{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nDany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym\n1\n12\na =\n,\n3\n27\na =\na) Wyznacz iloraz tego ciągu.\nb) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz an, dla każdej liczby naturalnej\n1\nn ≥.\nc) Oblicz wyraz\n6a .\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n6\nDany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a_1=12, a_3=27. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz a_n, dla każdej liczby naturalnej n >= 1. c) Oblicz wyraz a_6.","answer":null,"answer_text":"4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym\ntuszem/atramentem.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Średnia płaca: \\(\\bar{x} = 438\\) euro\n\n**b)** Wariancja: \\(\\sigma^2 = 2436\\), odchylenie standardowe: \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) euro\n\n## Sposób 1 - wzory na średnią ważoną i wariancję ważoną\n\n**Dane z diagramu słupkowego:**\n\n| Płaca \\(a_i\\) | Liczba pracowników \\(w_i\\) |\n| \\(400\\) euro | \\(12\\) |\n| \\(480\\) euro | \\(6\\) |\n| \\(540\\) euro | \\(2\\) |\n\nŁączna liczba pracowników: \\(n = 12 + 6 + 2 = 20\\)\n\n### a) Średnia płaca\n\nKorzystamy ze wzoru na **średnią ważoną** (każda płaca \"waży\" tyle, ile pracowników ją pobiera):\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3}{w_1 + w_2 + w_3}\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{12 \\cdot 400 + 6 \\cdot 480 + 2 \\cdot 540}{20} = \\frac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \\frac{8760}{20}\\]\n\n\\[\\boxed{\\bar{x} = 438 \\text{ euro}}\\]\n\n### b) Wariancja i odchylenie standardowe\n\n**Krok 1:** Obliczamy odchylenia każdej płacy od średniej:\n\n\\[a_1 - \\bar{x} = 400 - 438 = -38\\]\n\\[a_2 - \\bar{x} = 480 - 438 = 42\\]\n\\[a_3 - \\bar{x} = 540 - 438 = 102\\]\n\n**Krok 2:** Podnosimy do kwadratu (odchylenie zawsze nieujemne):\n\n\\[(400 - 438)^2 = (-38)^2 = 1444\\]\n\\[(480 - 438)^2 = 42^2 = 1764\\]\n\\[(540 - 438)^2 = 102^2 = 10404\\]\n\n**Krok 3:** Ważymy każdy kwadrat przez liczbę pracowników i sumujemy:\n\n\\[12 \\cdot 1444 + 6 \\cdot 1764 + 2 \\cdot 10404 = 17328 + 10584 + 20808 = 48720\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy przez łączną liczbę pracowników:\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{48720}{20} = \\boxed{2436}\\]\n\n**Krok 5:** Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx \\boxed{49{,}4 \\text{ euro}}\\]\n\n*(sprawdzenie: \\(49{,}4^2 = 2440{,}36\\), \\(49{,}35^2 \\approx 2435{,}4\\) - wartość \\(49{,}4\\) jest poprawna z dokładnością do \\(0{,}1\\))*\n\n## Sposób 2 - lista pełna (rozwinięcie do 20 obserwacji) + weryfikacja\n\nZamiast wzoru ważonego, wypisujemy dosłownie wszystkich 20 pracowników i stosujemy podstawowy wzór na wariancję.\n\n**Średnia:** lista \\(20\\) wartości to dwanaście \\(400\\), sześć \\(480\\), dwa \\(540\\):\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{12 \\cdot 400 + 6 \\cdot 480 + 2 \\cdot 540}{20} = 438 \\text{ euro} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Wariancja** (wzór podstawowy):\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{20}(a_i - \\bar{x})^2}{20}\\]\n\nW liczniku mamy:\n- \\(12\\) składników \\((400 - 438)^2 = 1444\\): razem \\(17328\\)\n- \\(6\\) składników \\((480 - 438)^2 = 1764\\): razem \\(10584\\)\n- \\(2\\) składniki \\((540 - 438)^2 = 10404\\): razem \\(20808\\)\n\nSuma: \\(17328 + 10584 + 20808 = 48720\\)\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{48720}{20} = 2436, \\quad \\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}4 \\text{ euro} \\quad \\checkmark\\]\n\nOba podejścia dają identyczny wynik - wzór ważony jest po prostu skróconym zapisem tego samego obliczenia.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyliśmy w części a) - każda płaca miała wagę równą liczbie pracowników w grupie.