{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nKorzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia:\n2\n2\ntg\n5sin\nctg\n1 cos\nβ\nβ\nα\nα\n⋅\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n3.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\ni\nA\nB\nC\nα\nβ\n6\n8\n\n5\nPoziom podstawowy\nKorzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia.","answer":null,"answer_text":"3. W\nrozwiązaniach\nzadań\nprzedstaw\ntok\nrozumowania\nprowadzący do ostatecznego wyniku.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\dfrac{133}{45}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wartości trygonometrycznych z trójkąta i podstawienie\n\n**Krok 1: Oblicz przeciwprostokątną**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{|AC|^2 + |BC|^2} = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\n**Krok 2: Wypisz wartości trygonometryczne**\n\nKąt \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(A\\) - naprzeciwko leży bok \\(BC = 6\\), przyległy \\(AC = 8\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}, \\quad \\operatorname{ctg}\\alpha = \\frac{4}{3}\\]\n\nKąt \\(\\beta\\) przy wierzchołku \\(B\\) - naprzeciwko leży bok \\(AC = 8\\), przyległy \\(BC = 6\\):\n\\[\\sin\\beta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}, \\quad \\cos\\beta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\beta = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 3: Uprość \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\)**\n\nZ jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\).\n\n\\[\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sqrt{\\sin^2\\alpha} = |\\sin\\alpha| = \\sin\\alpha = \\frac{3}{5}\\]\n\n(kąt ostry, więc wartość dodatnia)\n\n**Krok 4: Oblicz każdy składnik wyrażenia**\n\n\\[\\operatorname{tg}^2\\beta = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 = \\frac{16}{9}\\]\n\n\\[5\\sin\\beta \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 5 \\cdot \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = 4 \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{3}\\]\n\n\\[\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Krok 5: Podstaw do wyrażenia - wspólny mianownik to 45**\n\n\\[\\frac{16}{9} - \\frac{16}{3} + \\frac{3}{5} = \\frac{80}{45} - \\frac{240}{45} + \\frac{27}{45} = \\frac{80 - 240 + 27}{45} = \\boxed{-\\frac{133}{45}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąty komplementarne (sprytne skrócenie)\n\nPonieważ \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) (suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym), możemy skorzystać z zależności:\n\\[\\sin\\beta = \\cos\\alpha, \\quad \\operatorname{ctg}\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha^{-1} = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\]\n\nUprośćmy środkowy składnik:\n\\[5\\sin\\beta \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 5\\cos\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{5\\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{5 \\cdot \\frac{16}{25}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{\\frac{16}{5}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{16}{3}\\]\n\nWynik taki sam jak w Sposobie 1 - potwierdzamy \\(-\\dfrac{133}{45}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{naprzeciwległy}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wszystkich wartości trygonometrycznych.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy do uproszczenia \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy do obliczenia długości przeciwprostokątnej \\(|AB| = 10\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) to NIE jest \\(1 - \\cos\\alpha\\)! To \\(\\sqrt{\\sin^2\\alpha} = \\sin\\alpha\\). Bardzo częsty błąd - pominięcie pierwiastka lub błędne uproszczenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\sin\\beta\\) pamiętaj, który kąt jest przy którym wierzchołku. Kąt \\(\\alpha\\) leży przy \\(A\\), więc naprzeciwko niego jest bok \\(BC = 6\\), a NIE \\(AC = 8\\). Zamiana tych boków to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{ctg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha}\\) - kotangensa nie ma wprost na karcie wzorów CKE, ale wynika z definicji. Nie myl z \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź:** wartość wyrażenia \\(= -\\dfrac{133}{45}\\).\n\n### Sposób 1 - Obliczenie przeciwprostokątnej i funkcji trygonometrycznych\n**Krok 1 - długość \\(|AB|\\) (twierdzenie Pitagorasa):**\n\\[|AB| = \\sqrt{|AC|^{2} + |BC|^{2}} = \\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10.\\]\n\n**Krok 2 - funkcje trygonometryczne kąta \\(\\alpha\\)** (przy \\(A\\)):\n- przyprostokątna leżąca przy kącie: \\(|AC| = 8\\),\n- przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta: \\(|BC| = 6\\),\n- przeciwprostokątna: \\(|AB| = 10\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{8}{10} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}, \\quad \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}.