{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nDany jest rosnący ciąg geometryczny (\n)\nna\ndla\n1\nn ≥, w którym\n1a\nx\n,\n2\n14\na =\n,\n3a\ny\nOblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że\n35\nx\ny\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\n11.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n15\nPoziom podstawowy\nBRUDNOPIS\nDany jest rosnący ciąg geometryczny a_n dla n>=1, w którym a_1=x, a_2=14, a_3=y. Oblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że x+y=35.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\), \\(y = 28\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu trzech kolejnych wyrazów jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. Mamy:\n\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy dane:\n\n\\[14^2 = x \\cdot y\\]\n\\[xy = 196\\]\n\nTeraz mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:\n\n\\[\\begin{cases} x + y = 35 \\\\ x \\cdot y = 196 \\end{cases}\\]\n\nTo są **wzory Viète'a** - \\(x\\) i \\(y\\) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego:\n\n\\[t^2 - 35t + 196 = 0\\]\n\nObliczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = 35^2 - 4 \\cdot 196 = 1225 - 784 = 441\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 21\\]\n\nPierwiastki:\n\n\\[t_1 = \\frac{35 - 21}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\\[t_2 = \\frac{35 + 21}{2} = \\frac{56}{2} = 28\\]\n\nMamy więc \\(\\{x, y\\} = \\{7, 28\\}\\). Ponieważ ciąg jest **rosnący**, musi być \\(x < a_2 < y\\), czyli \\(x < 14 < y\\).\n\n**Zatem \\(x = 7\\) i \\(y = 28\\).**\n\nSprawdzamy iloraz: \\(q = \\frac{14}{7} = 2\\), \\(\\frac{28}{14} = 2\\) ✓ - ciąg jest geometryczny z ilorazem \\(q = 2 > 1\\), czyli rzeczywiście rosnący ✓\n\n## Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego\n\nNiech \\(q\\) będzie ilorazem ciągu. Z definicji ciągu geometrycznego:\n\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q \\implies 14 = x \\cdot q \\implies q = \\frac{14}{x}\\]\n\nWyraz trzeci:\n\n\\[y = a_3 = a_2 \\cdot q = 14 \\cdot \\frac{14}{x} = \\frac{196}{x}\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(x + y = 35\\):\n\n\\[x + \\frac{196}{x} = 35\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(x > 0\\):\n\n\\[x^2 + 196 = 35x\\]\n\\[x^2 - 35x + 196 = 0\\]\n\nRozwiązujemy (tak samo jak w Sposobie 1):\n\n\\[\\Delta = 1225 - 784 = 441, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 21\\]\n\\[x = \\frac{35 - 21}{2} = 7 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{35 + 21}{2} = 28\\]\n\nPonieważ ciąg jest rosnący (\\(x = a_1 < a_2 = 14\\)), odrzucamy \\(x = 28\\).\n\n**Zatem \\(x = 7\\), a \\(y = 35 - 7 = 28\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 dla \\(n = 2\\): \\(14^2 = x \\cdot y\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(y\\) przez \\(x\\) i \\(q\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzory Viète'a i miejsca zerowe:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy przy rozwiązaniu trójmianu \\(t^2 - 35t + 196 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) działa **tylko** w ciągu geometrycznym (nie arytmetycznym! Tam \\(a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\)). Nie myl tych dwóch własności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(x + \\frac{196}{x} = 35\\) można mnożyć przez \\(x\\) **tylko pod warunkiem** \\(x \\neq 0\\). W ciągu geometrycznym wyrazy są niezerowe z definicji, więc to jest OK - ale warto o tym pamiętać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu dwóch kandydatów \\(\\{7, 28\\}\\) koniecznie skorzystaj z warunku **\"ciąg rosnący\"** - bez niego oba rozwiązania byłyby poprawne matematycznie (iloraz \\(q = 2\\) lub \\(q = \\frac{1}{2}\\)), i zadanie byłoby niejednoznaczne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 7\\), \\(y = 28\\) (iloraz \\(q = 2\\)).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowa ciągu geometrycznego\n**Warunek środkowy ciągu geometrycznego:**\n\\[a_2^{2} = a_1 \\cdot a_3 \\Rightarrow 14^{2} = x \\cdot y \\Rightarrow x \\cdot y = 196.\\]\n\n**Warunek sumy:** \\(x + y = 35\\).\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} x + y = 35 \\\\ x \\cdot y = 196 \\end{cases}\\]\n\nLiczby \\(x\\) i \\(y\\) są pierwiastkami równania kwadratowego (wzory Viète'a):\n\\[t^{2} - 35t + 196 = 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 1225 - 784 = 441\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 21\\).\n\\[t = \\dfrac{35 \\pm 21}{2} \\Rightarrow t_1 = 7, \\quad t_2 = 28.\\]\n\n**Pary rozwiązań:** \\((x, y) = (7, 28)\\) lub \\((28, 7)\\).\n\n**Warunek rosnącego ciągu:** \\(a_1 < a_2 < a_3\\), czyli \\(x < 14 < y\\). Pierwsza para: \\(7 < 14 < 28\\) ✓. Druga para: \\(28 < 14\\) ✗.\n\n**Wybieramy:** \\(x = 7\\), \\(y = 28\\).\n\n### Sposób 2 - Zmienna iloraz \\(q\\)\nZ definicji ciągu geometrycznego: \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_1 \\cdot q^{2}\\).\n\nZ \\(a_2 = 14\\): \\(x \\cdot q = 14 \\Rightarrow x = \\dfrac{14}{q}\\).\n\nZ \\(a_3 = y\\): \\(y = x q^{2} = \\dfrac{14}{q}\\cdot q^{2} = 14q\\).\n\nPodstawiamy do warunku \\(x + y = 35\\):\n\\[\\dfrac{14}{q} + 14q = 35 \\quad | \\cdot q\\]\n\\[14 + 14q^{2} = 35q\\]\n\\[14q^{2} - 35q + 14 = 0 \\quad | \\div 7\\]\n\\[2q^{2} - 5q + 2 = 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 25 - 16 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\).\n\\[q = \\dfrac{5 \\pm 3}{4} \\Rightarrow q_1 = 2, \\quad q_2 = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\nCiąg rosnący ⇒ \\(q > 1\\) (przy dodatnich wyrazach) ⇒ \\(q = 2\\).\n\n\\[x = \\dfrac{14}{2} = 7, \\quad y = 14 \\cdot 2 = 28.\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(7, 14, 28\\) - ciąg geometryczny o ilorazie \\(2\\); \\(x + y = 7 + 28 = 35\\) ✓.\n\n### Komentarz\n**Kluczowa własność ciągu geometrycznego:** \\(a_2^{2} = a_1 a_3\\). Dzięki niej od razu mamy drugie równanie \\(xy = 196\\). Warunek „rosnący\" eliminuje parę \\((28, 7)\\) - bez tego warunku istnieją dwa rozwiązania.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (4 pkt)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny (
)
na
dla
1
n ≥, w którym
1a
x
,
2
14
a =
,
3a
y
Oblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że
35
x
y
Nr czynności
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

