{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n5\n6\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\na) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.\nb) Podaj rozwiązanie nierówności\n0\n)\n(\n≥\nx\nf\n0\n1\n1\nx\ny\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\n8.4.\n8.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n10\nRysowanie wykresu funkcji kwadratowej f(x) = -x^2+6x-5. Odczytanie z wykresu zbioru wartości. Rozwiązanie nierówności f(x) ≥ 0. Liczenie współczędnych wierzchołka, delty. Odczytywanie z wykresu zbioru wartości. Odczytywanie z wykresu rozwiązania nierówności.","answer":null,"answer_text":"8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla\ni linijki oraz kalkulatora.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) Zbiór wartości: \\(W_f = (-\\infty, 4\\rangle\\)\n\nb) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\): \\(x \\in \\langle 1, 5 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - przez postać kanoniczną i iloczynową\n\n**Identyfikujemy współczynniki:**\n\n\\[f(x) = -x^2 + 6x - 5, \\quad a = -1,\\ b = 6,\\ c = -5\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola jest skierowana **ramionami w dół** - będzie miała maksimum.\n\n**Wyznaczamy wierzchołek:**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = 3\\]\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 4 \\cdot (-1) \\cdot (-5) = 36 - 20 = 16\\]\n\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{16}{4 \\cdot (-1)} = 4\\]\n\n**Postać kanoniczna:**\n\n\\[f(x) = -(x - 3)^2 + 4\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (3,\\ 4)\\) - to punkt **najwyższy** wykresu.\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** (by naszkicować wykres):\n\n\\[\\Delta = 16 > 0 \\implies \\text{dwa miejsca zerowe}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 - 4}{-2} = \\frac{-10}{-2} = 5\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 + 4}{-2} = \\frac{-2}{-2} = 1\\]\n\n**Postać iloczynowa:**\n\n\\[f(x) = -(x-1)(x-5)\\]\n\n**Szkic wykresu:**\n\nParabola przecina oś \\(x\\) w punktach \\((1, 0)\\) i \\((5, 0)\\), osiąga wierzchołek \\((3, 4)\\), oś \\(y\\) przecina w punkcie \\((0, -5)\\) (bo \\(f(0) = -5\\)), ramiona skierowane **w dół**.\n\n*(3,4)\n(1,0) (5,0)\n\n**a) Zbiór wartości:**\n\nPonieważ parabola ma ramiona w dół, funkcja przyjmuje wartości **co najwyżej** \\(q = 4\\):\n\n\\[\\boxed{W_f = (-\\infty,\\ 4\\rangle}\\]\n\n**b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\):**\n\nZ wykresu / postaci iloczynowej: parabolа jest **powyżej lub na osi \\(x\\)** między miejscami zerowymi:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle 1,\\ 5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - nierówność algebraicznie (bez wykresu)\n\nRozwiązujemy \\(f(x) \\geq 0\\) bezpośrednio:\n\n\\[-x^2 + 6x - 5 \\geq 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga, odwracamy znak nierówności!**\n\n\\[x^2 - 6x + 5 \\leq 0\\]\n\nFaktoryzujemy lewą stronę:\n\n\\[(x-1)(x-5) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\) wtedy, gdy mają **przeciwne znaki** (lub jeden równa się zero). Analizujemy znak:\n\n| Przedział | \\((x-1)\\) | \\((x-5)\\) | iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(1 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 5\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle 1,\\ 5 \\rangle\\). ✓ - **wynik zgodny ze Sposobem 1.**\n\n**Weryfikacja wierzchołka** (zbiór wartości): Postać \\(f(x) = -(x-3)^2 + 4\\) - człon \\(-(x-3)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(f(x) \\leq 4\\). Wartość 4 jest osiągana dla \\(x = 3\\). Funkcja jest ciągła i nieograniczona od dołu (ramiona idą do \\(-\\infty\\)), zatem \\(W_f = (-\\infty, 4\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nMiejsca zerowe (gdy \\(\\Delta > 0\\)):\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\]\n\nWszystkich pięciu wzorów użyliśmy w tym zadaniu. Karta wzorów jest tu wyjątkowo przydatna - maturzysta może z niej odczytać gotowe wzory bez wyprowadzania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie nierówności przez \\(-1\\) **odwraca znak** nierówności. Bardzo częsty błąd to napisanie \\(x^2 - 6x + 5 \\geq 0\\) (zły kierunek) - wtedy wynik jest dopełnieniem poprawnego przedziału.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości to NIE jest \\(\\mathbb{R}\\) ani \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\). Parabola skierowana w dół ma zbiór wartości \\((-\\infty, q\\rangle\\) - nie ma ograniczenia od dołu, bo ramiona biegną do \\(-\\infty\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) ma rozwiązanie będące **przedziałem domkniętym** \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) (punkty zerowe **należą** do rozwiązania, bo \\(f(1) = f(5) = 0 \\geq 0\\)). Nie wolno stosować nawiasów ostrych \\((1, 5)\\).\n\n**Rozwiązanie (5 pkt)**\n\n### Współczynniki paraboli \\(f(x) = -x^{2} + 6x - 5\\)\n\\(a = -1\\), \\(b = 6\\), \\(c = -5\\). Ponieważ \\(a < 0\\), parabola jest **skierowana ramionami w dół**.\n\n### Wierzchołek paraboli\n\\[p = \\dfrac{-b}{2a} = \\dfrac{-6}{-2} = 3.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 36 - 4\\cdot(-1)\\cdot(-5) = 36 - 20 = 16\\).\n\\[q = \\dfrac{-\\Delta}{4a} = \\dfrac{-16}{-4} = 4.\\]\nWierzchołek \\(W = (3, 4)\\).\n\n### Miejsca zerowe\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 4\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{-6 - 4}{-2} = 5, \\quad x_{2} = \\dfrac{-6 + 4}{-2} = 1.\\]\n\n### a) Zbiór wartości\nMaksymalna wartość to \\(q = 4\\), parabola otwiera się w dół, więc\n\\[\\text{Zw} = (-\\infty, 4\\rangle.\\]\n\n### b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\ge 0\\)\nParabola jest nad (lub na) osią \\(OX\\) między miejscami zerowymi:\n\\[x \\in \\langle 1, 5\\rangle.\\]\n\n**Odp.:** Zw \\(= (-\\infty, 4\\rangle\\); \\(f(x) \\ge 0 \\Leftrightarrow x \\in \\langle 1, 5\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (5 pkt)
Dana jest funkcja
5
6
)
(
2
x
x
x
f
a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.
b) Podaj rozwiązanie nierówności
0
)
(
≥
x
f
0
1
1
x
y
Nr czynności
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
10
Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej f(x) = -x^2+6x-5. Odczytanie z wykresu zbioru wartości. Rozwiązanie nierówności f(x) ≥ 0. Liczenie współczędnych wierzchołka, delty. Odczytywanie z wykresu zbioru wartości. Odczytywanie z wykresu rozwiązania nierówności.