\\]\n\n**Krok 3 - funkcje trygonometryczne kąta \\(\\beta\\)** (przy \\(B\\)):\n- przyprostokątna leżąca przy kącie: \\(|BC| = 6\\),\n- przyprostokątna naprzeciw kąta: \\(|AC| = 8\\).\n\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{8}{10} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\cos\\beta = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\beta = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}.\\]\n\n**Krok 4 - obliczenie wyrażenia:**\n\n\\(\\mathrm{tg}^{2}\\beta = \\left(\\dfrac{4}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{16}{9}.\\)\n\n\\(5\\sin\\beta \\cdot \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = 5 \\cdot \\dfrac{4}{5} \\cdot \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{16}{3}.\\)\n\n\\(\\sqrt{1 - \\cos^{2}\\alpha} = \\sqrt{\\sin^{2}\\alpha} = |\\sin\\alpha| = \\dfrac{3}{5}\\) (bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym).\n\nPodstawiamy:\n\\[W = \\dfrac{16}{9} - \\dfrac{16}{3} + \\dfrac{3}{5}.\\]\n\nWspólny mianownik \\(45\\):\n\\[W = \\dfrac{16 \\cdot 5}{45} - \\dfrac{16 \\cdot 15}{45} + \\dfrac{3 \\cdot 9}{45} = \\dfrac{80 - 240 + 27}{45} = \\dfrac{-133}{45} = -\\dfrac{133}{45}.\\]\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie z jedynki trygonometrycznej\nZ jedynki trygonometrycznej: \\(1 - \\cos^{2}\\alpha = \\sin^{2}\\alpha\\). Dla kąta ostrego \\(\\alpha\\): \\(\\sqrt{\\sin^{2}\\alpha} = \\sin\\alpha\\).\n\nZauważamy też, że \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) (kąty ostre w trójkącie prostokątnym), więc \\(\\sin\\beta = \\cos\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\) i \\(\\mathrm{tg}\\,\\beta = \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\).\n\nWyrażenie przyjmuje postać:\n\\[W = \\mathrm{ctg}^{2}\\alpha - 5\\cos\\alpha \\cdot \\mathrm{ctg}\\,\\alpha + \\sin\\alpha = \\dfrac{16}{9} - \\dfrac{16}{3} + \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{133}{45}.\\]\n\n### Komentarz\nTypowy trójkąt 6-8-10 (skala trójkąta 3-4-5). Warto zapamiętać wartości funkcji w trójkącie pitagorejskim: dla kąta leżącego przy przyprostokątnej \\(4\\) mamy \\(\\sin = \\dfrac{3}{5}\\), \\(\\cos = \\dfrac{4}{5}\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (4 pkt)<br>Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia:<br>2<br>2<br>tg<br>5sin<br>ctg<br>1 cos<br>β<br>β<br>α<br>α<br>⋅<br>Nr czynności<br>3.1.<br>3.2.<br>3.3.<br>3.4.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt<br>i<br>A<br>B<br>C<br>α<br>β<br>6<br>8</p>\n<p>5<br>Poziom podstawowy<br>Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia.</p>","answer_text_html":"<ol><li>W</li></ol>\n<p>rozwiązaniach<br>zadań<br>przedstaw<br>tok<br>rozumowania<br>prowadzący do ostatecznego wyniku.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(-\\dfrac{133}{45}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie wartości trygonometrycznych z trójkąta i podstawienie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Oblicz przeciwprostokątną</strong></p>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{|AC|^2 + |BC|^2} = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wypisz wartości trygonometryczne</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(A\\) - naprzeciwko leży bok \\(BC = 6\\), przyległy \\(AC = 8\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}, \\quad \\operatorname{ctg}\\alpha = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<p>Kąt \\(\\beta\\) przy wierzchołku \\(B\\) - naprzeciwko leży bok \\(AC = 8\\), przyległy \\(BC = 6\\):<br>\\[\\sin\\beta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}, \\quad \\cos\\beta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\beta = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Uprość \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\)</strong></p>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\).</p>\n<p>\\[\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sqrt{\\sin^2\\alpha} = |\\sin\\alpha| = \\sin\\alpha = \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p>(kąt ostry, więc wartość dodatnia)</p>\n<p><strong>Krok 4: Oblicz każdy składnik wyrażenia</strong></p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}^2\\beta = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 = \\frac{16}{9}\\]</p>\n<p>\\[5\\sin\\beta \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 5 \\cdot \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = 4 \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{3}\\]</p>\n<p>\\[\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Podstaw do wyrażenia - wspólny mianownik to 45</strong></p>\n<p>\\[\\frac{16}{9} - \\frac{16}{3} + \\frac{3}{5} = \\frac{80}{45} - \\frac{240}{45} + \\frac{27}{45} = \\frac{80 - 240 + 27}{45} = \\boxed{-\\frac{133}{45}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Kąty komplementarne (sprytne skrócenie)</h4>\n<p>Ponieważ \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) (suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym), możemy