie często próbują liczyć dopełnienie (ile układów jest „złych&quot;) - tu jednak łatwiej policzyć wprost, bo dobrych jest bardzo mało.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Model klasyczny (wszystkie permutacje 5 reklam)</h5>\n<p><strong>Moc przestrzeni zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\):</strong><br>Losujemy dowolną kolejność 5 różnych reklam:<br>\\[|\\Omega| = 5! = 120.\\]</p>\n<p><strong>Moc zdarzenia \\(A\\) - reklamy tego samego rodzaju nie sąsiadują:</strong><br>Aby żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie były obok siebie, proszki (P) i pasty (Z) muszą się przeplatać. Mamy 3 proszki i 2 pasty (3 + 2 = 5). Jedyny możliwy schemat (naprzemienny), który unika sąsiednich proszków i sąsiednich past:<br>\\[P\\,Z\\,P\\,Z\\,P.\\]</p>\n<p>(Schemat \\(ZPZPP\\) ma dwa P obok siebie na końcu, więc odrzucamy; podobnie każda inna sekwencja z 3 P i 2 Z w 5 miejscach zawierałaby co najmniej dwa P sąsiadujące, ponieważ aby rozdzielić 3 P potrzeba co najmniej 2 „przerw&quot;, a wypełniamy je wszystkimi 2 Z - stąd dokładnie jeden układ typu P-Z-P-Z-P).</p>\n<p>W tym układzie:</p>\n<ul><li>3 proszki można ustawić na 3 pozycjach P na \\(3! = 6\\) sposobów,</li><li>2 pasty na 2 pozycjach Z na \\(2! = 2\\) sposoby.</li></ul>\n<p>\\[|A| = 3!\\cdot 2! = 6\\cdot 2 = 12.\\]</p>\n<p><strong>Prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{12}{120} = \\dfrac{1}{10}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa (wybieramy kolejno reklamy typu)</h5>\n<p>Traktujemy losowanie jako wybór pozycji dla proszków/past. Liczymy prawdopodobieństwo, że uzyskamy schemat \\(PZPZP\\):<br>\\[P(PZPZP) = \\dfrac{3}{5}\\cdot\\dfrac{2}{4}\\cdot\\dfrac{2}{3}\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{1} = \\dfrac{3\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 1\\cdot 1}{5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1} = \\dfrac{12}{120} = \\dfrac{1}{10}.\\]</p>\n<p>Jest to jedyny możliwy schemat prowadzący do sukcesu, zatem \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Wzór Newtona (pozycje dla pasty)</h5>\n<p>Wybieramy 2 pozycje dla past spośród 5: \\(\\binom{5}{2} = 10\\) możliwości. Wszystkie rozkłady proszków/past są równoprawdopodobne (bo reklamy w obrębie rodzaju są różne - ale model pozycji rodzaju jest symetryczny). Aby 3 proszki nie sąsiadowały, pozycje past muszą rozdzielić proszki - jest dokładnie 1 taki układ pozycji past: {2, 4}. Stąd prawdopodobieństwo schematu \\(PZPZP\\):<br>\\[P = \\dfrac{1}{10}.\\]</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Wymieniamy wszystkie 10 wyborów pozycji past \\(\\{i, j\\}\\): \\(\\{1,2\\}, \\{1,3\\}, \\{1,4\\}, \\{1,5\\}, \\{2,3\\}, \\{2,4\\}, \\{2,5\\}, \\{3,4\\}, \\{3,5\\}, \\{4,5\\}\\). Tylko \\(\\{2,4\\}\\) rozdziela 3 proszki - potwierdza \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P(A) = \\dfrac{9}{70}$</p>"}]}