{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę\n20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki\nbadań przedstawiono w tabeli.\nMasa kostki masła ( w dag )\n16\n18\n19\n20\n21\n22\nLiczba kostek masła\n1\n15\n24\n68\n26\n16\na) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz\nodchylenie standardowe masy kostki masła.\nb) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie\nnominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu\nwypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n5\nKostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.","answer":"K","answer_text":"3. W\nrozwiązaniach\nzadań\nprzedstaw\ntok\nrozumowania\nprowadzący do ostatecznego wyniku.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Średnia arytmetyczna: \\(\\bar{x} = 20\\) dag. Odchylenie standardowe: \\(\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} \\approx 1{,}12\\) dag.\n\n**b)** Kontrola **nie wypadła pozytywnie** - odchylenie standardowe przekracza 1 dag.\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenia ze wzorów ważonych\n\nMamy dane w postaci rozkładu:\n\n| masa \\(a_i\\) (dag) | liczba kostek \\(w_i\\) |\n| 16 | 1 |\n| 18 | 15 |\n| 19 | 24 |\n| 20 | 68 |\n| 21 | 26 |\n| 22 | 16 |\n\nSuma wag: \\(1 + 15 + 24 + 68 + 26 + 16 = 150\\). ✓\n\n**Krok 1 - Średnia ważona:**\n\nZamiast sumować wszystkie 150 wartości osobno, korzystamy ze wzoru na średnią ważoną:\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n\nLicznik:\n\\[16 \\cdot 1 + 18 \\cdot 15 + 19 \\cdot 24 + 20 \\cdot 68 + 21 \\cdot 26 + 22 \\cdot 16\\]\n\\[= 16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352 = 3000\\]\n\nZatem:\n\\[\\bar{x} = \\frac{3000}{150} = \\mathbf{20 \\text{ dag}}\\]\n\nŚrednia równa się masie nominalnej. ✓\n\n**Krok 2 - Wariancja ważona:**\n\nWariancja to średnia ważona kwadratów odchyleń od średniej:\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum w_i (a_i - \\bar{x})^2}{\\sum w_i}\\]\n\nObliczam \\((a_i - 20)^2\\) i mnożę przez wagę:\n\n| \\(a_i\\) | \\(a_i - 20\\) | \\((a_i-20)^2\\) | \\(w_i\\) | \\(w_i \\cdot (a_i-20)^2\\) |\n| 16 | \\(-4\\) | 16 | 1 | 16 |\n| 18 | \\(-2\\) | 4 | 15 | 60 |\n| 19 | \\(-1\\) | 1 | 24 | 24 |\n| 20 | \\(0\\) | 0 | 68 | 0 |\n| 21 | \\(1\\) | 1 | 26 | 26 |\n| 22 | \\(2\\) | 4 | 16 | 64 |\n\nSuma: \\(16 + 60 + 24 + 0 + 26 + 64 = 190\\)\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{190}{150} = \\frac{19}{15}\\]\n\n**Krok 3 - Odchylenie standardowe:**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} = \\frac{\\sqrt{19}}{\\sqrt{15}} \\approx \\frac{4{,}359}{3{,}873} \\approx \\mathbf{1{,}12 \\text{ dag}}\\]\n\n**Krok 4 - Ocena kontroli:**\n\n- Średnia: \\(\\bar{x} = 20\\) dag = masa nominalna ✓\n- Odchylenie: \\(\\sigma \\approx 1{,}12\\) dag \\(> 1\\) dag ✗\n\n**Kontrola nie wypadła pozytywnie**, bo odchylenie standardowe przekracza dopuszczalną wartość 1 dag.\n\n## Sposób 2 - Wariancja przez \\(\\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\)\n\nIstnieje wygodniejszy wzór obliczeniowy na wariancję, który unika ręcznego liczenia odchyleń:\n\n\\[\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\]\n\nczyli: *średnia kwadratów minus kwadrat średniej*.