{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz\nkrawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku\ndługości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60D . Przekątna graniastosłupa CE jest\nnachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60D . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz\nna nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\n\n13\nPoziom podstawowy\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\n10.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n14\nPoziom podstawowy\nDany jest granistosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 stopni. Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.\nZamaluj\npola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne\nzaznaczenie otocz kółkiem\ni zaznacz właściwe.\nŻyczymy powodzenia!\nMAJ\nROK 2007\nZa rozwiązanie\nwszystkich zadań\nmożna otrzymać\nłącznie\n50 punktów\nWypełnia zdający przed\nrozpoczęciem pracy\nPESEL ZDAJĄCEGO\nKOD\nZDAJĄCEGO\nMiejsce\nna naklejkę\nz kodem szkoły\n2\nPoziom podstawowy\nZadanie 1. (5 pkt)\nZnajdź wzór funkcji kwadratowej\n( )\ny\nf x\n, której wykresem jest parabola o wierzchołku\n(1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw\nw postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.\nZapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej\nwierzchołka:\n(\n)\n2\n1\n9\ny\na x\nWyznaczam współczynnik a, korzystając z tego, że parabola przechodzi przez\npunkt o współrzędnych (2,-8):\n(\n)\n2\n8\n2\n1\n9\na\nstąd\n1\na = .\nWzór funkcji w postaci kanonicznej: ( )\n(\n)\n2\n1\n9\nf x\nx\nWyznaczam miejsca zerowe funkcji f:\n(\n)\n2\n1\n9\n0\nx -\n, stąd po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego\nmnożenia otrzymuję (\n) (\n)\n1\n3\n1\n3\n0\nx\nx\n⋅\ni po redukcji (\n) (\n)\n4\n2\n0\nx\nx\n⋅\nMiejscami zerowymi funkcji są liczby:\n1\n2\nx = -,\n2\n4\nx =\nSzkicuję wykres funkcji, biorąc pod uwagę miejsca zerowe oraz współrzędne\nwierzchołka.\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nx\ny\n3\nPoziom podstawowy\nZadanie 2. (3 pkt)\nWysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej\ntransakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta\nzostała przedstawiona w tabeli:\nWartość transakcji\nWysokość prowizji\ndo 500 zł","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 768\\sqrt{3}\\) cm³\n\n## Sposób 1 - rozkład na: przekątna rombu → wysokość bryły → objętość\n\n### Krok 1: Przekątna AC rombu\n\nPodstawa to romb \\(ABCD\\) o boku \\(a = 8\\) cm z kątem \\(\\angle A = 60°\\). W rombsie kąty sąsiednie są suplementarne, więc \\(\\angle B = 120°\\).\n\nW trójkącie \\(ABC\\): \\(AB = BC = 8\\) cm, \\(\\angle B = 120°\\). Ze **wzoru cosinusów**:\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos 120°\\]\n\\[AC^2 = 64 + 64 - 2 \\cdot 64 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 128 + 64 = 192\\]\n\\[\\boxed{AC = 8\\sqrt{3} \\text{ cm}}\\]\n\n### Krok 2: Wyznaczenie wysokości \\(h\\) graniastosłupa\n\nW graniastosłupie prostym \\(E\\) leży dokładnie nad \\(A\\). **Rzut przekątnej \\(CE\\) na płaszczyznę podstawy** to odcinek \\(CA\\) o długości \\(8\\sqrt{3}\\) cm.\n\nTworzymy trójkąt prostokątny \\(CAE'\\) (gdzie \\(E'\\) to rzut \\(E\\) na podstawę, czyli punkt \\(A\\)):\n\nE\n| \\ CE (kąt 60° z podstawą)\n| h \\\nA------C\n8√3\n\nKąt nachylenia \\(CE\\) do podstawy: \\(\\angle ECА = 60°\\) (przy wierzchołku \\(C\\)).\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{AC} = \\frac{h}{8\\sqrt{3}}\\]\n\\[h = 8\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 8 \\cdot 3 = 24 \\text{ cm}\\]\n\n### Krok 3: Pole podstawy (rombu)\n\n\\[P_{ABCD} = a^2 \\cdot \\sin\\angle A = 8^2 \\cdot \\sin 60° = 64 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^2\\]\n\n### Krok 4: Objętość\n\n\\[V = P_{ABCD} \\cdot h = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = \\boxed{768\\sqrt{3} \\text{ cm}^3}\\]\n\n## Sposób 2 - przez przekątne rombu (weryfikacja)\n\nZamiast wzoru \\(a^2 \\sin\\alpha\\), obliczamy pole rombu z przekątnych.\n\nPrzekątne rombu wyznaczamy ze wzorów:\n- Dłuższa: \\(AC = 8\\sqrt{3}\\) cm (wyliczona w Sposobie 1)\n- Krótsza: W trójkącie \\(ABD\\), \\(\\angle A = 60°\\), \\(AB = AD = 8\\):\n\n\\[BD^2 = 64 + 64 - 2 \\cdot 64 \\cdot \\cos 60° = 128 - 64 = 64 \\implies BD = 8 \\text{ cm}\\]\n\nPole rombu przez przekątne:\n\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{8\\sqrt{3} \\cdot 8}{2} = \\frac{64\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]\n\nWysokość (tak samo jak w Sposobie 1): \\(h = 24\\) cm.\n\n\\[V = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = 768\\sqrt{3} \\text{ cm}^3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia przekątnej \\(AC\\) oraz \\(BD\\) rombu.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - wartość \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\), \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\).