{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (5 pkt)\nKorzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\nprawdziwy jest wzór:\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1 3 (1!)\n2 4\n2!\n2\n!\n1 !\n1\nn n\nn\nn\n⎡\n⎤\n⋅⋅\n+ ⋅⋅\n+⋅⋅⋅+\n⎣\n⎦\nNr czynności\n12.1.\n12.2.\n12.3.\n12.4.\n12.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n3\nKorzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n>=1 prawdziwy jest wzór: 1*3*(1!)^2+2\\c 4\\c (2!)^2+...+n(n+2)(n!)^2=[(n+1)!]^2-1","answer":null,"answer_text":"","solution":"Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej $n \\ge 1$.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (5 pkt)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej
1
≥
n
prawdziwy jest wzór:
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
1 3 (1!)
2 4
2!
2
!
1 !
1
n n
n
n
⎡
⎤
⋅⋅

\n\n

+⋅⋅⋅+
⎣
⎦
Nr czynności
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Arkusz II
3
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n>=1 prawdziwy jest wzór: 13(1!)^2+2\\c 4\\c (2!)^2+...+n(n+2)(n!)^2=[(n+1)!]^2-1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n≥1.

"}]}