Zadanie 6. (7 pkt)
Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono
rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy
gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota
wystarczy na zakup działki P2.
A
B
C
D
E
P1
2
P
AE
5 cm,
EC
13 cm,
BC
6,5 cm.
Nr czynności
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt
Arkusz I
8
Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki P_2.
Krok 1: Wyznaczamy |AC| z twierdzenia Pitagorasa.
\nTrójkąt ACE ma kąt prosty przy A, więc EC jest przeciwprostokątną:
\\[|AE|^2 + |AC|^2 = |EC|^2\\]
\\[5^2 + |AC|^2 = 13^2\\]
\\[|AC|^2 = 169 - 25 = 144\\]
\\[|AC| = 12 \\text{ cm}\\]
Krok 2: Uzasadniamy podobieństwo trójkątów BDC i ACE.
\nPrzyjrzyjmy się trójkątowi BDC:
\nPrzyjrzyjmy się trójkątowi ACE:
\nDwa kąty równe → trójkąty BDC i ACE są podobne (AA), przy czym odpowiadające sobie wierzchołki to: D ↔ A, B ↔ E, C ↔ C.
\nKrok 3: Wyznaczamy skali podobieństwa.
\nZ podobieństwa:
\\[\\frac{|BC|}{|EC|} = \\frac{|DC|}{|AC|} = \\frac{|BD|}{|AE|}\\]
\\[\\frac{6{,}5}{13} = \\frac{1}{2}\\]
Skala podobieństwa wynosi \\(k = \\frac{1}{2}\\), zatem:
\\[|BD| = \\frac{1}{2} \\cdot |AE| = \\frac{1}{2} \\cdot 5 = 2{,}5 \\text{ cm}\\]
\\[|DC| = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot 12 = 6 \\text{ cm}\\]
Krok 4: Obliczamy pole trójkąta BDC (działka P₂ na rysunku).
\nTrójkąt BDC ma kąt prosty przy D, więc:
\\[P_{\\text{rys}} = \\frac{1}{2} \\cdot |BD| \\cdot |DC| = \\frac{1}{2} \\cdot 2{,}5 \\cdot 6 = 7{,}5 \\text{ cm}^2\\]
Krok 5: Przeliczamy na metry kwadratowe (skala 1:1000).
\nSkala \\(1:1000\\) oznacza: \\(1 \\text{ cm na rysunku} = 1000 \\text{ cm} = 10 \\text{ m w terenie}\\)
\n\\[1 \\text{ cm}^2 \\text{ na rysunku} = (10 \\text{ m})^2 = 100 \\text{ m}^2\\]
\\[P_{P_2} = 7{,}5 \\cdot 100 = 750 \\text{ m}^2\\]
Krok 6: Obliczamy koszt.
\n\\[\\text{Koszt} = 750 \\text{ m}^2 \\cdot 35 \\frac{\\text{zł}}{\\text{m}^2} = 26\\,250 \\text{ zł}\\]
\nWniosek: \\(26\\,250 \\text{ zł} > 26\\,000 \\text{ zł}\\) - kwota przeznaczona przez państwa Nowaków nie wystarczy. Brakuje 250 zł.
\nUstawiamy układ współrzędnych: \\(A = (0, 0)\\), \\(C = (12, 0)\\), \\(E = (0, 5)\\).
\nWyznaczamy B: B leży na AC z \\(|BC| = 6{,}5\\), więc \\(|AB| = 12 - 6{,}5 = 5{,}5\\), zatem \\(B = (5{,}5;\\; 0)\\).