\nUżyte w Kroku 2 (tangens kąta nachylenia) i Kroku 3 (pole rombu).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]\nUżyte w Kroku 4.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna \\(CE\\) nie jest przekątną ściany bocznej! \\(C\\) i \\(E\\) są na **różnych podstawach** i leżą nad **różnymi wierzchołkami** rombu (\\(C\\) nad \\(C\\), \\(E\\) nad \\(A\\)). Rzutem \\(CE\\) na podstawę jest **przekątna \\(AC\\)**, nie bok rombu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt przy \\(C\\) w trójkącie prostokątnym to kąt między \\(CE\\) a podstawą - stąd `tg(60°) = h / AC`, a **nie** `tg(60°) = AC / h`. Zamiana miejscami daje \\(h = \\frac{8\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 8\\) cm i wynik \\(256\\sqrt{3}\\) - błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole rombu przez wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) wymaga **kąta wewnętrznego rombu** (60°), nie kąta między przekątnymi. Łatwo wziąć zły kąt, gdy zadanie mówi o kilku kątach naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 768\\sqrt{3}\\) cm\\(^{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Pole rombu + wysokość z trójkąta \\(CAE\\)\n**Krok 1 - pole podstawy (rombu):**\nPole rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\varphi\\) między bokami:\n\\[P = a^{2}\\sin\\varphi.\\]\n\\[P = 8^{2}\\cdot \\sin 60° = 64 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Krok 2 - długość przekątnej \\(AC\\) rombu:**\n\nKąt \\(A = 60°\\), więc trójkąt \\(ABC\\) (rozważany z bokami \\(AB = BC = 8\\) i kątem \\(\\angle ABC = 180° - 60° = 120°\\)) jest równoramienny. Z twierdzenia cosinusów:\n\\[|AC|^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2\\cdot 8\\cdot 8\\cdot \\cos 120° = 64 + 64 - 128\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 128 + 64 = 192.\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{192} = 8\\sqrt{3} \\text{ cm}.\\]\n\n*Alternatywnie:* pole rombu można wyrazić jako \\(P = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|BD|\\sin 90°\\) (przekątne rombu są prostopadłe) albo przez kąt \\(30°\\) w trójkącie \\(\\triangle ABC'\\) z kątem \\(\\angle BAC = 30°\\) (połowa \\(60°\\)). W każdym razie \\(|AC|\\) to **dłuższa przekątna** rombu (naprzeciw kąta rozwartego \\(120°\\)).\n\n**Krok 3 - wysokość graniastosłupa \\(h = |AE|\\):**\nPrzekątna \\(CE\\) łączy wierzchołki \\(C\\) (dolna podstawa) i \\(E\\) (górna). Trójkąt \\(\\triangle CAE\\) jest prostokątny w \\(A\\) (wysokość \\(AE\\) prostopadła do podstawy), z kątem \\(60°\\) między \\(CE\\) a podstawą (kąt przy \\(C\\)).\n\\[\\mathrm{tg}\\,60° = \\dfrac{|AE|}{|AC|} = \\dfrac{h}{8\\sqrt{3}}.\\]\n\\[h = 8\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3} = 8 \\cdot 3 = 24 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 4 - objętość:**\n\\[V = P \\cdot h = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = 768\\sqrt{3} \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekątne rombu osobno\nW rombie o boku \\(a = 8\\) i kącie ostrym \\(\\varphi = 60°\\):\n- przekątna krótsza \\(d_1 = 2a\\sin\\left(\\dfrac{\\varphi}{2}\\right) = 2\\cdot 8\\cdot \\sin 30° = 2\\cdot 8\\cdot\\dfrac{1}{2} = 8\\),\n- przekątna dłuższa \\(d_2 = 2a\\cos\\left(\\dfrac{\\varphi}{2}\\right) = 2\\cdot 8\\cdot \\cos 30° = 16\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\).\n\nKąty \\(A = C = 60°\\) - ostre przy wierzchołkach naprzeciwległych, więc \\(|AC|\\) to **dłuższa** przekątna (bo leży naprzeciw kątów rozwartych \\(120°\\) przy \\(B, D\\)).\n\\[|AC| = 8\\sqrt{3}, \\quad |BD| = 8.\\]\n\nPole rombu:\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC||BD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\sqrt{3}\\cdot 8 = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\] ✓\n\nDalej jak w sposobie 1: \\(h = 24\\) cm, \\(V = 32\\sqrt{3}\\cdot 24 = 768\\sqrt{3}\\) cm\\(^{3}\\).\n\n### Komentarz\nKluczowe obserwacje:\n- **Przekątna graniastosłupa \\(CE\\)** to nie przekątna ściany ani przekątna rombu, tylko odcinek łączący przeciwległe wierzchołki bryły. Rzut \\(CE\\) na podstawę to przekątna rombu \\(AC\\).\n- **Wybór właściwej przekątnej:** punkty \\(A\\) i \\(C\\) leżą naprzeciw siebie w rombie \\(ABCD\\), kąt przy nich to \\(60°\\) - to kąty *ostre*, więc \\(|AC|\\) jest dłuższą przekątną.\n- \\(\\mathrm{tg}\\,60° = \\sqrt{3}\\) to klasyczna wartość do zapamiętania.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (5 pkt)
Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz
krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku
długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60D . Przekątna graniastosłupa CE jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60D . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz
na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

