{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n2\n14\nW x\nx\nax\nx\nb\na)\nDla\n0\na =\ni\n0\nb =\notrzymamy wielomian\n( )\n3\n2\n14\nW x\nx\nx\n. Rozwiąż równanie\n3\n2\n14\n0\nx\nx\nb) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez\n2\nx -\noraz przez\n3\nx + .\nNr czynności\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n8\nPoziom podstawowy\nDany jest wielomian W(x)=2x^3+ax^2-14x+b. a) Dla a=0 i b=0 otrzymamy wielomian W(x)=2x^3-14x. Rozwiąż równanie 2x^3-14x=0. b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez x-2 oraz przez x+3.","answer":null,"answer_text":"6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(x_1 = 0,\\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\)\n\n**b)** \\(a = 0,\\quad b = 12\\), czyli \\(W(x) = 2x^3 - 14x + 12\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączanie czynnika wspólnego (część a) + układ równań z twierdzenia Bézouta (część b)\n\n### Część a)\n\nMamy równanie:\n\\[2x^3 - 14x = 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(2x\\) przed nawias:**\n\\[2x(x^2 - 7) = 0\\]\n\nIloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\n\\[2x = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = 0\\]\n\n\\[x^2 - 7 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 = 7 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x_1 = 0,\\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\)**\n\n### Część b)\n\nUżywamy **twierdzenia Bézouta**: wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\((x - r)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(r) = 0\\).\n\n**Warunek 1** - podzielność przez \\((x - 2)\\), czyli \\(W(2) = 0\\):\n\\[W(2) = 2 \\cdot 2^3 + a \\cdot 2^2 - 14 \\cdot 2 + b = 16 + 4a - 28 + b = 4a + b - 12 = 0\\]\n\\[\\boxed{4a + b = 12} \\tag{I}\\]\n\n**Warunek 2** - podzielność przez \\((x + 3)\\), czyli \\(W(-3) = 0\\):\n\\[W(-3) = 2 \\cdot (-3)^3 + a \\cdot (-3)^2 - 14 \\cdot (-3) + b = -54 + 9a + 42 + b = 9a + b - 12 = 0\\]\n\\[\\boxed{9a + b = 12} \\tag{II}\\]\n\n**Rozwiązujemy układ równań.** Odejmujemy (I) od (II):\n\\[(9a + b) - (4a + b) = 12 - 12\\]\n\\[5a = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad a = 0\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 0\\) do (I):\n\\[4 \\cdot 0 + b = 12 \\quad \\Rightarrow \\quad b = 12\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a = 0,\\quad b = 12\\)**\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki przez iloraz liniowy (część a) + metoda iloczynu (część b)\n\n### Część a) - dzielenie przez 2 najpierw\n\n\\[2x^3 - 14x = 0\\]\n\nDzielimy obie strony przez 2 (wolno, bo \\(2 \\neq 0\\)):\n\\[x^3 - 7x = 0\\]\n\nWyłączamy \\(x\\):\n\\[x(x^2 - 7) = 0\\]\n\nStąd \\(x = 0\\) lub \\(x^2 = 7\\), co daje te same wyniki: \\(x_1 = 0,\\; x_2 = \\sqrt{7},\\; x_3 = -\\sqrt{7}\\).\n\n### Część b) - metoda iloczynu wielomianów\n\nSkoro \\(W(x)\\) jest stopnia 3 i dzieli się przez oba czynniki \\((x-2)\\) oraz \\((x+3)\\) naraz, musi dzielić się przez ich iloczyn:\n\\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\\]\n\nPonieważ \\(W(x)\\) ma stopień 3, a współczynnik wiodący to 2, możemy napisać:\n\\[W(x) = (x-2)(x+3)(2x + c)\\]\n\ndla pewnej stałej \\(c\\). Rozkładamy:\n\\[(x^2 + x - 6)(2x + c) = 2x^3 + cx^2 + 2x^2 + cx - 12x - 6c\\]\n\\[= 2x^3 + (c+2)x^2 + (c - 12)x - 6c\\]\n\nPorównujemy z \\(W(x) = 2x^3 + ax^2 - 14x + b\\):\n\n| Wyraz | Równanie | Wynik |\n| \\(x^2\\) | \\(c + 2 = a\\) | - |\n| \\(x^1\\) | \\(c - 12 = -14\\) | \\(c = -2\\) |\n| \\(x^0\\) | \\(-6c = b\\) | \\(b = 12\\) |\n\nZ \\(c = -2\\) wynika \\(a = c + 2 = 0\\).