{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nna\n, gdzie\n1\nn ≥. Wiadomo, że dla każdego\n1\nn ≥ suma\nn początkowych wyrazów\n1\n2\nn\nn\nS\na\na\na\nwyraża się wzorem:\n2\n13\nn\nS\nn\nn\na) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (\n)\nna\nb) Oblicz\n2007\na\nc) Wyznacz liczbę n, dla której\n0\nna =\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\n5.4.\n5.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n7\nPoziom podstawowy\nDany jest ciąg arytmetyczny a_n, gdzie n>=1. Wiadomo, że dla każdego n>=1 suma n początkowych wyrazów S_n=a_1+a_2+...+a_n wyraża się wzorem S_n = -n^2+13n. a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n). b) Oblicz a_{2007}.c) Wyznacz liczbę n, dla której a_n=0.","answer":null,"answer_text":"5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\na) \\(a_n = -2n + 14\\)\nb) \\(a_{2007} = -4000\\)\nc) \\(n = 7\\)\n\n## Sposób 1 - wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)\n\nKluczowa obserwacja: dla \\(n \\geq 2\\) zachodzi\n\\[a_n = S_n - S_{n-1}\\]\nbo \\(S_n\\) to suma \\(n\\) wyrazów, a \\(S_{n-1}\\) to suma \\(n-1\\) wyrazów - różnica to właśnie \\(n\\)-ty wyraz.\n\n**Krok 1.** Obliczamy \\(S_{n-1}\\), podstawiając \\(n-1\\) w miejsce \\(n\\):\n\\[S_{n-1} = -(n-1)^2 + 13(n-1) = -(n^2 - 2n + 1) + 13n - 13 = -n^2 + 2n - 1 + 13n - 13\\]\n\\[S_{n-1} = -n^2 + 15n - 14\\]\n\n**Krok 2.** Odejmujemy:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 13n) - (-n^2 + 15n - 14)\\]\n\\[a_n = -n^2 + 13n + n^2 - 15n + 14\\]\n\\[\\boxed{a_n = -2n + 14}\\]\n\n**Krok 3.** Sprawdzamy dla \\(n = 1\\) (wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\), więc \\(a_1\\) liczymy osobno):\n\\[a_1 = S_1 = -1^2 + 13 \\cdot 1 = 12\\]\nWzór daje: \\(a_1 = -2 \\cdot 1 + 14 = 12\\) ✓ - wzór działa też dla \\(n = 1\\).\n\n**Część b)** Podstawiamy \\(n = 2007\\):\n\\[a_{2007} = -2 \\cdot 2007 + 14 = -4014 + 14 = \\mathbf{-4000}\\]\n\n**Część c)** Szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 0\\):\n\\[-2n + 14 = 0\\]\n\\[2n = 14\\]\n\\[\\mathbf{n = 7}\\]\n\nSprawdzenie: \\(a_7 = -2 \\cdot 7 + 14 = -14 + 14 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - porównanie współczynników (czytanie \\(a_1\\) i \\(r\\) z \\(S_n\\))\n\nDla ciągu arytmetycznego z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(r\\) znamy ogólny wzór:\n\\[S_n = a_1 n + \\frac{r}{2}n(n-1) = \\frac{r}{2}n^2 + \\left(a_1 - \\frac{r}{2}\\right)n\\]\n\nJest to wielomian stopnia 2 w zmiennej \\(n\\). Porównujemy go ze wzorem danym w zadaniu:\n\\[S_n = -n^2 + 13n\\]\n\nPorównanie współczynników:\n\n| Współczynnik | Z wzoru ogólnego | Z zadania | Wynik |\n| przy \\(n^2\\) | \\(\\dfrac{r}{2}\\) | \\(-1\\) | \\(r = -2\\) |\n| przy \\(n\\) | \\(a_1 - \\dfrac{r}{2}\\) | \\(13\\) | \\(a_1 - (-1) = 13\\), więc \\(a_1 = 12\\) |\n\n**Teraz korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 12 + (n-1) \\cdot (-2) = 12 - 2n + 2 = -2n + 14\\]\n\nWynik identyczny jak w Sposobie 1 ✓\n\n**Weryfikacja** - sprawdzamy kilka wyrazów:\n- \\(a_1 = 12\\), \\(a_2 = 10\\), \\(a_3 = 8\\) - różnica stała \\(r = -2\\) ✓\n- \\(S_2 = 12 + 10 = 22\\), wzór: \\(-4 + 26 = 22\\) ✓\n- \\(S_3 = 12 + 10 + 8 = 30\\), wzór: \\(-9 + 39 = 30\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy ich w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a_1\\) i \\(r\\) z postaci \\(S_n\\), a następnie do zapisania wzoru na \\(a_n\\).