\n\n**Obliczam \\(\\overline{x^2}\\)** - średnią ważoną z \\(a_i^2\\):\n\n| \\(a_i\\) | \\(a_i^2\\) | \\(w_i\\) | \\(w_i \\cdot a_i^2\\) |\n| 16 | 256 | 1 | 256 |\n| 18 | 324 | 15 | 4 860 |\n| 19 | 361 | 24 | 8 664 |\n| 20 | 400 | 68 | 27 200 |\n| 21 | 441 | 26 | 11 466 |\n| 22 | 484 | 16 | 7 744 |\n\nSuma: \\(256 + 4860 + 8664 + 27200 + 11466 + 7744 = 60\\,190\\)\n\n\\[\\overline{x^2} = \\frac{60\\,190}{150} = \\frac{6019}{15}\\]\n\n**Wariancja:**\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{6019}{15} - 20^2 = \\frac{6019}{15} - \\frac{6000}{15} = \\frac{19}{15}\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} \\approx 1{,}12 \\text{ dag}\\]\n\nWynik identyczny - **weryfikacja potwierdza obliczenia**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do obliczenia średniej masy (wagi = liczby kostek).\n\nWariancja i odchylenie standardowe:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}, \\qquad \\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\nKarta podaje wzór dla danych jednostkowych - w zadaniu stosujemy wersję **ważoną** (z \\(w_i\\)), co jest naturalnym uogólnieniem tego samego wzoru.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie wag i obliczanie średniej z samych wartości \\(\\frac{16+18+19+20+21+22}{6} = 19{,}33\\). To błąd - musimy uwzględnić, ile razy każda masa wystąpiła!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu wariancji łatwo zapomnieć, że odchylenia też trzeba ważyć - mnożymy \\((a_i - \\bar{x})^2\\) przez liczbę kostek \\(w_i\\), a nie liczymy ich jako pojedyncze obserwacje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sigma \\approx 1{,}12\\) dag jest *nieznacznie* większy od 1 dag - to subtelne, ale wystarczy do negatywnej oceny. Nie zaokrąglaj zbyt wcześnie! Warto pozostawić \\(\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}}\\) i porównać: \\(\\left(\\sqrt{\\frac{19}{15}}\\right)^2 = \\frac{19}{15} > 1 = 1^2\\), więc \\(\\sigma > 1\\) - bez kalkulatora.\n\n**Rozwiązanie (5 pkt)**\n\n### a) Średnia arytmetyczna\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{16\\cdot 1 + 18\\cdot 15 + 19\\cdot 24 + 20\\cdot 68 + 21\\cdot 26 + 22\\cdot 16}{150}\\]\n\\[= \\dfrac{16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352}{150} = \\dfrac{3000}{150} = 20 \\text{ dag}.\\]\n\n### Wariancja\nOdchylenia od średniej: \\(16-20=-4\\), \\(18-20=-2\\), \\(19-20=-1\\), \\(20-20=0\\), \\(21-20=1\\), \\(22-20=2\\).\n\\[\\sigma^2 = \\dfrac{1\\cdot(-4)^2 + 15\\cdot(-2)^2 + 24\\cdot(-1)^2 + 68\\cdot 0^2 + 26\\cdot 1^2 + 16\\cdot 2^2}{150}\\]\n\\[= \\dfrac{16 + 60 + 24 + 0 + 26 + 64}{150} = \\dfrac{190}{150} = \\dfrac{19}{15}.\\]\n\n### Odchylenie standardowe\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\dfrac{19}{15}} \\approx 1{,}125 \\text{ dag}.\\]\n\n### b) Wniosek\nŚrednia \\(\\bar{x} = 20\\) dag - **zgodna** z nominalną. Jednak \\(\\sigma \\approx 1{,}125 > 1\\) dag.\n\n**Odp.:** Kontrola zakładu **nie wypadła pozytywnie**, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło \\(1\\) dag.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (5 pkt)<br>Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę<br>20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki<br>badań przedstawiono w tabeli.<br>Masa kostki masła ( w dag )<br>16<br>18<br>19<br>20<br>21<br>22<br>Liczba kostek masła<br>1<br>15<br>24<br>68<br>26<br>16<br>a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz<br>odchylenie standardowe masy kostki masła.<br>b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie<br>nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu<br>wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.