{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nSzkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem.\nWewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy\nzewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij\ndo 0,01 m.\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n9\nSzkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, kążda o średnicy zewnętrznej $1\\m$. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01\\m.","answer":"W","answer_text":"7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,\nktórą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n- **Szerokość kanału: \\(2\\) m**\n- **Wysokość kanału: \\(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1{,}87\\) m**\n\n## Sposób 1 - geometria układu środków rur\n\n**Dane i oznaczenia:**\n\nKażda rura ma średnicę \\(1\\) m, czyli promień \\(r = \\frac{1}{2} = 0{,}5\\) m.\n\nWprowadźmy układ współrzędnych: początek w lewym dolnym rogu kanału.\n\n**Krok 1 - wyznaczenie szerokości.**\n\nDwie dolne rury leżą na dnie, każda dotyka jednej ściany bocznej i sąsiedniej rury:\n\n\\[\n\\text{Szerokość} = 2 \\cdot d = 2 \\cdot 1 = 2 \\text{ m}\n\\]\n\n**Szerokość kanału wynosi \\(2\\) m.**\n\n**Krok 2 - wyznaczenie środków rur.**\n\nŚrodki dolnych rur (dotykają dna i ścian bocznych):\n\\[\nO_1 = (0{,}5;\\; 0{,}5), \\quad O_2 = (1{,}5;\\; 0{,}5)\n\\]\n\nŚrodek górnej rury leży na osi symetrii, czyli \\(x = 1\\). Oznaczmy go \\(O_3 = (1;\\; h)\\).\n\n**Krok 3 - warunek stykania się górnej rury z dolnymi.**\n\nRury stykają się zewnętrznie → odległość środków wynosi \\(r + r = 1\\) m:\n\n\\[\n|O_1 O_3| = 1\n\\]\n\\[\n\\sqrt{(1 - 0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2} = 1\n\\]\n\\[\n(0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2 = 1\n\\]\n\\[\n(h - 0{,}5)^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = \\frac{3}{4}\n\\]\n\\[\nh - 0{,}5 = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad h = \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczenie wysokości kanału.**\n\nGórna rura dotyka górnej ściany kanału, więc:\n\n\\[\nH = h + r = \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} = 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\nLiczbowo:\n\\[\nH = 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1 + \\frac{1{,}7321}{2} \\approx 1 + 0{,}8660 \\approx 1{,}866\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{H \\approx 1{,}87 \\text{ m}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - przez trójkąt równoboczny środków\n\n**Obserwacja:** Środki wszystkich trzech rur tworzą trójkąt, w którym każde dwie rury się stykają zewnętrznie → każdy bok trójkąta ma długość \\(r + r = 1\\) m. Jest to **trójkąt równoboczny** o boku \\(1\\) m.\n\n**Wysokość trójkąta równobocznego** (wzór z karty CKE):\n\\[\nh_{\\triangle} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\text{ m}\n\\]\n\nSkładamy pełną wysokość kanału:\n\n| Element | Wartość |\n| Odległość od dna do środka dolnej rury | \\(r = 0{,}5\\) m |\n| Odległość między środkami (pionowo) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) m |\n| Odległość od środka górnej rury do sufitu | \\(r = 0{,}5\\) m |\n| **Suma = wysokość kanału** | \\(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1{,}87\\) m |\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[\na^2 + b^2 = c^2\n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 przy obliczaniu odległości środków: \\((0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2 = 1^2\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[\nh = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do obliczenia pionowej odległości między poziomami środków rur.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - Odległość dwóch punktów:\n\\[\n|O_1 O_3| = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\n\\]\nUżyliśmy tego wzoru do zapisania warunku stykania się rur.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szerokość to \\(2\\) m, nie \\(3 \\cdot 1 = 3\\) m - kanał mieści dwie rury **obok siebie**, nie trzy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Górna rura dotyka dwóch dolnych, ale jej środek nie leży dokładnie nad punktem styku dolnych rur - to środek **trójkąta równobocznego**, wyznaczony przez Pitagorasa. Błąd: przyjęcie wysokości \\(1 + 1 = 2\\) m (jakby rury stały jedna na drugiej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość to odległość od **zewnętrznej powierzchni** dolnej rury do **zewnętrznej powierzchni** górnej rury - nie od środka do środka. Trzeba dodać dwa promienie (\\(r\\) na dole i \\(r\\) na górze).\n\n**Rozwiązanie (5 pkt)**\n\n### Geometria rozmieszczenia\nŚrodki trzech okręgów (promień \\(r = 0{,}5\\) m, średnica \\(2r = 1\\) m) tworzą trójkąt równoboczny o boku \\(a = 2r = 1\\) m (bo okręgi są styczne).\n\n### Szerokość kanału\nDwie rury leżą na dnie obok siebie - ich łączna średnica to szerokość kanału:\n\\[s = 2 \\cdot 1 = 2 \\text{ m}.\\]\n\n### Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a = 1\\)\n\\[h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n### Wysokość kanału\nWysokość = (odległość dna od środków dolnych rur) + (odległość między środkami pionowa = \\(h\\)) + (odległość środka górnej rury od sufitu) = \\(r + h + r = 2r + h\\):\n\\[d = 1 + \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\):\n\\[d \\approx 1 + \\dfrac{1{,}732}{2} = 1 + 0{,}866 = 1{,}866 \\approx 1{,}87 \\text{ m}.\\]\n\n**Odp.:** Wysokość kanału \\(d \\approx 1{,}87\\) m, szerokość \\(s = 2\\) m.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (5 pkt)
Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem.
Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy
zewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij
do 0,01 m.
Nr czynności
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
Maks. liczba pkt
1
1
2
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
9
Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, kążda o średnicy zewnętrznej $1\\m$. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01\\m.

