{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nZnajdź wzór funkcji kwadratowej\n( )\ny\nf x\n, której wykresem jest parabola o wierzchołku\n(1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw\nw postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\n1.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n3\nPoziom podstawowy\nZnajdź wzór funkcji kwadratowej y=f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku (1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsce zerowe i naszkicuj wykres.","answer":null,"answer_text":"1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania\n1 - 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu\nnadzorującego egzamin.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\(f(x) = (x-1)^2 - 9\\), miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołka\n\n**Skąd startujemy?** Mamy wierzchołek paraboli \\(W = (1, -9)\\), więc od razu możemy zapisać postać kanoniczną.\n\nPostać kanoniczna to:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) jest wierzchołkiem.\n\n**Krok 1.** Podstawiamy wierzchołek \\((p, q) = (1, -9)\\):\n\\[f(x) = a(x - 1)^2 - 9\\]\n\nNie znamy jeszcze \\(a\\). Wyznaczamy go z warunku, że parabola przechodzi przez punkt \\((2, -8)\\), czyli \\(f(2) = -8\\).\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(x = 2\\), \\(f(x) = -8\\):\n\\[{-8} = a(2 - 1)^2 - 9\\]\n\\[-8 = a \\cdot 1 - 9\\]\n\\[-8 + 9 = a\\]\n\\[\\mathbf{a = 1}\\]\n\n**Krok 3.** Wzór funkcji w postaci kanonicznej:\n\\[\\boxed{f(x) = (x-1)^2 - 9}\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy miejsca zerowe - szukamy \\(x\\) takich, że \\(f(x) = 0\\):\n\\[(x-1)^2 - 9 = 0\\]\n\\[(x-1)^2 = 9\\]\n\\[x - 1 = \\pm 3\\]\n\n\\[x_1 = 1 - 3 = -2, \\qquad x_2 = 1 + 3 = 4\\]\n\n**Miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).**\n\n**Krok 5. Szkic wykresu.** Parabola otwarta ku górze (\\(a = 1 > 0\\)), wierzchołek \\(W = (1, -9)\\), przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\), a oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, f(0)) = (0-1)^2 - 9 = 1 - 9 = -8\\), czyli \\((0, -8)\\).\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna + weryfikacja wzorami Viète'a\n\nRozwijamy postać kanoniczną do ogólnej i weryfikujemy wynik.\n\n**Krok 1.** Rozwijamy:\n\\[f(x) = (x-1)^2 - 9 = x^2 - 2x + 1 - 9 = x^2 - 2x - 8\\]\n\nMamy postać ogólną: \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -8\\).\n\n**Krok 2.** Liczymy miejsca zerowe ze wzorów ogólnych:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 6\\]\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 6}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 6}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3.** Weryfikacja wzorami Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -2 + 4 = 2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{-2}{1} = 2 \\checkmark\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 = (-2) \\cdot 4 = -8 = \\frac{c}{a} = \\frac{-8}{1} = -8 \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - rozwiązanie poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 jako punktu startowego - znając wierzchołek \\((p, q)\\), od razu zapisujemy tę postać.\n\nWierzchołek paraboli: \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) - skorzystaliśmy z odwrotności: mając \\((p,q)\\), wyznaczyliśmy \\(a\\).\n\nWyróżnik i miejsca zerowe (Sposób 2):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nWzory Viète'a (weryfikacja):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola ma wierzchołek w \\((p, q)\\), więc postać kanoniczna to \\(a(x \\mathbf{-} p)^2 + q\\). Jeśli wierzchołek jest w \\((1, -9)\\), piszemy \\((x \\mathbf{-} 1)^2 - 9\\), a **nie** \\((x+1)^2 - 9\\) - to częsty błąd ze znakiem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj z góry, że \\(a = 1\\). Punkt leżący na paraboli to jedyna informacja pozwalająca wyznaczyć \\(a\\) - zawsze podstaw jego współrzędne i rozwiąż równanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\((x-1)^2 = 9\\) pamiętaj o **dwóch** rozwiązaniach: \\(x - 1 = 3\\) oraz \\(x - 1 = -3\\). Wzięcie tylko jednego pierwiastka to klasyczny błąd, który kosztuje połowę punktów.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(f(x) = (x-1)^{2} - 9\\); miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\); wykres - parabola skierowana ramionami w górę z wierzchołkiem \\((1,-9)\\).\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołkiem\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej o wierzchołku \\((p, q)\\):\n\\[y = a(x-p)^{2} + q.\\]\n\nDla wierzchołka \\((1, -9)\\):\n\\[y = a(x-1)^{2} - 9.\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - parabola przechodzi przez \\((2, -8)\\):\n\\[-8 = a(2-1)^{2} - 9\\]\n\\[-8 = a - 9\\]\n\\[a = 1.\\]\n\n**Postać kanoniczna:**\n\\[f(x) = (x-1)^{2} - 9.\\]\n\n**Miejsca zerowe** - rozwiązujemy \\((x-1)^{2} - 9 = 0\\) wzorem skróconego mnożenia \\(A^{2} - B^{2} = (A-B)(A+B)\\):\n\\[(x-1-3)(x-1+3) = 0\\]\n\\[(x-4)(x+2) = 0.\\]\n\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna przez rozwinięcie\nRozwijamy \\((x-1)^{2} - 9 = x^{2} - 2x + 1 - 9 = x^{2} - 2x - 8\\).\n\nMiejsca zerowe wzorem z deltą:\n\\[\\Delta = (-2)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot (-8) = 4 + 32 = 36, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 6.\\]\n\\[x = \\dfrac{2 \\pm 6}{2} \\Rightarrow x_1 = -2, \\quad x_2 = 4.\\]\n\n### Sposób 3 - Wzory Viète'a (weryfikacja)\nDla \\(x^{2} - 2x - 8\\): \\(x_1 + x_2 = 2\\), \\(x_1 \\cdot x_2 = -8\\). Miejsca \\(-2\\) i \\(4\\): \\(-2 + 4 = 2\\) ✓, \\(-2 \\cdot 4 = -8\\) ✓.\n\n### Szkic wykresu\nParabola o ramionach skierowanych w górę (\\(a = 1 > 0\\)), wierzchołek \\((1, -9)\\), przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\), oś symetrii \\(x = 1\\). Punkt przecięcia z osią \\(OY\\): \\(f(0) = -8\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (5 pkt)
Znajdź wzór funkcji kwadratowej
( )
y
f x
, której wykresem jest parabola o wierzchołku
(1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw
w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
Nr czynności
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