<br>Nr czynności<br>3.1.<br>3.2.<br>3.3.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Arkusz I<br>5<br>Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.</p>","answer_text_html":"<ol><li>W</li></ol>\n<p>rozwiązaniach<br>zadań<br>przedstaw<br>tok<br>rozumowania<br>prowadzący do ostatecznego wyniku.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p><strong>a)</strong> Średnia arytmetyczna: \\(\\bar{x} = 20\\) dag. Odchylenie standardowe: \\(\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} \\approx 1{,}12\\) dag.</p>\n<p><strong>b)</strong> Kontrola <strong>nie wypadła pozytywnie</strong> - odchylenie standardowe przekracza 1 dag.</p>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenia ze wzorów ważonych</h4>\n<p>Mamy dane w postaci rozkładu:</p>\n<p>| masa \\(a_i\\) (dag) | liczba kostek \\(w_i\\) |<br>| 16 | 1 |<br>| 18 | 15 |<br>| 19 | 24 |<br>| 20 | 68 |<br>| 21 | 26 |<br>| 22 | 16 |</p>\n<p>Suma wag: \\(1 + 15 + 24 + 68 + 26 + 16 = 150\\). ✓</p>\n<p><strong>Krok 1 - Średnia ważona:</strong></p>\n<p>Zamiast sumować wszystkie 150 wartości osobno, korzystamy ze wzoru na średnią ważoną:</p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]</p>\n<p>Licznik:<br>\\[16 \\cdot 1 + 18 \\cdot 15 + 19 \\cdot 24 + 20 \\cdot 68 + 21 \\cdot 26 + 22 \\cdot 16\\]<br>\\[= 16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352 = 3000\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\bar{x} = \\frac{3000}{150} = \\mathbf{20 \\text{ dag}}\\]</p>\n<p>Średnia równa się masie nominalnej. ✓</p>\n<p><strong>Krok 2 - Wariancja ważona:</strong></p>\n<p>Wariancja to średnia ważona kwadratów odchyleń od średniej:</p>\n<p>\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum w_i (a_i - \\bar{x})^2}{\\sum w_i}\\]</p>\n<p>Obliczam \\((a_i - 20)^2\\) i mnożę przez wagę:</p>\n<p>| \\(a_i\\) | \\(a_i - 20\\) | \\((a_i-20)^2\\) | \\(w_i\\) | \\(w_i \\cdot (a_i-20)^2\\) |<br>| 16 | \\(-4\\) | 16 | 1 | 16 |<br>| 18 | \\(-2\\) | 4 | 15 | 60 |<br>| 19 | \\(-1\\) | 1 | 24 | 24 |<br>| 20 | \\(0\\) | 0 | 68 | 0 |<br>| 21 | \\(1\\) | 1 | 26 | 26 |<br>| 22 | \\(2\\) | 4 | 16 | 64 |</p>\n<p>Suma: \\(16 + 60 + 24 + 0 + 26 + 64 = 190\\)</p>\n<p>\\[\\sigma^2 = \\frac{190}{150} = \\frac{19}{15}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Odchylenie standardowe:</strong></p>\n<p>\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} = \\frac{\\sqrt{19}}{\\sqrt{15}} \\approx \\frac{4{,}359}{3{,}873} \\approx \\mathbf{1{,}12 \\text{ dag}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Ocena kontroli:</strong></p>\n<ul><li>Średnia: \\(\\bar{x} = 20\\) dag = masa nominalna ✓</li><li>Odchylenie: \\(\\sigma \\approx 1{,}12\\) dag \\(&gt; 1\\) dag ✗</li></ul>\n<p><strong>Kontrola nie wypadła pozytywnie</strong>, bo odchylenie standardowe przekracza dopuszczalną wartość 1 dag.</p>\n<h4>Sposób 2 - Wariancja przez \\(\\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\)</h4>\n<p>Istnieje wygodniejszy wzór obliczeniowy na wariancję, który unika ręcznego liczenia odchyleń:</p>\n<p>\\[\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\]</p>\n<p>czyli: <em>średnia kwadratów minus kwadrat średniej</em>.