\n

13
Poziom podstawowy
Nr czynności
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

14
Poziom podstawowy
Dany jest granistosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 stopni. Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

","answer_text_html":"
  1. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.
\n

Zamaluj
pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
Życzymy powodzenia!
MAJ
ROK 2007
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
2
Poziom podstawowy
Zadanie 1. (5 pkt)
Znajdź wzór funkcji kwadratowej
( )
y
f x
, której wykresem jest parabola o wierzchołku
(1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw
w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
Zapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej
wierzchołka:
(
)
2
1
9
y
a x
Wyznaczam współczynnik a, korzystając z tego, że parabola przechodzi przez
punkt o współrzędnych (2,-8):
(
)
2
8
2
1
9
a
stąd
1
a = .
Wzór funkcji w postaci kanonicznej: ( )
(
)
2
1
9
f x
x
Wyznaczam miejsca zerowe funkcji f:
(
)
2
1
9
0
x -
, stąd po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego
mnożenia otrzymuję (
) (
)
1
3
1
3
0
x
x
⋅
i po redukcji (
) (
)
4
2
0
x
x
⋅
Miejscami zerowymi funkcji są liczby:
1
2
x = -,
2
4
x =
Szkicuję wykres funkcji, biorąc pod uwagę miejsca zerowe oraz współrzędne
wierzchołka.
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
3
Poziom podstawowy
Zadanie 2. (3 pkt)
Wysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej
transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta
została przedstawiona w tabeli:
Wartość transakcji
Wysokość prowizji
do 500 zł