15
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
Dany jest rosnący ciąg geometryczny a_n dla n>=1, w którym a_1=x, a_2=14, a_3=y. Oblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że x+y=35.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\), \\(y = 28\\)

\n

Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

Kluczowe spostrzeżenie: W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu trzech kolejnych wyrazów jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. Mamy:

\n

\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]

\n

Podstawiamy dane:

\n

\\[14^2 = x \\cdot y\\]
\\[xy = 196\\]

\n

Teraz mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

\n

\\[\\begin{cases} x + y = 35 \\\\ x \\cdot y = 196 \\end{cases}\\]

\n

To są wzory Viète'a - \\(x\\) i \\(y\\) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego:

\n

\\[t^2 - 35t + 196 = 0\\]

\n

Obliczamy wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = 35^2 - 4 \\cdot 196 = 1225 - 784 = 441\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 21\\]

\n

Pierwiastki:

\n

\\[t_1 = \\frac{35 - 21}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]
\\[t_2 = \\frac{35 + 21}{2} = \\frac{56}{2} = 28\\]

\n

Mamy więc \\(\\{x, y\\} = \\{7, 28\\}\\). Ponieważ ciąg jest rosnący, musi być \\(x < a_2 < y\\), czyli \\(x < 14 < y\\).

\n

Zatem \\(x = 7\\) i \\(y = 28\\).

\n

Sprawdzamy iloraz: \\(q = \\frac{14}{7} = 2\\), \\(\\frac{28}{14} = 2\\) ✓ - ciąg jest geometryczny z ilorazem \\(q = 2 > 1\\), czyli rzeczywiście rosnący ✓

\n

Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego

\n

Niech \\(q\\) będzie ilorazem ciągu. Z definicji ciągu geometrycznego:

\n

\\[a_2 = a_1 \\cdot q \\implies 14 = x \\cdot q \\implies q = \\frac{14}{x}\\]

\n

Wyraz trzeci:

\n

\\[y = a_3 = a_2 \\cdot q = 14 \\cdot \\frac{14}{x} = \\frac{196}{x}\\]

\n

Podstawiamy do warunku \\(x + y = 35\\):

\n

\\[x + \\frac{196}{x} = 35\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(x > 0\\):

\n

\\[x^2 + 196 = 35x\\]
\\[x^2 - 35x + 196 = 0\\]

\n

Rozwiązujemy (tak samo jak w Sposobie 1):

\n

\\[\\Delta = 1225 - 784 = 441, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 21\\]
\\[x = \\frac{35 - 21}{2} = 7 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{35 + 21}{2} = 28\\]

\n

Ponieważ ciąg jest rosnący (\\(x = a_1 < a_2 = 14\\)), odrzucamy \\(x = 28\\).