\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + (a_2 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\nUżyliśmy w części b) - w wersji ważonej (Sposób 1) lub po rozwinięciu do 20 obserwacji (Sposób 2).\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wariancji dzielimy przez **całkowitą liczbę pracowników** (\\(n = 20\\)), a nie przez liczbę grup (\\(3\\)). To częsty błąd - pojawia się, gdy ktoś traktuje każdą grupę jako jedną obserwację.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenia od średniej mogą być ujemne (np. \\(400 - 438 = -38\\)), ale po podniesieniu do kwadratu zawsze wychodzą nieujemne. Nigdy nie bierz wartości bezwzględnej przed podniesieniem do kwadratu - kwadrat to robi automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do obliczenia \\(\\sigma^2 = 2436\\) nie używamy zaokrągleń. Dopiero na końcu, przy \\(\\sigma = \\sqrt{2436}\\), zaokrąglamy do \\(0{,}1\\). Zaokrąglenie średniej przed obliczeniem wariancji dałoby błędny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) średnia \\(\\bar{x} = 438\\) euro; b) wariancja \\(\\sigma^{2} = 2436\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) euro.\n\n### Sposób 1 - Definicje średniej ważonej i wariancji\n\n**Dane:** \\(n_1 = 12\\) przy \\(x_1 = 400\\); \\(n_2 = 6\\) przy \\(x_2 = 480\\); \\(n_3 = 2\\) przy \\(x_3 = 540\\).\n\n**Liczba pracowników:** \\(N = 12 + 6 + 2 = 20\\).\n\n**a) Średnia ważona:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3}{N} = \\dfrac{12\\cdot 400 + 6\\cdot 480 + 2\\cdot 540}{20}.\\]\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \\dfrac{8760}{20} = 438 \\text{ euro}.\\]\n\n**b) Wariancja (średnia kwadratów odchyleń):**\nOdchylenia od średniej:\n\\[x_1 - \\bar{x} = 400 - 438 = -38,\\]\n\\[x_2 - \\bar{x} = 480 - 438 = 42,\\]\n\\[x_3 - \\bar{x} = 540 - 438 = 102.\\]\n\nKwadraty odchyleń:\n\\[(-38)^{2} = 1444, \\quad 42^{2} = 1764, \\quad 102^{2} = 10404.\\]\n\nWariancja ważona:\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{n_1(x_1-\\bar{x})^{2} + n_2(x_2-\\bar{x})^{2} + n_3(x_3-\\bar{x})^{2}}{N}.\\]\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{12\\cdot 1444 + 6\\cdot 1764 + 2\\cdot 10404}{20}.\\]\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{17328 + 10584 + 20808}{20} = \\dfrac{48720}{20} = 2436.\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}3559\\ldots \\approx 49{,}4 \\text{ (euro)}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skrócony na wariancję\n\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2},\\]\ngdzie \\(\\overline{x^{2}} = \\dfrac{\\sum n_i x_i^{2}}{N}\\).\n\nObliczamy:\n\\[\\sum n_i x_i^{2} = 12\\cdot 400^{2} + 6\\cdot 480^{2} + 2\\cdot 540^{2}\\]\n\\[= 12\\cdot 160000 + 6\\cdot 230400 + 2\\cdot 291600\\]\n\\[= 1920000 + 1382400 + 583200 = 3885600.\\]\n\n\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{3885600}{20} = 194280.\\]\n\\[\\bar{x}^{2} = 438^{2} = 191844.\\]\n\\[\\sigma^{2} = 194280 - 191844 = 2436.\\]\n\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}4.\\]\n\n### Weryfikacja pierwiastka\n\\(49^{2} = 2401\\); \\(50^{2} = 2500\\); \\(49{,}4^{2} = 2440{,}36\\); \\(49{,}3^{2} = 2430{,}49\\). Z zaokrągleniem do 0,1 otrzymujemy \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) ✓.\n\n### Interpretacja\nŚrednia 438 euro, odchylenie 49,4 euro - większość pracowników zarabia w przedziale \\([388{,}6;\\ 487{,}4]\\) euro, czyli w ramach jednego odchylenia standardowego od średniej.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (4 pkt)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym
1
12
a =
,
3
27
a =
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz an, dla każdej liczby naturalnej
1
n ≥.
c) Oblicz wyraz
6a .
Nr czynności
4.1.
4.2.
4.3.
Maks. liczba pkt
2
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
6
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a_1=12, a_3=27. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz a_n, dla każdej liczby naturalnej n >= 1. c) Oblicz wyraz a_6.