\n\n**Wynik taki sam:** \\(a = 0,\\; b = 12\\), a \\(W(x) = (x-2)(x+3)(2x-2) = 2(x-2)(x+3)(x-1)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z gotowych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n\n- **Twierdzenie Bézouta** (omawiane na lekcjach, nie ma go bezpośrednio na karcie): \\(W(r) = 0 \\iff (x - r) \\mid W(x)\\)\n- Podstawowe działania algebraiczne: wyłączanie wspólnego czynnika, rozwiązywanie układu równań liniowych\n\nW części a) przydaje się wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) ze **wzorów skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7)**, jeśli ktoś chce zapisać \\(x^2 - 7 = (x - \\sqrt{7})(x + \\sqrt{7})\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części a) nie dziel od razu obu stron przez \\(x\\)! Piszesz \\(\\frac{2x^3 - 14x}{x} = 0\\) i gubisz rozwiązanie \\(x = 0\\). Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, a nie dziel przez niego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) łatwo pomylić znak przy obliczaniu \\(W(-3)\\) - pamiętaj, że \\((-3)^3 = -27\\) oraz \\(-14 \\cdot (-3) = +42\\). Rachuj uważnie ze znakami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo spełnienie \\(W(2) = 0\\) i \\(W(-3) = 0\\) wystarczy do podzielności - nie musisz wykonywać długiego dzielenia wielomianów, żeby odpowiedzieć na pytanie. Twierdzenie Bézouta to skrót, z którego warto korzystać!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(x \\in \\{0, \\sqrt{7}, -\\sqrt{7}\\}\\); b) \\(a = 0\\), \\(b = 12\\).\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki i twierdzenie Bézouta\n**a) Rozwiązanie równania \\(2x^{3} - 14x = 0\\):**\n\nWyłączamy wspólny czynnik:\n\\[2x(x^{2} - 7) = 0.\\]\n\nKorzystamy ze wzoru \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\):\n\\[2x(x - \\sqrt{7})(x + \\sqrt{7}) = 0.\\]\n\nStąd:\n\\[x_1 = 0, \\quad x_2 = \\sqrt{7}, \\quad x_3 = -\\sqrt{7}.\\]\n\n**b) Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\):**\n\nZ twierdzenia Bézouta: jeśli \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\(x - c\\), to \\(W(c) = 0\\). Zatem:\n\\[W(2) = 0 \\quad \\text{oraz} \\quad W(-3) = 0.\\]\n\n**Obliczenia:**\n\\[W(2) = 2 \\cdot 8 + a \\cdot 4 - 14 \\cdot 2 + b = 16 + 4a - 28 + b = 4a + b - 12.\\]\n\\[W(-3) = 2 \\cdot (-27) + a \\cdot 9 - 14 \\cdot (-3) + b = -54 + 9a + 42 + b = 9a + b - 12.\\]\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} 4a + b - 12 = 0 \\\\ 9a + b - 12 = 0 \\end{cases} \\Rightarrow \\begin{cases} 4a + b = 12 \\\\ 9a + b = 12 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \\(5a = 0 \\Rightarrow a = 0\\). Z pierwszego: \\(b = 12\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = 0\\), \\(b = 12\\), czyli \\(W(x) = 2x^{3} - 14x + 12\\).\n\n### Sposób 2 - Dzielenie wielomianów (weryfikacja)\nSprawdzamy, że \\(W(x) = 2x^{3} - 14x + 12\\) jest podzielny przez \\((x-2)(x+3) = x^{2} + x - 6\\).