{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nSamochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h\nwiększą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością\njechał ten samochód.\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\n4.4.\n4.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n6\nPoziom podstawowy\nSamochód przebył w pewnym czasie 210km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.","answer":null,"answer_text":"4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym\ntuszem/atramentem.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(v = 60\\) km/h\n\n## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą (czas przejazdu)\n\n**Wprowadzamy oznaczenia.**\n\nNiech \\(v\\) [km/h] - szukana średnia prędkość samochodu.\n\nKorzystamy ze wzoru:\n\\[\\text{czas} = \\frac{\\text{droga}}{\\text{prędkość}}\\]\n\n- Czas przy prędkości \\(v\\): \\(\\quad t_1 = \\frac{210}{v}\\) [h]\n- Czas przy prędkości \\(v + 10\\): \\(\\quad t_2 = \\frac{210}{v+10}\\) [h]\n\n**Warunek zadania:** czas skrócił się o **pół godziny**, czyli:\n\\[t_1 - t_2 = \\frac{1}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{210}{v} - \\frac{210}{v+10} = \\frac{1}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2v(v+10)\\), gdzie \\(v > 0\\):\n\\[2 \\cdot 210(v+10) - 2 \\cdot 210v = v(v+10)\\]\n\\[420v + 4200 - 420v = v^2 + 10v\\]\n\\[4200 = v^2 + 10v\\]\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\\[v^2 + 10v - 4200 = 0\\]\n\nWyznaczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 10^2 + 4 \\cdot 4200 = 100 + 16800 = 16900\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{16900} = 130\\]\n\nPierwiastki:\n\\[v_1 = \\frac{-10 - 130}{2} = \\frac{-140}{2} = -70\\]\n\\[v_2 = \\frac{-10 + 130}{2} = \\frac{120}{2} = 60\\]\n\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v = -70\\) **odrzucamy**.\n\n**Samochód jechał ze średnią prędkością \\(v = 60\\) km/h.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja wyniku (sprawdzenie w treści zadania)\n\nSprawdzamy, czy \\(v = 60\\) km/h spełnia warunki zadania.\n\n- Czas przy \\(v = 60\\) km/h:\n\\[t_1 = \\frac{210}{60} = 3{,}5 \\text{ h}\\]\n\n- Czas przy \\(v + 10 = 70\\) km/h:\n\\[t_2 = \\frac{210}{70} = 3 \\text{ h}\\]\n\n- Różnica czasów:\n\\[t_1 - t_2 = 3{,}5 - 3 = 0{,}5 \\text{ h} = 30 \\text{ min} \\checkmark\\]\n\nWarunek spełniony. **Odpowiedź jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[v_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania \\(v^2 + 10v - 4200 = 0\\) (tu: \\(a = 1\\), \\(b = 10\\), \\(c = -4200\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pół godziny to \\(\\frac{1}{2}\\), **nie** \\(\\frac{1}{30}\\)! Jednostką czasu w zadaniu jest godzina (bo droga w km, prędkość w km/h). Zamiana minut na godziny to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(\\frac{210}{v} - \\frac{210}{v+10} = \\frac{1}{2}\\) ma dwa pierwiastki: \\(60\\) i \\(-70\\). Zawsze sprawdź dziedzinę - prędkość nie może być ujemna. Odrzuć wynik fizycznie bezsensowny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron przez \\(2v(v+10)\\) upewnij się, że poprawnie rozwijasz nawiasy - tu \\(420v + 4200 - 420v\\), człony \\(420v\\) się redukują i dostajesz samo \\(4200\\). Łatwo tu o błąd rachunkowy.\n\n**Poprawna odpowiedź:** samochód jechał ze średnią prędkością \\(60\\) km/h.\n\n### Sposób 1 - Równanie z zależnością czas-droga\n**Oznaczenia:**\n- \\(v\\) - średnia prędkość samochodu (km/h), \\(v > 0\\),\n- \\(\\dfrac{210}{v}\\) - czas przejazdu ze średnią prędkością \\(v\\),\n- \\(\\dfrac{210}{v+10}\\) - czas przejazdu ze średnią prędkością \\(v + 10\\).\n\n**Warunek zadania** - różnica czasów \\(= \\dfrac{1}{2}\\) godziny:\n\\[\\dfrac{210}{v} - \\dfrac{210}{v+10} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n**Rozwiązanie** - mnożymy obie strony przez \\(2v(v+10)\\) (dodatnie):\n\\[420(v+10) - 420v = v(v+10)\\]\n\\[4200 = v^{2} + 10v\\]\n\\[v^{2} + 10v - 4200 = 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 100 + 4\\cdot 4200 = 100 + 16\\,800 = 16\\,900\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 130\\).\n\n\\[v = \\dfrac{-10 \\pm 130}{2} \\Rightarrow v_1 = 60, \\quad v_2 = -70.\\]\n\n**Odrzucamy** \\(v_2 = -70\\) (prędkość musi być dodatnia).\n\n**Odpowiedź:** \\(v = 60\\) km/h.\n\n**Sprawdzenie:**\n- Czas z prędkością \\(60\\): \\(\\dfrac{210}{60} = 3{,}5\\) h.\n- Czas z prędkością \\(70\\): \\(\\dfrac{210}{70} = 3\\) h.\n- Różnica: \\(0{,}5\\) h ✓.\n\n### Sposób 2 - Zmienna jako czas\nNiech \\(t\\) - czas jazdy z prędkością \\(v\\) (w godzinach). Wtedy:\n\\[v = \\dfrac{210}{t}, \\quad v + 10 = \\dfrac{210}{t - 0{,}5}.\\]\n\nZ pierwszego: \\(v = \\dfrac{210}{t}\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{210}{t} + 10 = \\dfrac{210}{t - 0{,}5}.\\]\n\nMnożymy przez \\(t(t-0{,}5)\\):\n\\[210(t-0{,}5) + 10t(t-0{,}5) = 210t\\]\n\\[210t - 105 + 10t^{2} - 5t = 210t\\]\n\\[10t^{2} - 5t - 105 = 0 \\quad | \\div 5\\]\n\\[2t^{2} - t - 21 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 1 + 168 = 169\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 13\\):\n\\[t = \\dfrac{1+13}{4} = 3{,}5 \\text{ h}.\\]\n\nStąd \\(v = \\dfrac{210}{3{,}5} = 60\\) km/h.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nTypowe zadanie z ruchu: zawsze wygodnie wprowadzić zmienną dla prędkości lub czasu i wykorzystać zależność \\(s = v \\cdot t\\). Sprawdzenie końcowe (czas \\(3{,}5\\) h vs \\(3\\) h) potwierdza, że warunek „różnica \\(0{,}5\\) h\" jest spełniony.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (5 pkt)
Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h
większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością
jechał ten samochód.
Nr czynności
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