\n\nW Sposobie 1 korzystaliśmy z własności ogólnej sumy \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\), która wynika bezpośrednio z definicji - nie jest osobno wymieniona na karcie, ale jest fundamentem rozumowania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) zawsze trzeba sprawdzić osobno, czy \\(a_1 = S_1\\) zgadza się ze wzorem - w tym zadaniu tak, ale nie zawsze tak jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\(S_{n-1} = -(n-1)^2 + 13(n-1)\\) łatwo o błąd znakowy: \\(-(n-1)^2 = -(n^2 - 2n + 1) = -n^2 + 2n - 1\\), **nie** \\(-n^2 - 2n + 1\\). Zawsze rozwijaj nawias przed zmianą znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części c) pamiętaj, że \\(n\\) musi być **liczbą naturalną** (\\(n \\geq 1\\)). Gdyby wynik wyszedł np. \\(n = 6{,}5\\) - taki wyraz w ciągu nie istnieje i zadanie nie miałoby odpowiedzi.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(a_n = -2n + 14\\); \\(a_{2007} = -4000\\); \\(a_n = 0\\) dla \\(n = 7\\).\n\n### Sposób 1 - Własność sum częściowych \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)\n**a) Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu:**\n\nDla \\(n \\ge 2\\) zachodzi:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1}.\\]\n\nObliczamy \\(S_{n-1}\\), podstawiając \\(n \\to n-1\\):\n\\[S_{n-1} = -(n-1)^{2} + 13(n-1) = -(n^{2} - 2n + 1) + 13n - 13 = -n^{2} + 15n - 14.\\]\n\nWtedy:\n\\[a_n = (-n^{2} + 13n) - (-n^{2} + 15n - 14) = -n^{2} + 13n + n^{2} - 15n + 14 = -2n + 14.\\]\n\nSprawdzenie dla \\(n = 1\\): \\(a_1 = S_1 = -1 + 13 = 12\\); ze wzoru \\(a_1 = -2 + 14 = 12\\) ✓. Wzór obowiązuje dla wszystkich \\(n \\ge 1\\).\n\n**b) Wartość \\(a_{2007}\\):**\n\\[a_{2007} = -2 \\cdot 2007 + 14 = -4014 + 14 = -4000.\\]\n\n**c) Rozwiązanie \\(a_n = 0\\):**\n\\[-2n + 14 = 0 \\Rightarrow n = 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność ciągu arytmetycznego\nDla ciągu arytmetycznego z sumą \\(S_n = An^{2} + Bn\\) (tu \\(A = -1\\), \\(B = 13\\)) można skorzystać z tożsamości:\n\\[a_n = 2An - A + B.\\]\n\nPodstawiamy: \\(a_n = 2\\cdot(-1)\\cdot n - (-1) + 13 = -2n + 1 + 13 = -2n + 14.\\)\n\nPierwszy wyraz: \\(a_1 = 12\\), różnica: \\(r = -2\\). Weryfikacja ze wzorem na sumę:\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n = \\dfrac{12 + (-2n+14)}{2}\\cdot n = \\dfrac{26 - 2n}{2}\\cdot n = (13-n)n = -n^{2} + 13n.\\] ✓\n\n### Sposób 3 - Układ równań \\(a_1\\) i \\(r\\)\n\\(S_1 = a_1 = 12\\); \\(S_2 = a_1 + a_2 = -4 + 26 = 22\\); stąd \\(a_2 = 10\\), więc \\(r = a_2 - a_1 = -2\\).\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r = 12 + (n-1)\\cdot(-2) = 12 - 2n + 2 = -2n + 14.\\]\n\nDalej jak w sposobie 1.\n\n### Komentarz\nCiąg jest arytmetyczny malejący (\\(r = -2\\)). Warto zapamiętać, że jeśli \\(S_n\\) jest wielomianem drugiego stopnia od \\(n\\) (bez wyrazu stałego), to ciąg jest arytmetyczny.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (5 pkt)<br>Dany jest ciąg arytmetyczny (<br>)<br>na<br>, gdzie<br>1<br>n ≥. Wiadomo, że dla każdego<br>1<br>n ≥ suma<br>n początkowych wyrazów<br>1<br>2<br>n<br>n<br>S<br>a<br>a<br>a<br>wyraża się wzorem:<br>2<br>13<br>n<br>S<br>n<br>n<br>a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (<br>)<br>na<br>b) Oblicz<br>2007<br>a<br>c) Wyznacz liczbę n, dla której<br>0<br>na =<br>Nr czynności<br>5.1.<br>5.2.<br>5.3.<br>5.4.<br>5.5.