\n\nDzielenie: \\(\\dfrac{2x^{3} - 14x + 12}{x^{2} + x - 6}\\):\n- \\(2x^{3} : x^{2} = 2x\\); \\(2x(x^{2}+x-6) = 2x^{3} + 2x^{2} - 12x\\); reszta: \\(-2x^{2} - 2x + 12\\).\n- \\(-2x^{2} : x^{2} = -2\\); \\(-2(x^{2}+x-6) = -2x^{2} - 2x + 12\\); reszta \\(0\\) ✓.\n\nIloraz: \\(2x - 2\\). Zatem \\(W(x) = (x-2)(x+3)(2x-2) = 2(x-1)(x-2)(x+3)\\). Pierwiastki: \\(1, 2, -3\\).\n\n### Sposób 3 - Wzory Viète'a dla części b)\nJeśli \\(W(x) = 2x^{3} + ax^{2} - 14x + b\\) ma pierwiastki \\(2, -3, c\\), to z rozkładu \\(W(x) = 2(x-2)(x+3)(x-c)\\):\n\\[W(x) = 2[(x^{2} + x - 6)(x - c)] = 2[x^{3} - cx^{2} + x^{2} - cx - 6x + 6c]\\]\n\\[= 2x^{3} + 2(1-c)x^{2} - 2(c+6)x + 12c.\\]\n\nPorównując współczynniki:\n- przy \\(x^{2}\\): \\(a = 2(1-c)\\),\n- przy \\(x\\): \\(-14 = -2(c+6) \\Rightarrow c+6 = 7 \\Rightarrow c = 1\\),\n- wyraz wolny: \\(b = 12c = 12\\).\n\nZ \\(c = 1\\): \\(a = 2(1-1) = 0\\). Zatem \\(a = 0\\), \\(b = 12\\).\n\n### Komentarz\nKluczowe twierdzenie: \\(W(c) = 0 \\iff (x-c) | W(x)\\). W części a) wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\) po wyłączeniu \\(2x\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (4 pkt)<br>Dany jest wielomian<br>( )<br>3<br>2<br>2<br>14<br>W x<br>x<br>ax<br>x<br>b<br>a)<br>Dla<br>0<br>a =<br>i<br>0<br>b =<br>otrzymamy wielomian<br>( )<br>3<br>2<br>14<br>W x<br>x<br>x<br>. Rozwiąż równanie<br>3<br>2<br>14<br>0<br>x<br>x<br>b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez<br>2<br>x -<br>oraz przez<br>3<br>x + .<br>Nr czynności<br>6.1.<br>6.2.<br>6.3.<br>6.4.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>8<br>Poziom podstawowy<br>Dany jest wielomian W(x)=2x^3+ax^2-14x+b. a) Dla a=0 i b=0 otrzymamy wielomian W(x)=2x^3-14x. Rozwiąż równanie 2x^3-14x=0. b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez x-2 oraz przez x+3.</p>","answer_text_html":"<ol><li>Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.</li></ol>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p><strong>a)</strong> \\(x_1 = 0,\\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\)</p>\n<p><strong>b)</strong> \\(a = 0,\\quad b = 12\\), czyli \\(W(x) = 2x^3 - 14x + 12\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wyłączanie czynnika wspólnego (część a) + układ równań z twierdzenia Bézouta (część b)</h4>\n<h5>Część a)</h5>\n<p>Mamy równanie:<br>\\[2x^3 - 14x = 0\\]</p>\n<p><strong>Wyłączamy \\(2x\\) przed nawias:</strong><br>\\[2x(x^2 - 7) = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników jest zerem:</p>\n<p>\\[2x = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = 0\\]</p>\n<p>\\[x^2 - 7 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 = 7 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(x_1 = 0,\\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\)</strong></p>\n<h5>Część b)</h5>\n<p>Używamy <strong>twierdzenia Bézouta</strong>: wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\((x - r)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(r) = 0\\).