6
Poziom podstawowy
Samochód przebył w pewnym czasie 210km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

","answer_text_html":"
  1. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
\n

tuszem/atramentem.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(v = 60\\) km/h

\n

Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą (czas przejazdu)

\n

Wprowadzamy oznaczenia.

\n

Niech \\(v\\) [km/h] - szukana średnia prędkość samochodu.

\n

Korzystamy ze wzoru:
\\[\\text{czas} = \\frac{\\text{droga}}{\\text{prędkość}}\\]

\n\n

Warunek zadania: czas skrócił się o pół godziny, czyli:
\\[t_1 - t_2 = \\frac{1}{2}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[\\frac{210}{v} - \\frac{210}{v+10} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(2v(v+10)\\), gdzie \\(v > 0\\):
\\[2 \\cdot 210(v+10) - 2 \\cdot 210v = v(v+10)\\]
\\[420v + 4200 - 420v = v^2 + 10v\\]
\\[4200 = v^2 + 10v\\]

\n

Przenosimy na jedną stronę:
\\[v^2 + 10v - 4200 = 0\\]

\n

Wyznaczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = 10^2 + 4 \\cdot 4200 = 100 + 16800 = 16900\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{16900} = 130\\]

\n

Pierwiastki:
\\[v_1 = \\frac{-10 - 130}{2} = \\frac{-140}{2} = -70\\]
\\[v_2 = \\frac{-10 + 130}{2} = \\frac{120}{2} = 60\\]

\n

Prędkość musi być dodatnia, więc \\(v = -70\\) odrzucamy.

\n

Samochód jechał ze średnią prędkością \\(v = 60\\) km/h.

