{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nDach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,\nktórego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem\no\n60 .\na) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.\nb) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia\n1\n2\nm potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\n9.4.\n9.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n11\nDach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości. b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1m^2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.","answer":"N","answer_text":"9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla\negzaminatora.","solution":"## Poprawna odpowiedź: **830 dachówek**\n\n## Sposób 1 - przez apotemę ostrosłupa i kąt nachylenia ściany\n\n### Dane i szkic\n\nOstrosłup prawidłowy czworokątny: krawędź podstawy \\(a = 4\\) m, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy \\(\\alpha = 60°\\).\n\nKluczowe elementy pomocniczego rysunku:\n- Środek podstawy \\(O\\)\n- Środek krawędzi podstawy \\(S\\)\n- Wierzchołek ostrosłupa \\(V\\)\n\nW przekroju prostopadłym do krawędzi podstawy przez środek mamy **trójkąt prostokątny** \\(OVS\\), gdzie:\n- \\(|OS| = \\frac{a}{2} = 2\\) m - apotema podstawy (połowa boku),\n- \\(\\angle VSO = 60°\\) - kąt nachylenia ściany do podstawy (to właśnie kąt między ścianą a płaszczyzną podstawy mierzony wzdłuż tej prostopadłej),\n- \\(|VS| = m\\) - **apotema ostrosłupa** (wysokość trójkąta bocznego).\n\n### Krok 1: Apotema ostrosłupa\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(OVS\\):\n\n\\[\\cos 60° = \\frac{|OS|}{|VS|} = \\frac{2}{m}\\]\n\n\\[m = \\frac{2}{\\cos 60°} = \\frac{2}{\\frac{1}{2}} = 4 \\text{ m}\\]\n\n### Krok 2: Pole jednej ściany bocznej\n\nKażda ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 4\\) m i wysokości równej apotemie \\(m = 4\\) m:\n\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 4 = 8 \\text{ m}^2\\]\n\n### Krok 3: Całkowite pole boczne dachu\n\nOstrosłup ma **4 ściany boczne**:\n\n\\[P_b = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 8 = 32 \\text{ m}^2\\]\n\n### Krok 4: Liczba dachówek\n\nLiczba dachówek bez zapasu:\n\\[n = 32 \\cdot 24 = 768 \\text{ szt.}\\]\n\nZ doliczonym \\(8\\%\\) zapasem:\n\\[n_{\\text{zakup}} = 768 \\cdot 1{,}08 = 829{,}44\\]\n\nPonieważ dachówki kupujemy w całości, **zaokrąglamy w górę**:\n\n\\[\\boxed{n_{\\text{zakup}} = 830 \\text{ dachówek}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość ostrosłupa (z weryfikacją pola bocznego)\n\n**Wyznaczamy wysokość ostrosłupa** z tego samego trójkąta \\(OVS\\):\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|OS|} = \\frac{h}{2}\\]\n\n\\[h = 2 \\cdot \\operatorname{tg} 60° = 2\\sqrt{3} \\text{ m}\\]\n\n**Weryfikacja apotemy** przez twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[m = \\sqrt{h^2 + |OS|^2} = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12 + 4} = \\sqrt{16} = 4 \\text{ m}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. Dalsze obliczenia identyczne → **830 dachówek**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole boczne ostrosłupa:\n\nKarta wzorów nie podaje wprost wzoru na pole boczne ostrosłupa prawidłowego, ale korzystamy z:\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m\\]\ngdzie \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(m\\) - apotema (wysokość trójkąta bocznego).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\]\nUżyliśmy przy wyznaczaniu apotemy ostrosłupa z kąta nachylenia ściany.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy do obliczenia pola każdej ściany bocznej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany a płaszczyzną podstawy - mierzymy go w punkcie środka krawędzi podstawy (wzdłuż apotemy). To NIE jest kąt przy wierzchołku ostrosłupa ani kąt krawędzi bocznej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotemą ostrosłupa jest **wysokość trójkąta bocznego** (od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy), a nie długość krawędzi bocznej. Mylenie tych dwóch długości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(829{,}44\\) dachówek zaokrąglamy **w górę** do \\(830\\) - nie można kupić ułamka dachówki, a zaokrąglenie w dół oznaczałoby brak materiału.\n\n**Rozwiązanie (6 pkt)**\n\n### Oznaczenia\n\\(a = |AB| = 4\\) m - krawędź podstawy. \\(O\\) - środek podstawy, \\(F\\) - środek boku \\(BC\\), \\(S\\) - wierzchołek. Kąt \\(\\angle SFO = 60^{\\circ}\\) - kąt między ścianą boczną a podstawą. Apotema ściany bocznej to \\(|SF| = h_{b}\\).\n\n### Obliczam apotemę \\(|SF|\\)\nOdcinek \\(|OF| = \\dfrac{a}{2} = 2\\) m (odległość środka podstawy od środka krawędzi podstawy).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OFS\\): \\(\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{|OF|}{|SF|}\\), więc\n\\[|SF| = \\dfrac{|OF|}{\\cos 60^{\\circ}} = \\dfrac{2}{\\tfrac{1}{2}} = 4 \\text{ m}.\\]\n(Trójkąt \\(EFS\\) z równobocznym rozmieszczeniem, bo kąt \\(60^{\\circ}\\) daje równoboczność.)\n\n### Pole powierzchni dachu (4 trójkąty przystające)\nKażdy trójkąt boczny: podstawa \\(a = 4\\), wysokość \\(h_{b} = 4\\):\n\\[P_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 4 = 8 \\text{ m}^2.\\]\nDach = \\(4\\) trójkąty:\n\\[P = 4 \\cdot 8 = 32 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Liczba dachówek bez zapasu\n\\[32 \\cdot 24 = 768 \\text{ sztuk}.\\]\n\n### Uwzględniam \\(8\\%\\) zapasu\n\\[108\\% \\cdot 768 = 1{,}08 \\cdot 768 = 829{,}44.\\]\nZaokrąglamy **w górę** (nie można kupić ułamka dachówki) do \\(830\\).\n\n**Odp.:** Należy kupić **\\(830\\) sztuk** dachówek.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (6 pkt)
Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,
którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem
o
60 .
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia
1
2
m potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
Nr czynności
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
2
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz I
11
Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości. b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1m^2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.