</p>\n<p><strong>Warunek 1</strong> - podzielność przez \\((x - 2)\\), czyli \\(W(2) = 0\\):<br>\\[W(2) = 2 \\cdot 2^3 + a \\cdot 2^2 - 14 \\cdot 2 + b = 16 + 4a - 28 + b = 4a + b - 12 = 0\\]<br>\\[\\boxed{4a + b = 12} \\tag{I}\\]</p>\n<p><strong>Warunek 2</strong> - podzielność przez \\((x + 3)\\), czyli \\(W(-3) = 0\\):<br>\\[W(-3) = 2 \\cdot (-3)^3 + a \\cdot (-3)^2 - 14 \\cdot (-3) + b = -54 + 9a + 42 + b = 9a + b - 12 = 0\\]<br>\\[\\boxed{9a + b = 12} \\tag{II}\\]</p>\n<p><strong>Rozwiązujemy układ równań.</strong> Odejmujemy (I) od (II):<br>\\[(9a + b) - (4a + b) = 12 - 12\\]<br>\\[5a = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad a = 0\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 0\\) do (I):<br>\\[4 \\cdot 0 + b = 12 \\quad \\Rightarrow \\quad b = 12\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(a = 0,\\quad b = 12\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - rozkład na czynniki przez iloraz liniowy (część a) + metoda iloczynu (część b)</h4>\n<h5>Część a) - dzielenie przez 2 najpierw</h5>\n<p>\\[2x^3 - 14x = 0\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez 2 (wolno, bo \\(2 \\neq 0\\)):<br>\\[x^3 - 7x = 0\\]</p>\n<p>Wyłączamy \\(x\\):<br>\\[x(x^2 - 7) = 0\\]</p>\n<p>Stąd \\(x = 0\\) lub \\(x^2 = 7\\), co daje te same wyniki: \\(x_1 = 0,\\; x_2 = \\sqrt{7},\\; x_3 = -\\sqrt{7}\\).</p>\n<h5>Część b) - metoda iloczynu wielomianów</h5>\n<p>Skoro \\(W(x)\\) jest stopnia 3 i dzieli się przez oba czynniki \\((x-2)\\) oraz \\((x+3)\\) naraz, musi dzielić się przez ich iloczyn:<br>\\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(W(x)\\) ma stopień 3, a współczynnik wiodący to 2, możemy napisać:<br>\\[W(x) = (x-2)(x+3)(2x + c)\\]</p>\n<p>dla pewnej stałej \\(c\\). Rozkładamy:<br>\\[(x^2 + x - 6)(2x + c) = 2x^3 + cx^2 + 2x^2 + cx - 12x - 6c\\]<br>\\[= 2x^3 + (c+2)x^2 + (c - 12)x - 6c\\]</p>\n<p>Porównujemy z \\(W(x) = 2x^3 + ax^2 - 14x + b\\):</p>\n<p>| Wyraz | Równanie | Wynik |<br>| \\(x^2\\) | \\(c + 2 = a\\) | - |<br>| \\(x^1\\) | \\(c - 12 = -14\\) | \\(c = -2\\) |<br>| \\(x^0\\) | \\(-6c = b\\) | \\(b = 12\\) |</p>\n<p>Z \\(c = -2\\) wynika \\(a = c + 2 = 0\\).</p>\n<p><strong>Wynik taki sam:</strong> \\(a = 0,\\; b = 12\\), a \\(W(x) = (x-2)(x+3)(2x-2) = 2(x-2)(x+3)(x-1)\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie korzystamy z gotowych wzorów z karty CKE - wystarczą:</p>\n<ul><li><strong>Twierdzenie Bézouta</strong> (omawiane na lekcjach, nie ma go bezpośrednio na karcie): \\(W(r) = 0 \\iff (x - r) \\mid W(x)\\)</li><li>Podstawowe działania algebraiczne: wyłączanie wspólnego czynnika, rozwiązywanie układu równań liniowych</li></ul>\n<p>W części a) przydaje się wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) ze <strong>wzorów skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7)</strong>, jeśli ktoś chce zapisać \\(x^2 - 7 = (x - \\sqrt{7})(x + \\sqrt{7})\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W części a) nie dziel od razu obu stron przez \\(x\\)! Piszesz \\(\\frac{2x^3 - 14x}{x} = 0\\) i gubisz rozwiązanie \\(x = 0\\). Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, a nie dziel przez niego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W części b) łatwo pomylić znak przy obliczaniu \\(W(-3)\\) - pamiętaj, że \\((-3)^3 = -27\\) oraz \\(-14 \\cdot (-3) = +42\\). Rachuj uważnie ze znakami.