{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nWiedząc, że\no\no\n360\n0\n≤\nα\n≤\n,\n0\nsin\n<\nα\noraz\nα\nα\nα\n2\n2\ncos\n3\nsin\n3\ntg\n4\na) oblicz tgα ,\nb) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu,\nróżnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego\nkąta.\n1\nx\ny\n0\n1\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n7\nWiedząc, że 0<= alfa <=360, sin a<0 oraz 4 tga =3 sin^2 a+3cos^2 a a) oblicz tg a b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt a i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.","answer":null,"answer_text":"5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)\n\n**b)** Kąt \\(\\alpha\\) leży w **III ćwiartce** (między \\(180°\\) a \\(270°\\)). Przykładowy punkt na końcowym ramieniu: \\((-4, -3)\\).\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + analiza ćwiartek\n\n**Krok 1 - Uprość równanie**\n\nZauważamy, że w prawej stronie równania mamy \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\) - to jedynka trygonometryczna!\n\n\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\underbrace{(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}_{= 1} = 3 \\cdot 1 = 3\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4}}\\]\n\n**Krok 2 - Określ ćwiartkę**\n\nMamy dwa warunki:\n- \\(\\sin\\alpha < 0\\) - sinus ujemny → kąt w III lub IV ćwiartce\n- \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4} > 0\\) - tangens dodatni → kąt w I lub **III** ćwiartce\n\nJedyna ćwiartka spełniająca oba warunki: **III ćwiartka** (\\(180° < \\alpha < 270°\\))\n\nW III ćwiartce: \\(\\sin\\alpha < 0\\) i \\(\\cos\\alpha < 0\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{(-)(-)}{(-)} > 0\\) ✓\n\n**Krok 3 - Wyznacz współrzędne punktu**\n\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{3}{4}\\), możemy przyjąć:\n\n\\[\\sin\\alpha = -3k, \\quad \\cos\\alpha = -4k \\quad \\text{(oba ujemne w III ćwiartce)}\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[(-3k)^2 + (-4k)^2 = 1 \\implies 9k^2 + 16k^2 = 1 \\implies 25k^2 = 1 \\implies k = \\frac{1}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = -\\frac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = -\\frac{4}{5}\\]\n\nPunkt na końcowym ramieniu musi leżeć w kierunku \\((\\cos\\alpha, \\sin\\alpha)\\), czyli w kierunku \\((-4, -3)\\).\n\n**Punkt:** \\(\\boldsymbol{(-4,\\, -3)}\\)\n\n(Możemy też podać \\(\\left(-\\tfrac{4}{5},\\,-\\tfrac{3}{5}\\right)\\) lub dowolny punkt postaci \\((-4t,\\,-3t)\\) dla \\(t > 0\\).)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4}\\) z punktem \\((-4,-3)\\) spełnia oryginalny warunek.\n\nDla punktu \\((-4,-3)\\) na okręgu o promieniu \\(r = \\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5\\):\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{-3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{-4}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{-3/5}{-4/5} = \\frac{3}{4}\\]\n\nSprawdzamy warunek zadania:\n\n\\[\\text{Lewa strona: } 4 \\cdot \\frac{3}{4} = 3\\]\n\n\\[\\text{Prawa strona: } 3\\sin^2\\alpha + 3\\cos^2\\alpha = 3\\left(\\frac{9}{25} + \\frac{16}{25}\\right) = 3 \\cdot \\frac{25}{25} = 3\\]\n\n\\[3 = 3 \\checkmark\\]\n\nWarunek \\(\\sin\\alpha = -\\frac{3}{5} < 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nKluczowy wzór: bez niego nie da się uprościć równania. To najważniejszy krok w zadaniu.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyte przy analizie znaku \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) w poszczególnych ćwiartkach.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja przez punkt \\(M(x,y)\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad r = \\sqrt{x^2 + y^2}\\]\nUżyte do wyznaczenia współrzędnych punktu na końcowym ramieniu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **niezauważenie jedynki trygonometrycznej** po prawej stronie. Uczniowie zaczynają od podstawień przez definicję i wpadają w żmudne obliczenia - a wystarczy jedna obserwacja!