","answer_text_html":"
  1. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
\n

i linijki oraz kalkulatora.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Zbiór wartości: \\(W_f = (-\\infty, 4\\rangle\\)

\n

b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\): \\(x \\in \\langle 1, 5 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - przez postać kanoniczną i iloczynową

\n

Identyfikujemy współczynniki:

\n

\\[f(x) = -x^2 + 6x - 5, \\quad a = -1,\\ b = 6,\\ c = -5\\]

\n

Ponieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola jest skierowana ramionami w dół - będzie miała maksimum.

\n

Wyznaczamy wierzchołek:

\n

\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = 3\\]

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 4 \\cdot (-1) \\cdot (-5) = 36 - 20 = 16\\]

\n

\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{16}{4 \\cdot (-1)} = 4\\]

\n

Postać kanoniczna:

\n

\\[f(x) = -(x - 3)^2 + 4\\]

\n

Wierzchołek: \\(W = (3,\\ 4)\\) - to punkt najwyższy wykresu.

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe (by naszkicować wykres):

\n

\\[\\Delta = 16 > 0 \\implies \\text{dwa miejsca zerowe}\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 - 4}{-2} = \\frac{-10}{-2} = 5\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 + 4}{-2} = \\frac{-2}{-2} = 1\\]

\n

Postać iloczynowa:

\n

\\[f(x) = -(x-1)(x-5)\\]

\n

Szkic wykresu:

\n

Parabola przecina oś \\(x\\) w punktach \\((1, 0)\\) i \\((5, 0)\\), osiąga wierzchołek \\((3, 4)\\), oś \\(y\\) przecina w punkcie \\((0, -5)\\) (bo \\(f(0) = -5\\)), ramiona skierowane w dół.