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Samo spełnienie \\(W(2) = 0\\) i \\(W(-3) = 0\\) wystarczy do podzielności - nie musisz wykonywać długiego dzielenia wielomianów, żeby odpowiedzieć na pytanie. Twierdzenie Bézouta to skrót, z którego warto korzystać!</blockquote>\n<p><strong>Poprawne odpowiedzi:</strong> a) \\(x \\in \\{0, \\sqrt{7}, -\\sqrt{7}\\}\\); b) \\(a = 0\\), \\(b = 12\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Rozkład na czynniki i twierdzenie Bézouta</h5>\n<p><strong>a) Rozwiązanie równania \\(2x^{3} - 14x = 0\\):</strong></p>\n<p>Wyłączamy wspólny czynnik:<br>\\[2x(x^{2} - 7) = 0.\\]</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\):<br>\\[2x(x - \\sqrt{7})(x + \\sqrt{7}) = 0.\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[x_1 = 0, \\quad x_2 = \\sqrt{7}, \\quad x_3 = -\\sqrt{7}.\\]</p>\n<p><strong>b) Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\):</strong></p>\n<p>Z twierdzenia Bézouta: jeśli \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\(x - c\\), to \\(W(c) = 0\\). Zatem:<br>\\[W(2) = 0 \\quad \\text{oraz} \\quad W(-3) = 0.\\]</p>\n<p><strong>Obliczenia:</strong><br>\\[W(2) = 2 \\cdot 8 + a \\cdot 4 - 14 \\cdot 2 + b = 16 + 4a - 28 + b = 4a + b - 12.\\]<br>\\[W(-3) = 2 \\cdot (-27) + a \\cdot 9 - 14 \\cdot (-3) + b = -54 + 9a + 42 + b = 9a + b - 12.\\]</p>\n<p><strong>Układ równań:</strong><br>\\[\\begin{cases} 4a + b - 12 = 0 \\\\ 9a + b - 12 = 0 \\end{cases} \\Rightarrow \\begin{cases} 4a + b = 12 \\\\ 9a + b = 12 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \\(5a = 0 \\Rightarrow a = 0\\). Z pierwszego: \\(b = 12\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(a = 0\\), \\(b = 12\\), czyli \\(W(x) = 2x^{3} - 14x + 12\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Dzielenie wielomianów (weryfikacja)</h5>\n<p>Sprawdzamy, że \\(W(x) = 2x^{3} - 14x + 12\\) jest podzielny przez \\((x-2)(x+3) = x^{2} + x - 6\\).</p>\n<p>Dzielenie: \\(\\dfrac{2x^{3} - 14x + 12}{x^{2} + x - 6}\\):</p>\n<ul><li>\\(2x^{3} : x^{2} = 2x\\); \\(2x(x^{2}+x-6) = 2x^{3} + 2x^{2} - 12x\\); reszta: \\(-2x^{2} - 2x + 12\\).</li><li>\\(-2x^{2} : x^{2} = -2\\); \\(-2(x^{2}+x-6) = -2x^{2} - 2x + 12\\); reszta \\(0\\) ✓.</li></ul>\n<p>Iloraz: \\(2x - 2\\). Zatem \\(W(x) = (x-2)(x+3)(2x-2) = 2(x-1)(x-2)(x+3)\\). Pierwiastki: \\(1, 2, -3\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Wzory Viète&#x27;a dla części b)</h5>\n<p>Jeśli \\(W(x) = 2x^{3} + ax^{2} - 14x + b\\) ma pierwiastki \\(2, -3, c\\), to z rozkładu \\(W(x) = 2(x-2)(x+3)(x-c)\\):<br>\\[W(x) = 2[(x^{2} + x - 6)(x - c)] = 2[x^{3} - cx^{2} + x^{2} - cx - 6x + 6c]\\]<br>\\[= 2x^{3} + 2(1-c)x^{2} - 2(c+6)x + 12c.\\]</p>\n<p>Porównując współczynniki:</p>\n<ul><li>przy \\(x^{2}\\): \\(a = 2(1-c)\\),</li><li>przy \\(x\\): \\(-14 = -2(c+6) \\Rightarrow c+6 = 7 \\Rightarrow c = 1\\),</li><li>wyraz wolny: \\(b = 12c = 12\\).</li></ul>\n<p>Z \\(c = 1\\): \\(a = 2(1-1) = 0\\). Zatem \\(a = 0\\), \\(b = 12\\).</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Kluczowe twierdzenie: \\(W(c) = 0 \\iff (x-c) | W(x)\\). W części a) wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\) po wyłączeniu \\(2x\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>a) $x \\\\in \\\\{0, \\\\sqrt{7}, -\\\\sqrt{7}\\\\}$, b) $a = 0, b = 12$</p>"}]}