</p>\n<p><strong>Obliczam \\(\\overline{x^2}\\)</strong> - średnią ważoną z \\(a_i^2\\):</p>\n<p>| \\(a_i\\) | \\(a_i^2\\) | \\(w_i\\) | \\(w_i \\cdot a_i^2\\) |<br>| 16 | 256 | 1 | 256 |<br>| 18 | 324 | 15 | 4 860 |<br>| 19 | 361 | 24 | 8 664 |<br>| 20 | 400 | 68 | 27 200 |<br>| 21 | 441 | 26 | 11 466 |<br>| 22 | 484 | 16 | 7 744 |</p>\n<p>Suma: \\(256 + 4860 + 8664 + 27200 + 11466 + 7744 = 60\\,190\\)</p>\n<p>\\[\\overline{x^2} = \\frac{60\\,190}{150} = \\frac{6019}{15}\\]</p>\n<p><strong>Wariancja:</strong></p>\n<p>\\[\\sigma^2 = \\frac{6019}{15} - 20^2 = \\frac{6019}{15} - \\frac{6000}{15} = \\frac{19}{15}\\]</p>\n<p><strong>Odchylenie standardowe:</strong></p>\n<p>\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} \\approx 1{,}12 \\text{ dag}\\]</p>\n<p>Wynik identyczny - <strong>weryfikacja potwierdza obliczenia</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<p>Średnia ważona:<br>\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]<br>Użyta w Kroku 1 do obliczenia średniej masy (wagi = liczby kostek).</p>\n<p>Wariancja i odchylenie standardowe:<br>\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}, \\qquad \\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]<br>Karta podaje wzór dla danych jednostkowych - w zadaniu stosujemy wersję <strong>ważoną</strong> (z \\(w_i\\)), co jest naturalnym uogólnieniem tego samego wzoru.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie wag i obliczanie średniej z samych wartości \\(\\frac{16+18+19+20+21+22}{6} = 19{,}33\\). To błąd - musimy uwzględnić, ile razy każda masa wystąpiła!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu wariancji łatwo zapomnieć, że odchylenia też trzeba ważyć - mnożymy \\((a_i - \\bar{x})^2\\) przez liczbę kostek \\(w_i\\), a nie liczymy ich jako pojedyncze obserwacje.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(\\sigma \\approx 1{,}12\\) dag jest <em>nieznacznie</em> większy od 1 dag - to subtelne, ale wystarczy do negatywnej oceny. Nie zaokrąglaj zbyt wcześnie! Warto pozostawić \\(\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}}\\) i porównać: \\(\\left(\\sqrt{\\frac{19}{15}}\\right)^2 = \\frac{19}{15} &gt; 1 = 1^2\\), więc \\(\\sigma &gt; 1\\) - bez kalkulatora.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie (5 pkt)</strong></p>\n<h5>a) Średnia arytmetyczna</h5>\n<p>\\[\\bar{x} = \\dfrac{16\\cdot 1 + 18\\cdot 15 + 19\\cdot 24 + 20\\cdot 68 + 21\\cdot 26 + 22\\cdot 16}{150}\\]<br>\\[= \\dfrac{16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352}{150} = \\dfrac{3000}{150} = 20 \\text{ dag}.\\]</p>\n<h5>Wariancja</h5>\n<p>Odchylenia od średniej: \\(16-20=-4\\), \\(18-20=-2\\), \\(19-20=-1\\), \\(20-20=0\\), \\(21-20=1\\), \\(22-20=2\\).<br>\\[\\sigma^2 = \\dfrac{1\\cdot(-4)^2 + 15\\cdot(-2)^2 + 24\\cdot(-1)^2 + 68\\cdot 0^2 + 26\\cdot 1^2 + 16\\cdot 2^2}{150}\\]<br>\\[= \\dfrac{16 + 60 + 24 + 0 + 26 + 64}{150} = \\dfrac{190}{150} = \\dfrac{19}{15}.\\]</p>\n<h5>Odchylenie standardowe</h5>\n<p>\\[\\sigma = \\sqrt{\\dfrac{19}{15}} \\approx 1{,}125 \\text{ dag}.\\]</p>\n<h5>b) Wniosek</h5>\n<p>Średnia \\(\\bar{x} = 20\\) dag - <strong>zgodna</strong> z nominalną. Jednak \\(\\sigma \\approx 1{,}125 &gt; 1\\) dag.</p>\n<p><strong>Odp.:</strong> Kontrola zakładu <strong>nie wypadła pozytywnie</strong>, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło \\(1\\) dag.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Kontrola zakładu nie wypadła pozytywnie, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło $1$ dag.</p>"}]}