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = 768\\sqrt{3}\\) cm³

\n

Sposób 1 - rozkład na: przekątna rombu → wysokość bryły → objętość

\n
Krok 1: Przekątna AC rombu
\n

Podstawa to romb \\(ABCD\\) o boku \\(a = 8\\) cm z kątem \\(\\angle A = 60°\\). W rombsie kąty sąsiednie są suplementarne, więc \\(\\angle B = 120°\\).

\n

W trójkącie \\(ABC\\): \\(AB = BC = 8\\) cm, \\(\\angle B = 120°\\). Ze wzoru cosinusów:
\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos 120°\\]
\\[AC^2 = 64 + 64 - 2 \\cdot 64 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 128 + 64 = 192\\]
\\[\\boxed{AC = 8\\sqrt{3} \\text{ cm}}\\]

\n
Krok 2: Wyznaczenie wysokości \\(h\\) graniastosłupa
\n

W graniastosłupie prostym \\(E\\) leży dokładnie nad \\(A\\). Rzut przekątnej \\(CE\\) na płaszczyznę podstawy to odcinek \\(CA\\) o długości \\(8\\sqrt{3}\\) cm.

\n

Tworzymy trójkąt prostokątny \\(CAE'\\) (gdzie \\(E'\\) to rzut \\(E\\) na podstawę, czyli punkt \\(A\\)):

\n

E
| \\ CE (kąt 60° z podstawą)
| h \\
A------C
8√3

\n

Kąt nachylenia \\(CE\\) do podstawy: \\(\\angle ECА = 60°\\) (przy wierzchołku \\(C\\)).

\n

\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{AC} = \\frac{h}{8\\sqrt{3}}\\]
\\[h = 8\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 8 \\cdot 3 = 24 \\text{ cm}\\]

\n
Krok 3: Pole podstawy (rombu)
\n

\\[P_{ABCD} = a^2 \\cdot \\sin\\angle A = 8^2 \\cdot \\sin 60° = 64 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^2\\]

\n
Krok 4: Objętość
\n

\\[V = P_{ABCD} \\cdot h = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = \\boxed{768\\sqrt{3} \\text{ cm}^3}\\]

\n

Sposób 2 - przez przekątne rombu (weryfikacja)

\n

Zamiast wzoru \\(a^2 \\sin\\alpha\\), obliczamy pole rombu z przekątnych.

\n

Przekątne rombu wyznaczamy ze wzorów:

\n\n

\\[BD^2 = 64 + 64 - 2 \\cdot 64 \\cdot \\cos 60° = 128 - 64 = 64 \\implies BD = 8 \\text{ cm}\\]

\n

Pole rombu przez przekątne:
\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{8\\sqrt{3} \\cdot 8}{2} = \\frac{64\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]

\n

Wysokość (tak samo jak w Sposobie 1): \\(h = 24\\) cm.