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mając \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\) i \\(\\sin\\alpha < 0\\), niektórzy błędnie wybierają IV ćwiartkę. Pamiętaj: w IV ćwiartce \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) (sinus ujemny, cosinus dodatni). Jedyną opcją jest **III ćwiartka**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie b) prosi o dowolny punkt - nie musisz normalizować do promienia \\(r=1\\). Punkt \\((-4,-3)\\) jest prostszy do podania niż \\(\\left(-\\frac{4}{5}, -\\frac{3}{5}\\right)\\) i jest w pełni poprawny.\n\n**Rozwiązanie (3 pkt)**\n\n### a) Obliczam \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)\nZ podanego równania:\n\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\sin^{2}\\alpha + 3\\cos^{2}\\alpha = 3(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha).\\]\nKorzystam z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):\n\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3 \\cdot 1 = 3 \\Rightarrow \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}.\\]\n\n### b) Położenie kąta \\(\\alpha\\)\nZ warunku \\(\\sin\\alpha < 0\\) i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4} > 0\\) wynika, że także \\(\\cos\\alpha < 0\\) (bo \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sin}{\\cos}\\) i iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni).\n\nZatem kąt \\(\\alpha\\) leży w **III ćwiartce** układu współrzędnych.\n\n### Punkt na końcowym ramieniu\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{y}{x} = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(x < 0\\), \\(y < 0\\), możemy wziąć np.\n\\[P = (-4, -3).\\]\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{-3}{-4} = \\dfrac{3}{4}\\) ✓ oraz \\(y = -3 < 0\\) ✓.\n\n**Odp.:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\); przykładowy punkt na końcowym ramieniu to \\((-4, -3)\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (3 pkt)<br>Wiedząc, że<br>o<br>o<br>360<br>0<br>≤<br>α<br>≤<br>,<br>0<br>sin<br>&lt;<br>α<br>oraz<br>α<br>α<br>α<br>2<br>2<br>cos<br>3<br>sin<br>3<br>tg<br>4<br>a) oblicz tgα ,<br>b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu,<br>różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego<br>kąta.<br>1<br>x<br>y<br>0<br>1<br>Nr czynności<br>5.1.<br>5.2.<br>5.3.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Arkusz I<br>7<br>Wiedząc, że 0&lt;= alfa &lt;=360, sin a&lt;0 oraz 4 tga =3 sin^2 a+3cos^2 a a) oblicz tg a b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt a i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.</p>","answer_text_html":"<ol><li>Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.</li></ol>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p><strong>a)</strong> \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)</p>\n<p><strong>b)</strong> Kąt \\(\\alpha\\) leży w <strong>III ćwiartce</strong> (między \\(180°\\) a \\(270°\\)). Przykładowy punkt na końcowym ramieniu: \\((-4, -3)\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + analiza ćwiartek</h4>\n<p><strong>Krok 1 - Uprość równanie</strong></p>\n<p>Zauważamy, że w prawej stronie równania mamy \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\) - to jedynka trygonometryczna!</p>\n<p>\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\underbrace{(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}_{= 1} = 3 \\cdot 1 = 3\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Określ ćwiartkę</strong></p>\n<p>Mamy dwa warunki:</p>\n<ul><li>\\(\\sin\\alpha &lt; 0\\) - sinus ujemny → kąt w III lub IV ćwiartce</li><li>\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4} &gt; 0\\) - tangens dodatni → kąt w I lub <strong>III</strong> ćwiartce</li></ul>\n<p>Jedyna ćwiartka spełniająca oba warunki: <strong>III ćwiartka</strong> (\\(180° &lt; \\alpha &lt; 270°\\))</p>\n<p>W III ćwiartce: \\(\\sin\\alpha &lt; 0\\) i \\(\\cos\\alpha &lt; 0\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{(-)(-)}{(-)} &gt; 0\\) ✓</p>\n<p><strong>Krok 3 - Wyznacz współrzędne punktu</strong></p>\n<p>Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{3}{4}\\), możemy przyjąć:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = -3k, \\quad \\cos\\alpha = -4k \\quad \\text{(oba ujemne w III ćwiartce)}\\]</p>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej:<br>\\[(-3k)^2 + (-4k)^2 = 1 \\implies 9k^2 + 16k^2 = 1 \\implies 25k^2 = 1 \\implies k = \\frac{1}{5}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\sin\\alpha = -\\frac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = -\\frac{4}{5}\\]</p>\n<p>Punkt na końcowym ramieniu musi leżeć w kierunku \\((\\cos\\alpha, \\sin\\alpha)\\), czyli w kierunku \\((-4, -3)\\).