skorzystać z zależności:<br>\\[\\sin\\beta = \\cos\\alpha, \\quad \\operatorname{ctg}\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha^{-1} = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\]</p>\n<p>Uprośćmy środkowy składnik:<br>\\[5\\sin\\beta \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 5\\cos\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{5\\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{5 \\cdot \\frac{16}{25}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{\\frac{16}{5}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{16}{3}\\]</p>\n<p>Wynik taki sam jak w Sposobie 1 - potwierdzamy \\(-\\dfrac{133}{45}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{naprzeciwległy}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia wszystkich wartości trygonometrycznych.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy do uproszczenia \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sin\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy do obliczenia długości przeciwprostokątnej \\(|AB| = 10\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) to NIE jest \\(1 - \\cos\\alpha\\)! To \\(\\sqrt{\\sin^2\\alpha} = \\sin\\alpha\\). Bardzo częsty błąd - pominięcie pierwiastka lub błędne uproszczenie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\sin\\beta\\) pamiętaj, który kąt jest przy którym wierzchołku. Kąt \\(\\alpha\\) leży przy \\(A\\), więc naprzeciwko niego jest bok \\(BC = 6\\), a NIE \\(AC = 8\\). Zamiana tych boków to najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\operatorname{ctg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha}\\) - kotangensa nie ma wprost na karcie wzorów CKE, ale wynika z definicji. Nie myl z \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> wartość wyrażenia \\(= -\\dfrac{133}{45}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie przeciwprostokątnej i funkcji trygonometrycznych</h5>\n<p><strong>Krok 1 - długość \\(|AB|\\) (twierdzenie Pitagorasa):</strong><br>\\[|AB| = \\sqrt{|AC|^{2} + |BC|^{2}} = \\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - funkcje trygonometryczne kąta \\(\\alpha\\)</strong> (przy \\(A\\)):</p>\n<ul><li>przyprostokątna leżąca przy kącie: \\(|AC| = 8\\),</li><li>przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta: \\(|BC| = 6\\),</li><li>przeciwprostokątna: \\(|AB| = 10\\).</li></ul>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{8}{10} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}, \\quad \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - funkcje trygonometryczne kąta \\(\\beta\\)</strong> (przy \\(B\\)):</p>\n<ul><li>przyprostokątna leżąca przy kącie: \\(|BC| = 6\\),</li><li>przyprostokątna naprzeciw kąta: \\(|AC| = 8\\).</li></ul>\n<p>\\[\\sin\\beta = \\dfrac{8}{10} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\cos\\beta = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\beta = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - obliczenie wyrażenia:</strong></p>\n<p>\\(\\mathrm{tg}^{2}\\beta = \\left(\\dfrac{4}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{16}{9}.\\)</p>\n<p>\\(5\\sin\\beta \\cdot \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = 5 \\cdot \\dfrac{4}{5} \\cdot \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{16}{3}.\\)</p>\n<p>\\(\\sqrt{1 - \\cos^{2}\\alpha} = \\sqrt{\\sin^{2}\\alpha} = |\\sin\\alpha| = \\dfrac{3}{5}\\) (bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym).</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[W = \\dfrac{16}{9} - \\dfrac{16}{3} + \\dfrac{3}{5}.\\]</p>\n<p>Wspólny mianownik \\(45\\):<br>\\[W = \\dfrac{16 \\cdot 5}{45} - \\dfrac{16 \\cdot 15}{45} + \\dfrac{3 \\cdot 9}{45} = \\dfrac{80 - 240 + 27}{45} = \\dfrac{-133}{45} = -\\dfrac{133}{45}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Uproszczenie z jedynki trygonometrycznej</h5>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej: \\(1 - \\cos^{2}\\alpha = \\sin^{2}\\alpha\\). Dla kąta ostrego \\(\\alpha\\): \\(\\sqrt{\\sin^{2}\\alpha} = \\sin\\alpha\\).</p>\n<p>Zauważamy też, że \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) (kąty ostre w trójkącie prostokątnym), więc \\(\\sin\\beta = \\cos\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\) i \\(\\mathrm{tg}\\,\\beta = \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\).</p>\n<p>Wyrażenie przyjmuje postać:<br>\\[W = \\mathrm{ctg}^{2}\\alpha - 5\\cos\\alpha \\cdot \\mathrm{ctg}\\,\\alpha + \\sin\\alpha = \\dfrac{16}{9} - \\dfrac{16}{3} + \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{133}{45}.\\]</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Typowy trójkąt 6-8-10 (skala trójkąta 3-4-5). Warto zapamiętać wartości funkcji w trójkącie pitagorejskim: dla kąta leżącego przy przyprostokątnej \\(4\\) mamy \\(\\sin = \\dfrac{3}{5}\\), \\(\\cos = \\dfrac{4}{5}\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$-\\\\dfrac{133}{45}$</p>"}]}