","answer_text_html":"
  1. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
\n

Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 830 dachówek

\n

Sposób 1 - przez apotemę ostrosłupa i kąt nachylenia ściany

\n
Dane i szkic
\n

Ostrosłup prawidłowy czworokątny: krawędź podstawy \\(a = 4\\) m, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy \\(\\alpha = 60°\\).

\n

Kluczowe elementy pomocniczego rysunku:

\n\n

W przekroju prostopadłym do krawędzi podstawy przez środek mamy trójkąt prostokątny \\(OVS\\), gdzie:

\n\n
Krok 1: Apotema ostrosłupa
\n

Z trójkąta prostokątnego \\(OVS\\):

\n

\\[\\cos 60° = \\frac{|OS|}{|VS|} = \\frac{2}{m}\\]

\n

\\[m = \\frac{2}{\\cos 60°} = \\frac{2}{\\frac{1}{2}} = 4 \\text{ m}\\]

\n
Krok 2: Pole jednej ściany bocznej
\n

Każda ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 4\\) m i wysokości równej apotemie \\(m = 4\\) m:

\n

\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 4 = 8 \\text{ m}^2\\]

\n
Krok 3: Całkowite pole boczne dachu
\n

Ostrosłup ma 4 ściany boczne:

\n

\\[P_b = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 8 = 32 \\text{ m}^2\\]

\n
Krok 4: Liczba dachówek
\n

Liczba dachówek bez zapasu:
\\[n = 32 \\cdot 24 = 768 \\text{ szt.}\\]

\n

Z doliczonym \\(8\\%\\) zapasem:
\\[n_{\\text{zakup}} = 768 \\cdot 1{,}08 = 829{,}44\\]