\n

Sposób 2 - weryfikacja wyniku (sprawdzenie w treści zadania)

\n

Sprawdzamy, czy \\(v = 60\\) km/h spełnia warunki zadania.

\n\n

\\[t_1 = \\frac{210}{60} = 3{,}5 \\text{ h}\\]

\n\n

\\[t_2 = \\frac{210}{70} = 3 \\text{ h}\\]

\n\n

\\[t_1 - t_2 = 3{,}5 - 3 = 0{,}5 \\text{ h} = 30 \\text{ min} \\checkmark\\]

\n

Warunek spełniony. Odpowiedź jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[v_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy do rozwiązania równania \\(v^2 + 10v - 4200 = 0\\) (tu: \\(a = 1\\), \\(b = 10\\), \\(c = -4200\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pół godziny to \\(\\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{1}{30}\\)! Jednostką czasu w zadaniu jest godzina (bo droga w km, prędkość w km/h). Zamiana minut na godziny to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\(\\frac{210}{v} - \\frac{210}{v+10} = \\frac{1}{2}\\) ma dwa pierwiastki: \\(60\\) i \\(-70\\). Zawsze sprawdź dziedzinę - prędkość nie może być ujemna. Odrzuć wynik fizycznie bezsensowny.
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu obu stron przez \\(2v(v+10)\\) upewnij się, że poprawnie rozwijasz nawiasy - tu \\(420v + 4200 - 420v\\), człony \\(420v\\) się redukują i dostajesz samo \\(4200\\). Łatwo tu o błąd rachunkowy.
\n

Poprawna odpowiedź: samochód jechał ze średnią prędkością \\(60\\) km/h.

\n
Sposób 1 - Równanie z zależnością czas-droga
\n

Oznaczenia:

\n\n

Warunek zadania - różnica czasów \\(= \\dfrac{1}{2}\\) godziny:
\\[\\dfrac{210}{v} - \\dfrac{210}{v+10} = \\dfrac{1}{2}.\\]

\n

Rozwiązanie - mnożymy obie strony przez \\(2v(v+10)\\) (dodatnie):
\\[420(v+10) - 420v = v(v+10)\\]
\\[4200 = v^{2} + 10v\\]
\\[v^{2} + 10v - 4200 = 0.\\]

\n

Delta: \\(\\Delta = 100 + 4\\cdot 4200 = 100 + 16\\,800 = 16\\,900\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 130\\).

\n

\\[v = \\dfrac{-10 \\pm 130}{2} \\Rightarrow v_1 = 60, \\quad v_2 = -70.\\]

\n

Odrzucamy \\(v_2 = -70\\) (prędkość musi być dodatnia).

\n

Odpowiedź: \\(v = 60\\) km/h.

\n

Sprawdzenie:

\n\n
Sposób 2 - Zmienna jako czas
\n

Niech \\(t\\) - czas jazdy z prędkością \\(v\\) (w godzinach). Wtedy:
\\[v = \\dfrac{210}{t}, \\quad v + 10 = \\dfrac{210}{t - 0{,}5}.\\]

\n

Z pierwszego: \\(v = \\dfrac{210}{t}\\). Podstawiamy:
\\[\\dfrac{210}{t} + 10 = \\dfrac{210}{t - 0{,}5}.\\]

\n

Mnożymy przez \\(t(t-0{,}5)\\):
\\[210(t-0{,}5) + 10t(t-0{,}5) = 210t\\]
\\[210t - 105 + 10t^{2} - 5t = 210t\\]
\\[10t^{2} - 5t - 105 = 0 \\quad | \\div 5\\]
\\[2t^{2} - t - 21 = 0.\\]

\n

\\(\\Delta = 1 + 168 = 169\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 13\\):
\\[t = \\dfrac{1+13}{4} = 3{,}5 \\text{ h}.\\]

\n

Stąd \\(v = \\dfrac{210}{3{,}5} = 60\\) km/h.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Typowe zadanie z ruchu: zawsze wygodnie wprowadzić zmienną dla prędkości lub czasu i wykorzystać zależność \\(s = v \\cdot t\\). Sprawdzenie końcowe (czas \\(3{,}5\\) h vs \\(3\\) h) potwierdza, że warunek „różnica \\(0{,}5\\) h" jest spełniony.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$60$ km/h

"}]}