\n

\\[V = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = 768\\sqrt{3} \\text{ cm}^3 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-17) - twierdzenie cosinusów:
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Użyte w Kroku 1 do obliczenia przekątnej \\(AC\\) oraz \\(BD\\) rombu.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - wartość \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\), \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\).
Użyte w Kroku 2 (tangens kąta nachylenia) i Kroku 3 (pole rombu).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 27) - objętość graniastosłupa prostego:
\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]
Użyte w Kroku 4.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna \\(CE\\) nie jest przekątną ściany bocznej! \\(C\\) i \\(E\\) są na różnych podstawach i leżą nad różnymi wierzchołkami rombu (\\(C\\) nad \\(C\\), \\(E\\) nad \\(A\\)). Rzutem \\(CE\\) na podstawę jest przekątna \\(AC\\), nie bok rombu.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt przy \\(C\\) w trójkącie prostokątnym to kąt między \\(CE\\) a podstawą - stąd tg(60°) = h / AC, a nie tg(60°) = AC / h. Zamiana miejscami daje \\(h = \\frac{8\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 8\\) cm i wynik \\(256\\sqrt{3}\\) - błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Pole rombu przez wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) wymaga kąta wewnętrznego rombu (60°), nie kąta między przekątnymi. Łatwo wziąć zły kąt, gdy zadanie mówi o kilku kątach naraz.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = 768\\sqrt{3}\\) cm\\(^{3}\\).

\n
Sposób 1 - Pole rombu + wysokość z trójkąta \\(CAE\\)
\n

Krok 1 - pole podstawy (rombu):
Pole rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\varphi\\) między bokami:
\\[P = a^{2}\\sin\\varphi.\\]
\\[P = 8^{2}\\cdot \\sin 60° = 64 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\]

\n

Krok 2 - długość przekątnej \\(AC\\) rombu:

\n

Kąt \\(A = 60°\\), więc trójkąt \\(ABC\\) (rozważany z bokami \\(AB = BC = 8\\) i kątem \\(\\angle ABC = 180° - 60° = 120°\\)) jest równoramienny. Z twierdzenia cosinusów:
\\[|AC|^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2\\cdot 8\\cdot 8\\cdot \\cos 120° = 64 + 64 - 128\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 128 + 64 = 192.\\]
\\[|AC| = \\sqrt{192} = 8\\sqrt{3} \\text{ cm}.\\]

\n

Alternatywnie: pole rombu można wyrazić jako \\(P = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|BD|\\sin 90°\\) (przekątne rombu są prostopadłe) albo przez kąt \\(30°\\) w trójkącie \\(\\triangle ABC'\\) z kątem \\(\\angle BAC = 30°\\) (połowa \\(60°\\)). W każdym razie \\(|AC|\\) to dłuższa przekątna rombu (naprzeciw kąta rozwartego \\(120°\\)).

\n

Krok 3 - wysokość graniastosłupa \\(h = |AE|\\):
Przekątna \\(CE\\) łączy wierzchołki \\(C\\) (dolna podstawa) i \\(E\\) (górna). Trójkąt \\(\\triangle CAE\\) jest prostokątny w \\(A\\) (wysokość \\(AE\\) prostopadła do podstawy), z kątem \\(60°\\) między \\(CE\\) a podstawą (kąt przy \\(C\\)).
\\[\\mathrm{tg}\\,60° = \\dfrac{|AE|}{|AC|} = \\dfrac{h}{8\\sqrt{3}}.\\]
\\[h = 8\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3} = 8 \\cdot 3 = 24 \\text{ cm}.\\]

\n

Krok 4 - objętość:
\\[V = P \\cdot h = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = 768\\sqrt{3} \\text{ cm}^{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Przekątne rombu osobno
\n

W rombie o boku \\(a = 8\\) i kącie ostrym \\(\\varphi = 60°\\):

\n\n

Kąty \\(A = C = 60°\\) - ostre przy wierzchołkach naprzeciwległych, więc \\(|AC|\\) to dłuższa przekątna (bo leży naprzeciw kątów rozwartych \\(120°\\) przy \\(B, D\\)).
\\[|AC| = 8\\sqrt{3}, \\quad |BD| = 8.\\]

\n

Pole rombu:
\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC||BD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\sqrt{3}\\cdot 8 = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\] ✓

\n

Dalej jak w sposobie 1: \\(h = 24\\) cm, \\(V = 32\\sqrt{3}\\cdot 24 = 768\\sqrt{3}\\) cm\\(^{3}\\).

\n
Komentarz
\n

Kluczowe obserwacje:

\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$768\\\\sqrt{3}$ cm$^3$

"}]}