</p>\n<p><strong>Punkt:</strong> \\(\\boldsymbol{(-4,\\, -3)}\\)</p>\n<p>(Możemy też podać \\(\\left(-\\tfrac{4}{5},\\,-\\tfrac{3}{5}\\right)\\) lub dowolny punkt postaci \\((-4t,\\,-3t)\\) dla \\(t &gt; 0\\).)</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4}\\) z punktem \\((-4,-3)\\) spełnia oryginalny warunek.</p>\n<p>Dla punktu \\((-4,-3)\\) na okręgu o promieniu \\(r = \\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5\\):</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{-3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{-4}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{-3/5}{-4/5} = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy warunek zadania:</p>\n<p>\\[\\text{Lewa strona: } 4 \\cdot \\frac{3}{4} = 3\\]</p>\n<p>\\[\\text{Prawa strona: } 3\\sin^2\\alpha + 3\\cos^2\\alpha = 3\\left(\\frac{9}{25} + \\frac{16}{25}\\right) = 3 \\cdot \\frac{25}{25} = 3\\]</p>\n<p>\\[3 = 3 \\checkmark\\]</p>\n<p>Warunek \\(\\sin\\alpha = -\\frac{3}{5} &lt; 0\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Kluczowy wzór: bez niego nie da się uprościć równania. To najważniejszy krok w zadaniu.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Użyte przy analizie znaku \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) w poszczególnych ćwiartkach.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja przez punkt \\(M(x,y)\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad r = \\sqrt{x^2 + y^2}\\]<br>Użyte do wyznaczenia współrzędnych punktu na końcowym ramieniu.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to <strong>niezauważenie jedynki trygonometrycznej</strong> po prawej stronie. Uczniowie zaczynają od podstawień przez definicję i wpadają w żmudne obliczenia - a wystarczy jedna obserwacja!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mając \\(\\operatorname{tg}\\alpha &gt; 0\\) i \\(\\sin\\alpha &lt; 0\\), niektórzy błędnie wybierają IV ćwiartkę. Pamiętaj: w IV ćwiartce \\(\\operatorname{tg}\\alpha &lt; 0\\) (sinus ujemny, cosinus dodatni). Jedyną opcją jest <strong>III ćwiartka</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pytanie b) prosi o dowolny punkt - nie musisz normalizować do promienia \\(r=1\\). Punkt \\((-4,-3)\\) jest prostszy do podania niż \\(\\left(-\\frac{4}{5}, -\\frac{3}{5}\\right)\\) i jest w pełni poprawny.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie (3 pkt)</strong></p>\n<h5>a) Obliczam \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)</h5>\n<p>Z podanego równania:<br>\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\sin^{2}\\alpha + 3\\cos^{2}\\alpha = 3(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha).\\]<br>Korzystam z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):<br>\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3 \\cdot 1 = 3 \\Rightarrow \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}.\\]</p>\n<h5>b) Położenie kąta \\(\\alpha\\)</h5>\n<p>Z warunku \\(\\sin\\alpha &lt; 0\\) i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4} &gt; 0\\) wynika, że także \\(\\cos\\alpha &lt; 0\\) (bo \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sin}{\\cos}\\) i iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni).</p>\n<p>Zatem kąt \\(\\alpha\\) leży w <strong>III ćwiartce</strong> układu współrzędnych.</p>\n<h5>Punkt na końcowym ramieniu</h5>\n<p>Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{y}{x} = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(x &lt; 0\\), \\(y &lt; 0\\), możemy wziąć np.<br>\\[P = (-4, -3).\\]<br>Sprawdzenie: \\(\\dfrac{-3}{-4} = \\dfrac{3}{4}\\) ✓ oraz \\(y = -3 &lt; 0\\) ✓.</p>\n<p><strong>Odp.:</strong> \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\); przykładowy punkt na końcowym ramieniu to \\((-4, -3)\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}$, Punkt: np. $(-4, -3)$</p>"}]}