\n

*(3,4)
(1,0) (5,0)

\n

a) Zbiór wartości:

\n

Ponieważ parabola ma ramiona w dół, funkcja przyjmuje wartości co najwyżej \\(q = 4\\):

\n

\\[\\boxed{W_f = (-\\infty,\\ 4\\rangle}\\]

\n

b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\):

\n

Z wykresu / postaci iloczynowej: parabolа jest powyżej lub na osi \\(x\\) między miejscami zerowymi:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\langle 1,\\ 5 \\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - nierówność algebraicznie (bez wykresu)

\n

Rozwiązujemy \\(f(x) \\geq 0\\) bezpośrednio:

\n

\\[-x^2 + 6x - 5 \\geq 0\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) - uwaga, odwracamy znak nierówności!

\n

\\[x^2 - 6x + 5 \\leq 0\\]

\n

Faktoryzujemy lewą stronę:

\n

\\[(x-1)(x-5) \\leq 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\) wtedy, gdy mają przeciwne znaki (lub jeden równa się zero). Analizujemy znak:

\n

| Przedział | \\((x-1)\\) | \\((x-5)\\) | iloczyn |
| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(1 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x = 5\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle 1,\\ 5 \\rangle\\). ✓ - wynik zgodny ze Sposobem 1.

\n

Weryfikacja wierzchołka (zbiór wartości): Postać \\(f(x) = -(x-3)^2 + 4\\) - człon \\(-(x-3)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(f(x) \\leq 4\\). Wartość 4 jest osiągana dla \\(x = 3\\). Funkcja jest ciągła i nieograniczona od dołu (ramiona idą do \\(-\\infty\\)), zatem \\(W_f = (-\\infty, 4\\rangle\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]

\n

Miejsca zerowe (gdy \\(\\Delta > 0\\)):
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]

\n

Postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\]

\n

Wszystkich pięciu wzorów użyliśmy w tym zadaniu. Karta wzorów jest tu wyjątkowo przydatna - maturzysta może z niej odczytać gotowe wzory bez wyprowadzania.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mnożenie nierówności przez \\(-1\\) odwraca znak nierówności. Bardzo częsty błąd to napisanie \\(x^2 - 6x + 5 \\geq 0\\) (zły kierunek) - wtedy wynik jest dopełnieniem poprawnego przedziału.
\n
⚠️ Uwaga: Zbiór wartości to NIE jest \\(\\mathbb{R}\\) ani \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\). Parabola skierowana w dół ma zbiór wartości \\((-\\infty, q\\rangle\\) - nie ma ograniczenia od dołu, bo ramiona biegną do \\(-\\infty\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) ma rozwiązanie będące przedziałem domkniętym \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) (punkty zerowe należą do rozwiązania, bo \\(f(1) = f(5) = 0 \\geq 0\\)). Nie wolno stosować nawiasów ostrych \\((1, 5)\\).
\n

Rozwiązanie (5 pkt)

\n
Współczynniki paraboli \\(f(x) = -x^{2} + 6x - 5\\)
\n

\\(a = -1\\), \\(b = 6\\), \\(c = -5\\). Ponieważ \\(a < 0\\), parabola jest skierowana ramionami w dół.

\n
Wierzchołek paraboli
\n

\\[p = \\dfrac{-b}{2a} = \\dfrac{-6}{-2} = 3.\\]
Wyróżnik: \\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 36 - 4\\cdot(-1)\\cdot(-5) = 36 - 20 = 16\\).
\\[q = \\dfrac{-\\Delta}{4a} = \\dfrac{-16}{-4} = 4.\\]
Wierzchołek \\(W = (3, 4)\\).

\n
Miejsca zerowe
\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = 4\\]
\\[x_{1} = \\dfrac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{-6 - 4}{-2} = 5, \\quad x_{2} = \\dfrac{-6 + 4}{-2} = 1.\\]

\n
a) Zbiór wartości
\n

Maksymalna wartość to \\(q = 4\\), parabola otwiera się w dół, więc
\\[\\text{Zw} = (-\\infty, 4\\rangle.\\]

\n
b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\ge 0\\)
\n

Parabola jest nad (lub na) osią \\(OX\\) między miejscami zerowymi:
\\[x \\in \\langle 1, 5\\rangle.\\]

\n

Odp.: Zw \\(= (-\\infty, 4\\rangle\\); \\(f(x) \\ge 0 \\Leftrightarrow x \\in \\langle 1, 5\\rangle\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Zbiór wartości: $(-\\infty, 4\\rangle$, zbiór rozwiązań nierówności: $x \\in \\langle 1, 5 \\rangle$.

"}]}