","answer_text_html":"
  1. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
\n

tuszem/atramentem.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Średnia płaca: \\(\\bar{x} = 438\\) euro

\n

b) Wariancja: \\(\\sigma^2 = 2436\\), odchylenie standardowe: \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) euro

\n

Sposób 1 - wzory na średnią ważoną i wariancję ważoną

\n

Dane z diagramu słupkowego:

\n

| Płaca \\(a_i\\) | Liczba pracowników \\(w_i\\) |
| \\(400\\) euro | \\(12\\) |
| \\(480\\) euro | \\(6\\) |
| \\(540\\) euro | \\(2\\) |

\n

Łączna liczba pracowników: \\(n = 12 + 6 + 2 = 20\\)

\n
a) Średnia płaca
\n

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną (każda płaca "waży" tyle, ile pracowników ją pobiera):

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3}{w_1 + w_2 + w_3}\\]

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{12 \\cdot 400 + 6 \\cdot 480 + 2 \\cdot 540}{20} = \\frac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \\frac{8760}{20}\\]

\n

\\[\\boxed{\\bar{x} = 438 \\text{ euro}}\\]

\n
b) Wariancja i odchylenie standardowe
\n

Krok 1: Obliczamy odchylenia każdej płacy od średniej:

\n

\\[a_1 - \\bar{x} = 400 - 438 = -38\\]
\\[a_2 - \\bar{x} = 480 - 438 = 42\\]
\\[a_3 - \\bar{x} = 540 - 438 = 102\\]

\n

Krok 2: Podnosimy do kwadratu (odchylenie zawsze nieujemne):

\n

\\[(400 - 438)^2 = (-38)^2 = 1444\\]
\\[(480 - 438)^2 = 42^2 = 1764\\]
\\[(540 - 438)^2 = 102^2 = 10404\\]

\n

Krok 3: Ważymy każdy kwadrat przez liczbę pracowników i sumujemy:

\n

\\[12 \\cdot 1444 + 6 \\cdot 1764 + 2 \\cdot 10404 = 17328 + 10584 + 20808 = 48720\\]

\n

Krok 4: Dzielimy przez łączną liczbę pracowników:

\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{48720}{20} = \\boxed{2436}\\]

\n

Krok 5: Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

\n

\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx \\boxed{49{,}4 \\text{ euro}}\\]

\n

(sprawdzenie: \\(49{,}4^2 = 2440{,}36\\), \\(49{,}35^2 \\approx 2435{,}4\\) - wartość \\(49{,}4\\) jest poprawna z dokładnością do \\(0{,}1\\))

\n

Sposób 2 - lista pełna (rozwinięcie do 20 obserwacji) + weryfikacja

\n

Zamiast wzoru ważonego, wypisujemy dosłownie wszystkich 20 pracowników i stosujemy podstawowy wzór na wariancję.

\n

Średnia: lista \\(20\\) wartości to dwanaście \\(400\\), sześć \\(480\\), dwa \\(540\\):

\n

\\[\\bar{x} = \\frac{12 \\cdot 400 + 6 \\cdot 480 + 2 \\cdot 540}{20} = 438 \\text{ euro} \\quad \\checkmark\\]

\n

Wariancja (wzór podstawowy):

\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{20}(a_i - \\bar{x})^2}{20}\\]

\n

W liczniku mamy:

\n\n

Suma: \\(17328 + 10584 + 20808 = 48720\\)

\n

\\[\\sigma^2 = \\frac{48720}{20} = 2436, \\quad \\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}4 \\text{ euro} \\quad \\checkmark\\]

\n

Oba podejścia dają identyczny wynik - wzór ważony jest po prostu skróconym zapisem tego samego obliczenia.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n

Średnia ważona:
\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]
Użyliśmy w części a) - każda płaca miała wagę równą liczbie pracowników w grupie.

\n

Wariancja:
\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + (a_2 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]
Użyliśmy w części b) - w wersji ważonej (Sposób 1) lub po rozwinięciu do 20 obserwacji (Sposób 2).