\n

Ponieważ dachówki kupujemy w całości, zaokrąglamy w górę:

\n

\\[\\boxed{n_{\\text{zakup}} = 830 \\text{ dachówek}}\\]

\n

Sposób 2 - przez wysokość ostrosłupa (z weryfikacją pola bocznego)

\n

Wyznaczamy wysokość ostrosłupa z tego samego trójkąta \\(OVS\\):

\n

\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|OS|} = \\frac{h}{2}\\]

\n

\\[h = 2 \\cdot \\operatorname{tg} 60° = 2\\sqrt{3} \\text{ m}\\]

\n

Weryfikacja apotemy przez twierdzenie Pitagorasa:

\n

\\[m = \\sqrt{h^2 + |OS|^2} = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12 + 4} = \\sqrt{16} = 4 \\text{ m}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. Dalsze obliczenia identyczne → 830 dachówek.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole boczne ostrosłupa:

\n

Karta wzorów nie podaje wprost wzoru na pole boczne ostrosłupa prawidłowego, ale korzystamy z:
\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m\\]
gdzie \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(m\\) - apotema (wysokość trójkąta bocznego).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\]
Użyliśmy przy wyznaczaniu apotemy ostrosłupa z kąta nachylenia ściany.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyliśmy do obliczenia pola każdej ściany bocznej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany a płaszczyzną podstawy - mierzymy go w punkcie środka krawędzi podstawy (wzdłuż apotemy). To NIE jest kąt przy wierzchołku ostrosłupa ani kąt krawędzi bocznej!
\n
⚠️ Uwaga: Apotemą ostrosłupa jest wysokość trójkąta bocznego (od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy), a nie długość krawędzi bocznej. Mylenie tych dwóch długości to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: \\(829{,}44\\) dachówek zaokrąglamy w górę do \\(830\\) - nie można kupić ułamka dachówki, a zaokrąglenie w dół oznaczałoby brak materiału.
\n

Rozwiązanie (6 pkt)

\n
Oznaczenia
\n

\\(a = |AB| = 4\\) m - krawędź podstawy. \\(O\\) - środek podstawy, \\(F\\) - środek boku \\(BC\\), \\(S\\) - wierzchołek. Kąt \\(\\angle SFO = 60^{\\circ}\\) - kąt między ścianą boczną a podstawą. Apotema ściany bocznej to \\(|SF| = h_{b}\\).

\n
Obliczam apotemę \\(|SF|\\)
\n

Odcinek \\(|OF| = \\dfrac{a}{2} = 2\\) m (odległość środka podstawy od środka krawędzi podstawy).

\n

W trójkącie prostokątnym \\(OFS\\): \\(\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{|OF|}{|SF|}\\), więc
\\[|SF| = \\dfrac{|OF|}{\\cos 60^{\\circ}} = \\dfrac{2}{\\tfrac{1}{2}} = 4 \\text{ m}.\\]
(Trójkąt \\(EFS\\) z równobocznym rozmieszczeniem, bo kąt \\(60^{\\circ}\\) daje równoboczność.)

\n
Pole powierzchni dachu (4 trójkąty przystające)
\n

Każdy trójkąt boczny: podstawa \\(a = 4\\), wysokość \\(h_{b} = 4\\):
\\[P_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 4 = 8 \\text{ m}^2.\\]
Dach = \\(4\\) trójkąty:
\\[P = 4 \\cdot 8 = 32 \\text{ m}^{2}.\\]

\n
Liczba dachówek bez zapasu
\n

\\[32 \\cdot 24 = 768 \\text{ sztuk}.\\]

\n
Uwzględniam \\(8\\%\\) zapasu
\n

\\[108\\% \\cdot 768 = 1{,}08 \\cdot 768 = 829{,}44.\\]
Zaokrąglamy w górę (nie można kupić ułamka dachówki) do \\(830\\).

\n

Odp.: Należy kupić \\(830\\) sztuk dachówek.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Należy kupić $830$ sztuk dachówek.

"}]}