\nRównanie prostej EC: Przez punkty \\(E(0, 5)\\) i \\(C(12, 0)\\):
\\[5x + 12y - 60 = 0\\]
Długość |BD| (odległość punktu B od prostej EC):
\\[|BD| = \\frac{|5 \\cdot 5{,}5 + 12 \\cdot 0 - 60|}{\\sqrt{5^2 + 12^2}} = \\frac{|27{,}5 - 60|}{\\sqrt{25 + 144}} = \\frac{32{,}5}{13} = 2{,}5 \\text{ cm}\\]
Długość |DC| z trójkąta prostokątnego BDC (kąt prosty przy D):
\\[|DC| = \\sqrt{|BC|^2 - |BD|^2} = \\sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2} = \\sqrt{42{,}25 - 6{,}25} = \\sqrt{36} = 6 \\text{ cm}\\]
Pole działki P₂:
\\[P_{\\text{rys}} = \\frac{1}{2} \\cdot 2{,}5 \\cdot 6 = 7{,}5 \\text{ cm}^2\\]
Dalej identycznie jak w Sposobie 1: pole rzeczywiste \\(= 750 \\text{ m}^2\\), koszt \\(= 26\\,250 \\text{ zł}\\) > 26 000 zł.
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia \\(|AC| = 12\\) cm.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]
Użyte w Kroku 4 - podstawa DC i odpowiadająca jej wysokość BD (prostopadła do DC).
Dział 10 (Planimetria, s. 21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
Można też zastosować: skoro trójkąty BDC i ACE są podobne w skali \\(k = \\frac{1}{2}\\), to:
\\[P_{BDC} = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot P_{ACE} = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 5 = \\frac{1}{4} \\cdot 30 = 7{,}5 \\text{ cm}^2\\]
Dział 11 (Geometria analityczna, s. 24) - odległość punktu od prostej:
\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(|BD|\\).
⚠️ Uwaga: Skala 1:1000 dotyczy długości - 1 cm = 10 m. Przy przeliczaniu pola skala działa do kwadratu: 1 cm² = 100 m², nie 1000 m². To najczęstszy błąd w tym typie zadania!\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno zapomnieć o wyznaczeniu |AC| twierdzeniem Pitagorasa - bez tego nie wyliczymy |DC| i |BD| ze skali podobieństwa.\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt BDC ma kąt prosty przy D (bo BD ⊥ EC), nie przy B ani C. Mylenie tego prowadzi do błędnego wyznaczenia boku z Pitagorasa.\n
Rozwiązanie (7 pkt)
\nTrójkąty \\(ACE\\) i \\(DCB\\) są podobne (wspólny kąt przy \\(C\\) oraz kąt prosty: w \\(ACE\\) przy \\(A\\), w \\(DCB\\) przy \\(D\\)).
\n\\[k = \\dfrac{|BC|}{|EC|} = \\dfrac{6{,}5}{13} = \\dfrac{1}{2}.\\]
\nZ twierdzenia o polach figur podobnych:
\\[\\dfrac{P_{\\triangle DCB}}{P_{\\triangle ACE}} = k^{2} = \\dfrac{1}{4}.\\]
\\[|AC| = \\sqrt{|EC|^2 - |AE|^2} = \\sqrt{13^2 - 5^2} = \\sqrt{169 - 25} = \\sqrt{144} = 12 \\text{ cm}.\\]
\n\\[P_{\\triangle ACE} = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AE|\\cdot |AC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 12 = 30 \\text{ cm}^{2}.\\]
\n\\[P_{2}^{\\text{rys}} = \\dfrac{1}{4}\\cdot 30 = 7{,}5 \\text{ cm}^{2}.\\]
\nSkala liniowa \\(1{:}1000\\) \\(\\Rightarrow\\) skala pól \\(1{:}1000^{2}\\), czyli \\(1\\) cm\\(^2\\) na rysunku to \\(10000\\) cm\\(^2 = 1\\) m\\(^2\\). Wniosek: \\(1\\) cm\\(^2\\) rysunku \\(\\equiv\\) \\(100\\) m\\(^2\\) w terenie, więc
\\[P_{2} = 7{,}5 \\cdot 100 = 750 \\text{ m}^{2}.\\]
\\[\\text{Koszt} = 750 \\cdot 35 = 26250 \\text{ zł}.\\]
\nOdp.: Kwota \\(26000\\) zł nie wystarczy na zakup działki \\(P_{2}\\) - zabraknie \\(250\\) zł.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Przeznaczona kwota nie wystarczy na zakup tej działki, zabraknie $250$ zł.
"}]}