3
Poziom podstawowy
Znajdź wzór funkcji kwadratowej y=f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku (1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsce zerowe i naszkicuj wykres.

","answer_text_html":"
  1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania
\n

1 - 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\(f(x) = (x-1)^2 - 9\\), miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\)

\n

Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołka

\n

Skąd startujemy? Mamy wierzchołek paraboli \\(W = (1, -9)\\), więc od razu możemy zapisać postać kanoniczną.

\n

Postać kanoniczna to:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]
gdzie \\(W = (p, q)\\) jest wierzchołkiem.

\n

Krok 1. Podstawiamy wierzchołek \\((p, q) = (1, -9)\\):
\\[f(x) = a(x - 1)^2 - 9\\]

\n

Nie znamy jeszcze \\(a\\). Wyznaczamy go z warunku, że parabola przechodzi przez punkt \\((2, -8)\\), czyli \\(f(2) = -8\\).

\n

Krok 2. Podstawiamy \\(x = 2\\), \\(f(x) = -8\\):
\\[{-8} = a(2 - 1)^2 - 9\\]
\\[-8 = a \\cdot 1 - 9\\]
\\[-8 + 9 = a\\]
\\[\\mathbf{a = 1}\\]

\n

Krok 3. Wzór funkcji w postaci kanonicznej:
\\[\\boxed{f(x) = (x-1)^2 - 9}\\]

\n

Krok 4. Wyznaczamy miejsca zerowe - szukamy \\(x\\) takich, że \\(f(x) = 0\\):
\\[(x-1)^2 - 9 = 0\\]
\\[(x-1)^2 = 9\\]
\\[x - 1 = \\pm 3\\]

\n

\\[x_1 = 1 - 3 = -2, \\qquad x_2 = 1 + 3 = 4\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).

\n

Krok 5. Szkic wykresu. Parabola otwarta ku górze (\\(a = 1 > 0\\)), wierzchołek \\(W = (1, -9)\\), przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\), a oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, f(0)) = (0-1)^2 - 9 = 1 - 9 = -8\\), czyli \\((0, -8)\\).

\n

Sposób 2 - Postać ogólna + weryfikacja wzorami Viète'a

\n

Rozwijamy postać kanoniczną do ogólnej i weryfikujemy wynik.