","answer_text_html":"
  1. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
\n

którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n\n

Sposób 1 - geometria układu środków rur

\n

Dane i oznaczenia:

\n

Każda rura ma średnicę \\(1\\) m, czyli promień \\(r = \\frac{1}{2} = 0{,}5\\) m.

\n

Wprowadźmy układ współrzędnych: początek w lewym dolnym rogu kanału.

\n

Krok 1 - wyznaczenie szerokości.

\n

Dwie dolne rury leżą na dnie, każda dotyka jednej ściany bocznej i sąsiedniej rury:

\n

\\[
\\text{Szerokość} = 2 \\cdot d = 2 \\cdot 1 = 2 \\text{ m}
\\]

\n

Szerokość kanału wynosi \\(2\\) m.

\n

Krok 2 - wyznaczenie środków rur.

\n

Środki dolnych rur (dotykają dna i ścian bocznych):
\\[
O_1 = (0{,}5;\\; 0{,}5), \\quad O_2 = (1{,}5;\\; 0{,}5)
\\]

\n

Środek górnej rury leży na osi symetrii, czyli \\(x = 1\\). Oznaczmy go \\(O_3 = (1;\\; h)\\).

\n

Krok 3 - warunek stykania się górnej rury z dolnymi.

\n

Rury stykają się zewnętrznie → odległość środków wynosi \\(r + r = 1\\) m:

\n

\\[
|O_1 O_3| = 1
\\]
\\[
\\sqrt{(1 - 0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2} = 1
\\]
\\[
(0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2 = 1
\\]
\\[
(h - 0{,}5)^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = \\frac{3}{4}
\\]
\\[
h - 0{,}5 = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad h = \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}
\\]

\n

Krok 4 - wyznaczenie wysokości kanału.

\n

Górna rura dotyka górnej ściany kanału, więc:

\n

\\[
H = h + r = \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} = 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}
\\]

\n

Liczbowo:
\\[
H = 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1 + \\frac{1{,}7321}{2} \\approx 1 + 0{,}8660 \\approx 1{,}866
\\]

\n

\\[
\\boxed{H \\approx 1{,}87 \\text{ m}}
\\]

\n

Sposób 2 - przez trójkąt równoboczny środków

\n

Obserwacja: Środki wszystkich trzech rur tworzą trójkąt, w którym każde dwie rury się stykają zewnętrznie → każdy bok trójkąta ma długość \\(r + r = 1\\) m. Jest to trójkąt równoboczny o boku \\(1\\) m.

\n

Wysokość trójkąta równobocznego (wzór z karty CKE):
\\[
h_{\\triangle} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\text{ m}
\\]

\n

Składamy pełną wysokość kanału:

\n

| Element | Wartość |
| Odległość od dna do środka dolnej rury | \\(r = 0{,}5\\) m |
| Odległość między środkami (pionowo) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) m |
| Odległość od środka górnej rury do sufitu | \\(r = 0{,}5\\) m |
| Suma = wysokość kanału | \\(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1{,}87\\) m |

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[
a^2 + b^2 = c^2
\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 przy obliczaniu odległości środków: \\((0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2 = 1^2\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Wysokość trójkąta równobocznego:
\\[
h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}
\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do obliczenia pionowej odległości między poziomami środków rur.

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - Odległość dwóch punktów:
\\[
|O_1 O_3| = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\\]
Użyliśmy tego wzoru do zapisania warunku stykania się rur.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Szerokość to \\(2\\) m, nie \\(3 \\cdot 1 = 3\\) m - kanał mieści dwie rury obok siebie, nie trzy.
\n
⚠️ Uwaga: Górna rura dotyka dwóch dolnych, ale jej środek nie leży dokładnie nad punktem styku dolnych rur - to środek trójkąta równobocznego, wyznaczony przez Pitagorasa. Błąd: przyjęcie wysokości \\(1 + 1 = 2\\) m (jakby rury stały jedna na drugiej).
\n
⚠️ Uwaga: Wysokość to odległość od zewnętrznej powierzchni dolnej rury do zewnętrznej powierzchni górnej rury - nie od środka do środka. Trzeba dodać dwa promienie (\\(r\\) na dole i \\(r\\) na górze).
\n

Rozwiązanie (5 pkt)

\n
Geometria rozmieszczenia
\n

Środki trzech okręgów (promień \\(r = 0{,}5\\) m, średnica \\(2r = 1\\) m) tworzą trójkąt równoboczny o boku \\(a = 2r = 1\\) m (bo okręgi są styczne).

\n
Szerokość kanału
\n

Dwie rury leżą na dnie obok siebie - ich łączna średnica to szerokość kanału:
\\[s = 2 \\cdot 1 = 2 \\text{ m}.\\]

\n
Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a = 1\\)
\n

\\[h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]

\n
Wysokość kanału
\n

Wysokość = (odległość dna od środków dolnych rur) + (odległość między środkami pionowa = \\(h\\)) + (odległość środka górnej rury od sufitu) = \\(r + h + r = 2r + h\\):
\\[d = 1 + \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]

\n

Podstawiamy \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\):
\\[d \\approx 1 + \\dfrac{1{,}732}{2} = 1 + 0{,}866 = 1{,}866 \\approx 1{,}87 \\text{ m}.\\]

\n

Odp.: Wysokość kanału \\(d \\approx 1{,}87\\) m, szerokość \\(s = 2\\) m.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Wysokość $d \\approx 1{,}87$ m, szerokość $s = 2$ m.

"}]}