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>7<br>Poziom podstawowy<br>Dany jest ciąg arytmetyczny a_n, gdzie n&gt;=1. Wiadomo, że dla każdego n&gt;=1 suma n początkowych wyrazów S_n=a_1+a_2+...+a_n wyraża się wzorem S_n = -n^2+13n. a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n). b) Oblicz a_{2007}.c) Wyznacz liczbę n, dla której a_n=0.</p>","answer_text_html":"<ol><li>Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.</li></ol>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p>a) \\(a_n = -2n + 14\\)<br>b) \\(a_{2007} = -4000\\)<br>c) \\(n = 7\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: dla \\(n \\geq 2\\) zachodzi<br>\\[a_n = S_n - S_{n-1}\\]<br>bo \\(S_n\\) to suma \\(n\\) wyrazów, a \\(S_{n-1}\\) to suma \\(n-1\\) wyrazów - różnica to właśnie \\(n\\)-ty wyraz.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Obliczamy \\(S_{n-1}\\), podstawiając \\(n-1\\) w miejsce \\(n\\):<br>\\[S_{n-1} = -(n-1)^2 + 13(n-1) = -(n^2 - 2n + 1) + 13n - 13 = -n^2 + 2n - 1 + 13n - 13\\]<br>\\[S_{n-1} = -n^2 + 15n - 14\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Odejmujemy:<br>\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 13n) - (-n^2 + 15n - 14)\\]<br>\\[a_n = -n^2 + 13n + n^2 - 15n + 14\\]<br>\\[\\boxed{a_n = -2n + 14}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Sprawdzamy dla \\(n = 1\\) (wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\), więc \\(a_1\\) liczymy osobno):<br>\\[a_1 = S_1 = -1^2 + 13 \\cdot 1 = 12\\]<br>Wzór daje: \\(a_1 = -2 \\cdot 1 + 14 = 12\\) ✓ - wzór działa też dla \\(n = 1\\).</p>\n<p><strong>Część b)</strong> Podstawiamy \\(n = 2007\\):<br>\\[a_{2007} = -2 \\cdot 2007 + 14 = -4014 + 14 = \\mathbf{-4000}\\]</p>\n<p><strong>Część c)</strong> Szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 0\\):<br>\\[-2n + 14 = 0\\]<br>\\[2n = 14\\]<br>\\[\\mathbf{n = 7}\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(a_7 = -2 \\cdot 7 + 14 = -14 + 14 = 0\\) ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - porównanie współczynników (czytanie \\(a_1\\) i \\(r\\) z \\(S_n\\))</h4>\n<p>Dla ciągu arytmetycznego z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(r\\) znamy ogólny wzór:<br>\\[S_n = a_1 n + \\frac{r}{2}n(n-1) = \\frac{r}{2}n^2 + \\left(a_1 - \\frac{r}{2}\\right)n\\]</p>\n<p>Jest to wielomian stopnia 2 w zmiennej \\(n\\). Porównujemy go ze wzorem danym w zadaniu:<br>\\[S_n = -n^2 + 13n\\]</p>\n<p>Porównanie współczynników:</p>\n<p>| Współczynnik | Z wzoru ogólnego | Z zadania | Wynik |<br>| przy \\(n^2\\) | \\(\\dfrac{r}{2}\\) | \\(-1\\) | \\(r = -2\\) |<br>| przy \\(n\\) | \\(a_1 - \\dfrac{r}{2}\\) | \\(13\\) | \\(a_1 - (-1) = 13\\), więc \\(a_1 = 12\\) |</p>\n<p><strong>Teraz korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:</strong><br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 12 + (n-1) \\cdot (-2) = 12 - 2n + 2 = -2n + 14\\]</p>\n<p>Wynik identyczny jak w Sposobie 1 ✓</p>\n<p><strong>Weryfikacja</strong> - sprawdzamy kilka wyrazów:</p>\n<ul><li>\\(a_1 = 12\\), \\(a_2 = 10\\), \\(a_3 = 8\\) - różnica stała \\(r = -2\\) ✓</li><li>\\(S_2 = 12 + 10 = 22\\), wzór: \\(-4 + 26 = 22\\) ✓</li><li>\\(S_3 = 12 + 10 + 8 = 30\\), wzór: \\(-9 + 39 = 30\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzory dla ciągu arytmetycznego:</p>\n<p>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Użyliśmy ich w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a_1\\) i \\(r\\) z postaci \\(S_n\\), a następnie do zapisania wzoru na \\(a_n\\).