\n

Krok 1. Rozwijamy:
\\[f(x) = (x-1)^2 - 9 = x^2 - 2x + 1 - 9 = x^2 - 2x - 8\\]

\n

Mamy postać ogólną: \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -8\\).

\n

Krok 2. Liczymy miejsca zerowe ze wzorów ogólnych:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 6\\]
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 6}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 6}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]

\n

Krok 3. Weryfikacja wzorami Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -2 + 4 = 2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{-2}{1} = 2 \\checkmark\\]
\\[x_1 \\cdot x_2 = (-2) \\cdot 4 = -8 = \\frac{c}{a} = \\frac{-8}{1} = -8 \\checkmark\\]

\n

Wyniki się zgadzają - rozwiązanie poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 jako punktu startowego - znając wierzchołek \\((p, q)\\), od razu zapisujemy tę postać.

\n

Wierzchołek paraboli: \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) - skorzystaliśmy z odwrotności: mając \\((p,q)\\), wyznaczyliśmy \\(a\\).

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe (Sposób 2):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Wzory Viète'a (weryfikacja):
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Parabola ma wierzchołek w \\((p, q)\\), więc postać kanoniczna to \\(a(x \\mathbf{-} p)^2 + q\\). Jeśli wierzchołek jest w \\((1, -9)\\), piszemy \\((x \\mathbf{-} 1)^2 - 9\\), a nie \\((x+1)^2 - 9\\) - to częsty błąd ze znakiem!
\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj z góry, że \\(a = 1\\). Punkt leżący na paraboli to jedyna informacja pozwalająca wyznaczyć \\(a\\) - zawsze podstaw jego współrzędne i rozwiąż równanie.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu \\((x-1)^2 = 9\\) pamiętaj o dwóch rozwiązaniach: \\(x - 1 = 3\\) oraz \\(x - 1 = -3\\). Wzięcie tylko jednego pierwiastka to klasyczny błąd, który kosztuje połowę punktów.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = (x-1)^{2} - 9\\); miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\); wykres - parabola skierowana ramionami w górę z wierzchołkiem \\((1,-9)\\).

\n
Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołkiem
\n

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej o wierzchołku \\((p, q)\\):
\\[y = a(x-p)^{2} + q.\\]

\n

Dla wierzchołka \\((1, -9)\\):
\\[y = a(x-1)^{2} - 9.\\]

\n

Wyznaczamy \\(a\\) - parabola przechodzi przez \\((2, -8)\\):
\\[-8 = a(2-1)^{2} - 9\\]
\\[-8 = a - 9\\]
\\[a = 1.\\]

\n

Postać kanoniczna:
\\[f(x) = (x-1)^{2} - 9.\\]

\n

Miejsca zerowe - rozwiązujemy \\((x-1)^{2} - 9 = 0\\) wzorem skróconego mnożenia \\(A^{2} - B^{2} = (A-B)(A+B)\\):
\\[(x-1-3)(x-1+3) = 0\\]
\\[(x-4)(x+2) = 0.\\]
\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Postać ogólna przez rozwinięcie
\n

Rozwijamy \\((x-1)^{2} - 9 = x^{2} - 2x + 1 - 9 = x^{2} - 2x - 8\\).

\n

Miejsca zerowe wzorem z deltą:
\\[\\Delta = (-2)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot (-8) = 4 + 32 = 36, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 6.\\]
\\[x = \\dfrac{2 \\pm 6}{2} \\Rightarrow x_1 = -2, \\quad x_2 = 4.\\]

\n
Sposób 3 - Wzory Viète'a (weryfikacja)
\n

Dla \\(x^{2} - 2x - 8\\): \\(x_1 + x_2 = 2\\), \\(x_1 \\cdot x_2 = -8\\). Miejsca \\(-2\\) i \\(4\\): \\(-2 + 4 = 2\\) ✓, \\(-2 \\cdot 4 = -8\\) ✓.

\n
Szkic wykresu
\n

Parabola o ramionach skierowanych w górę (\\(a = 1 > 0\\)), wierzchołek \\((1, -9)\\), przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\), oś symetrii \\(x = 1\\). Punkt przecięcia z osią \\(OY\\): \\(f(0) = -8\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$f(x) = (x - 1)^2 - 9$, $x_1 = -2$, $x_2 = 4$

"}]}