\n

Zatem \\(x = 7\\), a \\(y = 35 - 7 = 28\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 dla \\(n = 2\\): \\(14^2 = x \\cdot y\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(y\\) przez \\(x\\) i \\(q\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wzory Viète'a i miejsca zerowe:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy przy rozwiązaniu trójmianu \\(t^2 - 35t + 196 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Własność \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) działa tylko w ciągu geometrycznym (nie arytmetycznym! Tam \\(a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\)). Nie myl tych dwóch własności.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\(x + \\frac{196}{x} = 35\\) można mnożyć przez \\(x\\) tylko pod warunkiem \\(x \\neq 0\\). W ciągu geometrycznym wyrazy są niezerowe z definicji, więc to jest OK - ale warto o tym pamiętać.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu dwóch kandydatów \\(\\{7, 28\\}\\) koniecznie skorzystaj z warunku "ciąg rosnący" - bez niego oba rozwiązania byłyby poprawne matematycznie (iloraz \\(q = 2\\) lub \\(q = \\frac{1}{2}\\)), i zadanie byłoby niejednoznaczne.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\), \\(y = 28\\) (iloraz \\(q = 2\\)).

\n
Sposób 1 - Własność środkowa ciągu geometrycznego
\n

Warunek środkowy ciągu geometrycznego:
\\[a_2^{2} = a_1 \\cdot a_3 \\Rightarrow 14^{2} = x \\cdot y \\Rightarrow x \\cdot y = 196.\\]

\n

Warunek sumy: \\(x + y = 35\\).

\n

Układ równań:
\\[\\begin{cases} x + y = 35 \\\\ x \\cdot y = 196 \\end{cases}\\]

\n

Liczby \\(x\\) i \\(y\\) są pierwiastkami równania kwadratowego (wzory Viète'a):
\\[t^{2} - 35t + 196 = 0.\\]

\n

Delta: \\(\\Delta = 1225 - 784 = 441\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 21\\).
\\[t = \\dfrac{35 \\pm 21}{2} \\Rightarrow t_1 = 7, \\quad t_2 = 28.\\]

\n

Pary rozwiązań: \\((x, y) = (7, 28)\\) lub \\((28, 7)\\).

\n

Warunek rosnącego ciągu: \\(a_1 < a_2 < a_3\\), czyli \\(x < 14 < y\\). Pierwsza para: \\(7 < 14 < 28\\) ✓. Druga para: \\(28 < 14\\) ✗.

\n

Wybieramy: \\(x = 7\\), \\(y = 28\\).

\n
Sposób 2 - Zmienna iloraz \\(q\\)
\n

Z definicji ciągu geometrycznego: \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_1 \\cdot q^{2}\\).

\n

Z \\(a_2 = 14\\): \\(x \\cdot q = 14 \\Rightarrow x = \\dfrac{14}{q}\\).

\n

Z \\(a_3 = y\\): \\(y = x q^{2} = \\dfrac{14}{q}\\cdot q^{2} = 14q\\).

\n

Podstawiamy do warunku \\(x + y = 35\\):
\\[\\dfrac{14}{q} + 14q = 35 \\quad | \\cdot q\\]
\\[14 + 14q^{2} = 35q\\]
\\[14q^{2} - 35q + 14 = 0 \\quad | \\div 7\\]
\\[2q^{2} - 5q + 2 = 0.\\]

\n

Delta: \\(\\Delta = 25 - 16 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\).
\\[q = \\dfrac{5 \\pm 3}{4} \\Rightarrow q_1 = 2, \\quad q_2 = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n

Ciąg rosnący ⇒ \\(q > 1\\) (przy dodatnich wyrazach) ⇒ \\(q = 2\\).

\n

\\[x = \\dfrac{14}{2} = 7, \\quad y = 14 \\cdot 2 = 28.\\]

\n

Sprawdzenie: \\(7, 14, 28\\) - ciąg geometryczny o ilorazie \\(2\\); \\(x + y = 7 + 28 = 35\\) ✓.

\n
Komentarz
\n

Kluczowa własność ciągu geometrycznego: \\(a_2^{2} = a_1 a_3\\). Dzięki niej od razu mamy drugie równanie \\(xy = 196\\). Warunek „rosnący" eliminuje parę \\((28, 7)\\) - bez tego warunku istnieją dwa rozwiązania.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 7, y = 28$

"}]}