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: W wariancji dzielimy przez całkowitą liczbę pracowników (\\(n = 20\\)), a nie przez liczbę grup (\\(3\\)). To częsty błąd - pojawia się, gdy ktoś traktuje każdą grupę jako jedną obserwację.
\n
⚠️ Uwaga: Odchylenia od średniej mogą być ujemne (np. \\(400 - 438 = -38\\)), ale po podniesieniu do kwadratu zawsze wychodzą nieujemne. Nigdy nie bierz wartości bezwzględnej przed podniesieniem do kwadratu - kwadrat to robi automatycznie.
\n
⚠️ Uwaga: Do obliczenia \\(\\sigma^2 = 2436\\) nie używamy zaokrągleń. Dopiero na końcu, przy \\(\\sigma = \\sqrt{2436}\\), zaokrąglamy do \\(0{,}1\\). Zaokrąglenie średniej przed obliczeniem wariancji dałoby błędny wynik.
\n

Poprawna odpowiedź: a) średnia \\(\\bar{x} = 438\\) euro; b) wariancja \\(\\sigma^{2} = 2436\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) euro.

\n
Sposób 1 - Definicje średniej ważonej i wariancji
\n

Dane: \\(n_1 = 12\\) przy \\(x_1 = 400\\); \\(n_2 = 6\\) przy \\(x_2 = 480\\); \\(n_3 = 2\\) przy \\(x_3 = 540\\).

\n

Liczba pracowników: \\(N = 12 + 6 + 2 = 20\\).

\n

a) Średnia ważona:
\\[\\bar{x} = \\dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3}{N} = \\dfrac{12\\cdot 400 + 6\\cdot 480 + 2\\cdot 540}{20}.\\]
\\[\\bar{x} = \\dfrac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \\dfrac{8760}{20} = 438 \\text{ euro}.\\]

\n

b) Wariancja (średnia kwadratów odchyleń):
Odchylenia od średniej:
\\[x_1 - \\bar{x} = 400 - 438 = -38,\\]
\\[x_2 - \\bar{x} = 480 - 438 = 42,\\]
\\[x_3 - \\bar{x} = 540 - 438 = 102.\\]

\n

Kwadraty odchyleń:
\\[(-38)^{2} = 1444, \\quad 42^{2} = 1764, \\quad 102^{2} = 10404.\\]

\n

Wariancja ważona:
\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{n_1(x_1-\\bar{x})^{2} + n_2(x_2-\\bar{x})^{2} + n_3(x_3-\\bar{x})^{2}}{N}.\\]
\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{12\\cdot 1444 + 6\\cdot 1764 + 2\\cdot 10404}{20}.\\]
\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{17328 + 10584 + 20808}{20} = \\dfrac{48720}{20} = 2436.\\]

\n

Odchylenie standardowe:
\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}3559\\ldots \\approx 49{,}4 \\text{ (euro)}.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór skrócony na wariancję
\n

\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2},\\]
gdzie \\(\\overline{x^{2}} = \\dfrac{\\sum n_i x_i^{2}}{N}\\).

\n

Obliczamy:
\\[\\sum n_i x_i^{2} = 12\\cdot 400^{2} + 6\\cdot 480^{2} + 2\\cdot 540^{2}\\]
\\[= 12\\cdot 160000 + 6\\cdot 230400 + 2\\cdot 291600\\]
\\[= 1920000 + 1382400 + 583200 = 3885600.\\]

\n

\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{3885600}{20} = 194280.\\]
\\[\\bar{x}^{2} = 438^{2} = 191844.\\]
\\[\\sigma^{2} = 194280 - 191844 = 2436.\\]
\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}4.\\]

\n
Weryfikacja pierwiastka
\n

\\(49^{2} = 2401\\); \\(50^{2} = 2500\\); \\(49{,}4^{2} = 2440{,}36\\); \\(49{,}3^{2} = 2430{,}49\\). Z zaokrągleniem do 0,1 otrzymujemy \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) ✓.

\n
Interpretacja
\n

Średnia 438 euro, odchylenie 49,4 euro - większość pracowników zarabia w przedziale \\([388{,}6;\\ 487{,}4]\\) euro, czyli w ramach jednego odchylenia standardowego od średniej.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$q = \\dfrac{3}{2}$, $a_{n} = 12 \\cdot \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^{n-1}$, $a_{6} = 91\\dfrac{1}{8}$

"}]}