</p>\n<p>W Sposobie 1 korzystaliśmy z własności ogólnej sumy \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\), która wynika bezpośrednio z definicji - nie jest osobno wymieniona na karcie, ale jest fundamentem rozumowania.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) zawsze trzeba sprawdzić osobno, czy \\(a_1 = S_1\\) zgadza się ze wzorem - w tym zadaniu tak, ale nie zawsze tak jest!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwijaniu \\(S_{n-1} = -(n-1)^2 + 13(n-1)\\) łatwo o błąd znakowy: \\(-(n-1)^2 = -(n^2 - 2n + 1) = -n^2 + 2n - 1\\), <strong>nie</strong> \\(-n^2 - 2n + 1\\). Zawsze rozwijaj nawias przed zmianą znaku!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W części c) pamiętaj, że \\(n\\) musi być <strong>liczbą naturalną</strong> (\\(n \\geq 1\\)). Gdyby wynik wyszedł np. \\(n = 6{,}5\\) - taki wyraz w ciągu nie istnieje i zadanie nie miałoby odpowiedzi.</blockquote>\n<p><strong>Poprawne odpowiedzi:</strong> \\(a_n = -2n + 14\\); \\(a_{2007} = -4000\\); \\(a_n = 0\\) dla \\(n = 7\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Własność sum częściowych \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)</h5>\n<p><strong>a) Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu:</strong></p>\n<p>Dla \\(n \\ge 2\\) zachodzi:<br>\\[a_n = S_n - S_{n-1}.\\]</p>\n<p>Obliczamy \\(S_{n-1}\\), podstawiając \\(n \\to n-1\\):<br>\\[S_{n-1} = -(n-1)^{2} + 13(n-1) = -(n^{2} - 2n + 1) + 13n - 13 = -n^{2} + 15n - 14.\\]</p>\n<p>Wtedy:<br>\\[a_n = (-n^{2} + 13n) - (-n^{2} + 15n - 14) = -n^{2} + 13n + n^{2} - 15n + 14 = -2n + 14.\\]</p>\n<p>Sprawdzenie dla \\(n = 1\\): \\(a_1 = S_1 = -1 + 13 = 12\\); ze wzoru \\(a_1 = -2 + 14 = 12\\) ✓. Wzór obowiązuje dla wszystkich \\(n \\ge 1\\).</p>\n<p><strong>b) Wartość \\(a_{2007}\\):</strong><br>\\[a_{2007} = -2 \\cdot 2007 + 14 = -4014 + 14 = -4000.\\]</p>\n<p><strong>c) Rozwiązanie \\(a_n = 0\\):</strong><br>\\[-2n + 14 = 0 \\Rightarrow n = 7.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Własność ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>Dla ciągu arytmetycznego z sumą \\(S_n = An^{2} + Bn\\) (tu \\(A = -1\\), \\(B = 13\\)) można skorzystać z tożsamości:<br>\\[a_n = 2An - A + B.\\]</p>\n<p>Podstawiamy: \\(a_n = 2\\cdot(-1)\\cdot n - (-1) + 13 = -2n + 1 + 13 = -2n + 14.\\)</p>\n<p>Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 12\\), różnica: \\(r = -2\\). Weryfikacja ze wzorem na sumę:<br>\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n = \\dfrac{12 + (-2n+14)}{2}\\cdot n = \\dfrac{26 - 2n}{2}\\cdot n = (13-n)n = -n^{2} + 13n.\\] ✓</p>\n<h5>Sposób 3 - Układ równań \\(a_1\\) i \\(r\\)</h5>\n<p>\\(S_1 = a_1 = 12\\); \\(S_2 = a_1 + a_2 = -4 + 26 = 22\\); stąd \\(a_2 = 10\\), więc \\(r = a_2 - a_1 = -2\\).</p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r = 12 + (n-1)\\cdot(-2) = 12 - 2n + 2 = -2n + 14.\\]</p>\n<p>Dalej jak w sposobie 1.</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Ciąg jest arytmetyczny malejący (\\(r = -2\\)). Warto zapamiętać, że jeśli \\(S_n\\) jest wielomianem drugiego stopnia od \\(n\\) (bez wyrazu stałego), to ciąg jest arytmetyczny.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>a) $a_n = -2n + 14$, b) $a_{2007} = -4000$, c) $n = 7$</p>"}]}